专题08函数的概念与性质

函数的概念与性质一、知识归纳： 1．一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示

闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间2．函数的概念函数的定义一般地，设A，B是，如果对于集合A中的，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数函数的记法定义域x叫做，x的叫做函数的定义域函数值与相对应的y值值域函数值的集合叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集3．同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．4．函数的三要素：、、是函数的三要素，缺一不可．7．三种常用的函数表示法（1）解析法：用表示两个变量之间的对应关系．（2）列表法：列出来表示两个变量之间的对应关系．（3）图象法：用表示两个变量之间的对应关系．8．分段函数（1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数．（2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是9．一般地，设函数的定义域为I，区间：（1）如果，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递增．特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是．（2）如果，当时，都有，那么就称函数在区间D上单调递减．特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是．（3）如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的．10．函数的最大（小）值最大值最小值一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足（1），都有（2），使得（1），都有（2），使得那么，我们称M是函数的那么，我们称M是函数的11．奇偶性偶函数奇函数定义一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做偶函数一般地，设函数的定义域为I，如果，都有，且，那么函数叫做奇函数定义域特征关于对称12．幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．13．五个幂函数的图象与性质解析式图象定义域值域奇偶性_______函数_______函数_______函数_______函数_______函数单调性在上单调_______在上单调______，在上单调______在上单调___________在上单调___________在上单调___________，在上单调___________定点自检自纠：1．2．非空的实数集任意一个数x唯一确定的数y自变量取值范围的值3．定义域对应关系4．定义域对应关系值域7．数学表达式表格图象8．对应关系并集空集9．增函数减函数单调区间10．最大值最小值11．原点12．13．定义域：,，，，值域：，，，，奇偶性：奇函数，偶函数，奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，奇函数单调性：递增,递减；递增，递增，递增，递增，递增定点：二、题组题组一:函数的概念1．下列图形是函数图像的是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；故选:C2．（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD．3．设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是A．B．C． D．【答案】D【详解】从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应．图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．图象C不满足条件，因为对于集合中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应．4．下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．与C．， D．，【答案】B【详解】相同函数有相同定义域及相同解析式.对于选项A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于选项B：函数与函数的定义域都是，又，则两函数解析式也相同，则为同一函数，故B正确.对于选项C：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错误；对于选项D：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误．故选：B5．下列选项中，表示的不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【详解】对于A选项，的定义域是，解得：，所以的定义域是，的定义域是，解得：，所以的定义域是，并且，所以两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以是同一函数；对于B选项，，，两个函数的定义域相同，都是，对应法则也相同，所以是同一函数；对于C选项，两个函数的定义域相同，当与时，，故两个函数对应法则也相同，所以是同一函数；对于D选项，的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：D6．（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ACD【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；故选:ACD巩固练习：1．（多选）下列是函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.2．在下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．， B．，C．，D．，【答案】B【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域及对应关系都相同，所以表示同一函数；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数.故选：B.3．（多选）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】CD【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.故选：CD4．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（

）A．与B．与C．与D．与【答案】ACD【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；故选:ACD题组二:求具体函数的定义域 1．函数的定义域为．【答案】且【详解】要使函数有意义，必须使，即，所以且，即且．所求函数的定义域为且，故答案为：且2．函数的定义域为（

）A．（－∞，2） B．（－∞，2] C． D．【答案】D【详解】由题设，，可得，所以函数定义域为.故选：D3．已知函数，则的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意得：，所以，所以的定义域为.故选：D4．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.5．函数＝＋的定义域为（）．A．B．C．D．【答案】A【详解】由题，故选6．函数=的定义域为【答案】【详解】要使函数有意义，则，解得且.故答案为：7．函数的定义域是．【答案】【详解】要使函数有意义满足，得，因此函数的定义域是．8．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】∵，∴函数的定义域为．巩固练习：1．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，解得，所以函数的定义域为.故选：B．2．函数的定义域是（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】要使函数有意义，则有，解得：且，所以函数的定义域为，故选：.3．函数的定义域为.【答案】【详解】解不等式组，得且，即，所以函数的定义域为.故答案为：4．函数的定义域为.【答案】【详解】要使有意义，只需，则且，函数的定义域为：；5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】要使函数式有意义，需满足条件：，解得：，故选C.6．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为,,,.故选：C.题组三:求复合函数的定义域1．函数的定义域为，则函数的定义域是（）.A．B．C．D．【答案】D【详解】令，解得，即函数的定义域是.2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（）.（A）（B）（C）（D）【答案】A【详解】因为函数的定义域为，所以，即，即；所以函数的定义域为.3．设f（x）＝则的定义域为__________________．【答案】【详解】要使函数有意义，需满足解得，要使函数有意义，需满足解得或，所以．4．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C．【详解】因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为．故应选C．5．已知函数定义域是，则的定义域是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【详解】由题意得不等式解出即可.6．若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，所以的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选：A.7．设函数的定义域是，则的定义域是．【答案】【详解】∵函数的定义域是，∴令，当时，，，即，即的定义域是，∴的定义域是，∴令，得，即，，解得或，即的定义域是.故答案为：.8．若函数的定义域为，则函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】A【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以，所以函数的定义域为为A.巩固练习：1．已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于函数的定义域为，故，解得，即函数的定义域为.故选：A.2．已知函数定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，则，故的定义域是.故选：C3．已知函数定义域是，则的定义域是．【答案】【详解】，故的定义域为，所以令，解得，故的定义域是.4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的定义域是，所以有：.故选：A5．函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据题意可得函数的定义域为，可知，即的定义域为，所以需满足，解得，即的定义域为.故选：D6．若函数的定义域为，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意有，解得且，所以定义域为.故答案选B.题组四:函数解析式求值1．若函数，那么（

）A．1 B．3 C．15 D．30【答案】C【详解】由于，当时，，故选：C.2．已知函数则（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】C【详解】，，，故选：C3．已知函数则.【答案】【详解】由已知，，所以.故答案为：4．已知函数，若，则x的值是（

）A．3 B．9 C．或1 D．或3【答案】A【详解】当时，，解得（舍去）；当时，，解得或（舍去）.故选：A5．已知，函数若，则.【答案】2【详解】，故，故答案为：2.6．已知，则.【答案】7【详解】由题知，，，，，.故答案为：7.7．设函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为.【答案】【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，，所以.8．函数对于任意实数x满足条件，若，则.【答案】【详解】令，，则.令，，则；令，，则.故答案为:巩固练习：1．已知函数则的值为（

）A． B． C．9 D．【答案】B【详解】，，.故选：B.2．已知，则．【答案】8【详解】令，解得，所以，故答案为：83．已知函数，则（

）A．8 B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，故选：B.4．已知函数，则（

）A． B． C．4 D．【答案】A【详解】因为，所以，所以，故选：A5．设，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且.当时，则，由可得，解得，合乎题意.当时，由可得，无解.所以，，则.故选：C.6．若，且，则.【答案】5【详解】依题得，解得，则，则.故答案为：57．已知函数，则f(2)=.【答案】1【详解】由已知，故答案为：1.8．设函数，则【答案】8【详解】解：因为，所以，故答案为：8题组五:直接法求基本函数值域（直接由观察图象或不等式转换求值域）1．的图像如图，则的值域为，值域为.【答案】，【详解】看左右，看高低，观察函数的图象可得定义域为，值域为.2．函数y=f（x）的图象如图所示,观察图象可知函数y=f（x）的定义域、值域分别是（）A．[5,0]∪[2,6],[0,5]B．[5,6],[0,+∞）C．[5,0]∪[2,6）,[0,+∞）D．[5,+∞）,[2,5]【答案】C【详解】函数的定义域即自变量x的取值范围，即函数图象的横向分布；函数的值域即为函数值的取值范围，即为函数图象的纵向分布，由图可直观的读出函数的定义域和值域．函数的定义域即自变量x的取值范围，由图可知此函数的自变量，函数的值域即为函数值的取值范围，由图可知此函数的值域为．3．函数，的值域为，函数，的值域为．【答案】【详解】∵，，，∴函数的值域为．∵，∴，∴函数的值域为.故答案为：，.4．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数．如，，，记函数，则，的值域为．【答案】【详解】，，即的值域为.故答案为：；.5．函数在的值域为.【答案】【详解】因为，则，可得，所以在的值域为.故答案为：.6．若函数的值域是，则此函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数的值域是，所以当时，，当时，，即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D7．函数，的值域是（

）．A． B． C． D．【答案】A【详解】由对勾函数图象知在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，所以在上的值域为故选：A8．函数的值域为．【答案】【详解】函数定义域为，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，所以函数值域为，故答案为：．9．函数的值域是.【答案】或【详解】，根据对钩函数的性质知值域为或．10．函数，的值域为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】当时，（当且仅当时取等号）；当时，（当且仅当时取等号）；综上所述：的值域为.故选：C.巩固练习：1．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．【答案】[－5,5][－2,3]【详解】由f(x)的图象可知－5≤x≤5，－2≤y≤3.所以f(x)的定义域为[－5,5]，值域为[－2,3].2．若函数的定义域是，则它的值域．【答案】．【详解】∵函数是反比例函数，则时，，且，所以值域为．故答案为．3．函数的值域是.【答案】【详解】函数图像是由函数图像向右平移1个单位得到，所以函数值域与函数值域相同为.故答案为:4．函数的定义域是，其值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数的定义域是，所以，所以，，，故函数的值域是.故选：D5．若，函数的值域为.【答案】【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，6．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，当时，函数的值域为．【答案】【详解】，则，当时，，当时，，当时，，∴值域为．故答案为：．7．[多选题]函数的函数值表示不大于x的最大整数，当时，下列函数时，其值域与的值域相同的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以当时，的值域为．对于A选项，，，该函数的值域为；对于B选项，，，该函数的值域为；对于C选项，，，该函数的值域为；对于D选项，，，该函数的值域为．故选：ABD．题组六:换元法求复合函数的值域1．函数的值域为.【答案】【详解】由题得且.因为,且.所以原函数的值域为.故答案为：2．函数的值域是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】，，，从而可知函数的值域为.故选：D.3．函数y的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】，∴y，∴该函数的值域为．故选：D．4．函数的值域为.【答案】【详解】，，，，，函数的值域为．故答案为：.5．若，则函数的值域为（

）A．B．C． D．【答案】A【详解】，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故选：A.6．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意，函数（），令，则，可得，故（）的值域为．故选：A.7.函数的值域为.【答案】【详解】因为，，所以，所以，所以函数的值域为，故答案为：.8．函数的值域为．【答案】【详解】因为的定义域为，所以，所以，当且仅当取等号，所以函数的值域为．故答案为：．9.函数的值域为.【答案】.【详解】由已知得==，当x+1>0,即x>1时，，当且仅当，即x=1时，，此时.当x+1<0时，即x<1时，=7，当且仅当，即x=3时，，此时，综上所述，所求值域为.10.函数的值域是．【答案】【详解】函数定义域为，，当且仅当，即时取“=”，因此，当时，，所以函数的值域是.故答案为.11．已知函数，则函数的值域是.【答案】【详解】因为，因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以，则函数的值域为，故答案为：.巩固练习：1．函数的值域为.【答案】【详解】，，，，，函数的值域为．故答案为：.2．若，则函数的值域为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，又因为，所以，所以，所以，所以函数，的值域为．故选：A．3.函数的值域为．【答案】【详解】由，又，则，则，所以，故函数的值域为．故答案为：．4．函数的值域为.【答案】【详解】令，可得，可得，即，由，可得，解得，所以，函数的值域为.故答案为：.5．函数的值域是．【答案】【详解】函数，令，则在上递减，在上递增，当，即时，取得最小值4，所以函数的值域是，故答案为：6．函数的值域是（）A．或B．或C．D．或【答案】A．【详解】，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．7．若，则函数的值域是.【答案】【详解】∵.当时，，当且仅当，即时取等号；故函数的值域为.故答案为：.8．时，的值域为.【答案】【详解】因为，令，则，则，，可知开口向上，对称轴为，且，所以在内的值域为，即在内的值域为.故答案为：.9．（多选）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【详解】当时，，当时，则，由，则，此时，所以，则的值域为，故选：BC题组七:待定系数法求函数解析式1．若一次函数的图象经过点，则．【答案】3【详解】因为一次函数的图象经过点，所以，解得，所以，所以，故答案为:3.2．已知，则．【答案】【详解】由得，故答案为：3．图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】设图象是以为顶点的二次函数（）．因为图象过原点，所以，，所以．故选：A4．已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2-4x+6【答案】2【详解】设二次函数fx=ax2+bx+ca≠0可得：8a=164b=-42a+2c=6，解得a=25．已知函数fx=x2+2x-1，函数y=gx【答案】2x+5【详解】由题意，函数y=gx为一次函数，由待定系数法，设gx=kx+bgfx=kx2+2x-1+b，由对应系数相等，得6．已知函数是一次函数，满足，则.【答案】或【详解】设，则，所以，解得或，所以或.故答案为：或7．已知是一次函数，且在上单调递增，，则.【答案】【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增，所以，设，因为，则，故，解得，故．故答案为：.巩固练习：1．已知是一次函数，且，则的解析式为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，（）∴，即，

所以，解得，，∴，故选B．2．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（

）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【详解】根据题意设，则，因为，所以，解得，所以，所以，故选：C3．已知是一次函数，且，，则（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题意，设函数，因为，，所以，，则，解得，所以.故选：D.4．已知一次函数是R上的减函数，且，则=.【答案】【详解】因为是R上的减函数，所以设，故，所以，解得或，又，得，所以.故答案为：5．(多选)已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（

）A．B．C．D．【答案】AB【详解】由题意设，因为，所以，即，所以，解得或，所以或，故选：AB题组八:换元法求函数解析式1．已知，则的解析式为.【答案】【详解】令，则，所以，故.故答案为：2．已知函数，那么的表达式是.【答案】【详解】，令，则，故，故，.故答案为.3．若，则函数的解析式为=．【答案】【详解】设，解得，所以，最后将换为，4．如果，则当且时，（）A．B．C．D．【答案】B【详解】设5．若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．3【答案】B【详解】令（或），，，，.故选；B巩固练习：1．已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则，；所以.故选：D.2．已知函数，则函数的解析式为．【答案】【详解】函数，设，则，且，所以，，则．故答案为：．3．已知，则函数.【答案】【详解】，所以.故答案为：4．已知，则函数，=．【答案】11【详解】令，则，所以，所以，所以.故答案为：；.题组九:方程组求函数解析式1．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)-2f(-x)=x+2，则f(x)＝________.【答案】1【详解】由题意可得f-x-2fx=-x+2，与f(x)-2f(-x)=x+2联立可得：2．已知函数满足，则函数的解析式为__________．【答案】【详解】①中将x换成，得f（）+2f（x）②，由①②联立消去f（）得f（x）3．已知函数满足，则函数的解析式为.【答案】【详解】由，用代替，可得，联立方程组，解得，所以函数的解析式为.故答案为：4．已知对于任意实数x，函数f（x）都满足f（x）+2f（2x）=x，则f（x）的解析式为______．【答案】【详解】由题意，因为f（x）+2f（2x）=x①；∴f（2x）+2f（x）=2x②；①②联立解得.故答案为：．巩固练习：1．已知满足，则．【答案】【详解】因为，所以，联立，解得.故答案为：.2．已知函数对定义域内的任意实数满足，则.【答案】【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以，故答案为：3．已知满足，则解析式为．【答案】【详解】由

①用代可得，

②由①②可得：，故答案为：.4．函数满足，则函数（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为①，所以②，得，即.故选：B.5．已知，则的解析式．【答案】【详解】因为，所以，两式联立解得：，故答案为：6．已知，那么．【答案】【详解】∵，，∴．联立方程组，解得．故答案为：.题组十:函数单调性判定与求单调区间1．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（

）A．B．和C．D．和【答案】B【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B2．下列函数在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确；对于B，函数在区间上是减函数，故B正确；对于C，函数在上是增函数，故C不正确；对于D，函数在上是增函数，故D不正确.故选：B．3．（多选）下列函数中，在上为增函数的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【详解】对于A，在上单调递减，A错误；对于B，对称轴为，则函数在上单调递减，在上单调递增，B错误；对于C，在，上单调递增，C正确；对于D，在上单调单调递减，在上单调递增，D正确.故选：CD.4．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】C【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.故选：C5．函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A6．函数，的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数对称轴为，开口向上，所以函数，的单调减区间为.故选：D7．函数的递减区间是.【答案】【详解】对于函数，，即，解得.由于内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数在上为减函数，由复合函数法可知，函数的单调递减区间为.故答案为：.8．函数的单调递减区间是（

）A．B．和C．D．和【答案】B【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B9．已知函数，则的单调递增区间为.【答案】，【详解】当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为；当时，，函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为.综上，的单调递增区间为，.故答案为：，10．函数的单调递减区间是.【答案】和【详解】当或时，，对称轴为，当时，，对称轴为，作出的图象如图所示，由图可知单调递减区间为，故答案为：和.

巩固练习：1．下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为（）A．f(x)＝x2＋1B．f(x)＝1－C．f(x)＝x2－5x－6D．f(x)＝3－x【答案】B【详解】A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B正确．选B2．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.3．函数的单调递增区间是.【答案】【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，而函数的对称轴是，故函数的单调递增区间是.故答案为：.4．函数的单调减区间是．【答案】，【详解】去绝对值，得函数当时，函数的单调递减区间为当时，函数的单调递减区间为综上，函数

的单调递减区间为，故答案为：，5．函数的单调区间是．【答案】单调递增区间为，单调递减区间为.【详解】，画出函数图象如下：

可得单调递增区间为，单调递减区间为.故答案为：单调递增区间为，单调递减区间为.6．已知函数的单调增区间为．【答案】和.【详解】解析:时，，对称轴，开口向上，在递增，时，，对称轴，开口向下，在递增，函数的递增区间是和.7．函数的单调递增区间为．【答案】和【详解】要使有意义，则，解得且设，且则在和单调递减，在和单调递增，所以的单调增区间为和，故答案为：和8．已知函数，则的单调递增区间为.【答案】【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：题组十一:函数单调性求参1．如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】的对称轴为，故，故选：A2．已知函数y＝ax2－2x＋3在[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是．【答案】(－∞，0]【详解】当a＝0时，y＝－2x＋3满足题意；当a≠0时，则，综上得a≤0．故答案为：(－∞，0]3．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为．【答案】【详解】时，满足题意；时，，解得，综上.4．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（

）．A．B．C．或D．或【答案】C【详解】函数的对称轴为，因为函数在上具有单调性，所以或，即或.故选：C5．已知在为单调函数，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D6．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】令，则，由题意可得需满足在区间上单调递减，且，而的图象开口向下，对称轴为，故且，即，故选：C7．函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】.【详解】由函数，可得函数的单调递增区间为，因为在上单调递增，可得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.8．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是．【答案】【详解】解：函数，由复合函数的增减性可知，若在为增函数，，，故答案为：．巩固练习：1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：2．（多选）若二次函数在区间上是增函数，则a可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【详解】二次函数对称轴为，因为二次函数在区间上是增函数，所以，解得.故选：AB.3．函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为.【答案】或【详解】二次函数的对称轴为，因函数在区间上具有单调性，所以或.故答案为：或题组十二:分段函数单调性求参1．已知函数在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为（

）A．B．C． D．【答案】D【详解】因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，因为函数在其定义域上单调递减，所以，解得.故选：D2．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为且在上单调递增，所以，解得，即.故选：B3．若函数为R上的单调函数，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为为增函数，故为R上的单调递增函数,易知在上为增函数，故，因为在R上单调递增，所以，解得，又，则，故答案为：.4．已知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】因为对任意，且，都有成立，所以在上单调递减.所以，解得.故答案为:.5．已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是．【答案】【详解】对任意的、且，总有，设，则，即，所以是定义在上的增函数，因为，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.巩固练习：1．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（

）A．［4，0） B．［4，2） C．［4，+∞） D．（∞，2）【答案】B【详解】因为且在上单调递增，则，所以，解得，即，故选：B2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【详解】由题意得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为.3．已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】定义在上的函数满足对、，都有，所以，函数是上的减函数，则函数和均为减函数，且有，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选D.4．已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为在上单调递减，且最小值为1.所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，只需，解得：.故选：C.题组十三:函数奇偶性（对称性）判断1．下列关于幂函数的说法正确的是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．以上皆不是【答案】B【详解】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为偶函数.故选：B.2．下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误；故选：B3．下列函数为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，的定义域为，它不关于原点对称，故A不符合题意；对于B，对于而言，，故B不符合题意；对于C，对于而言，，故C不符合题意；对于D，对于而言，其定义域为全体实数，关于原点对称，且，故D符合题意.故选：D.4．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【详解】对于选项A，易知在上单调递减，所以选项A错误；对于选项B，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，又的对称轴为，在区间上单调递增，所以选项B正确；对于选项C，因为的定义域为，关于原点对称，但，故为奇函数，所以选项C错误；对于选项D，因为的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，当时，又在区间上单调递增，所以选项D正确；故选：BD.5．（多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【详解】根据题意，若函数满足对于定义域上的任意x，恒有，即，则为奇函数；对于定义域上的任意当时，恒有，则在其定义域上为减函数，若函数为“理想函数”，则为奇函数且在其定义域上为减函数．对于A，，是正比例函数，，是奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意；对于B，，，是偶函数，不符合题意；对于C，，为奇函数且在其定义域上为减函数，符合题意；对于D，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意，故选：AC．6．（多选）已知函数是定义域为的奇函数，则下列式子一定正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，则B一定成立；令，则，解得，则D一定成立；例如，则为奇函数，符合题意，但，可知，即A不一定成立；且，即C不一定成立；故选：BD．7．若函数是在R上的奇函数，则下列结论不正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】A选项，因为是在R上的奇函数，所以，且，AB正确；C选项，因为，所以，当时，等号成立，C正确；D选项，当时，，此时无意义，D错误.故选：D8．函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数，其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为，故图象的对称中心是，故选：B9．在同一坐标系中，函数与的图象（

）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称【答案】B【详解】当时，与互为相反数，即函数与的图象关于轴对称.故选：B.巩固练习：1．下列函数中是奇函数的是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于A选项：，又的定义域为R，所以为奇函数.对于B选项：又的定义域为R，所以为偶函数.对于C选项：的定义域为，故是非奇非偶函数.对于D选项：的定义域为，，所以是非奇非偶函数.故选：A.2．下列函数为偶函数是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】对于A中，函数，可得函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意；对于B中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，且，则且，所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意；对于C中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以C不符合题意；对于D中，函数，可得函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，所以D符合题意.故选：D.3．（多选）下列函数是奇函数的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】A：，不为奇函数；B：且定义域为，为奇函数；C：且定义域为R，为奇函数；D：，不为奇函数.故选：BC4．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】函数是非奇非偶函数，是上的奇函数，BD不是；显然函数、都是R上的偶函数，在区间上都单调递增，AC是.故选：AC5．（多选）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（

）A．B．C． D．【答案】CD【详解】对于A项，由对勾函数的性质可知，在定义域内不是增函数，故A项不成立；对于B项，因为，所以为偶函数，故B项不成立；对于C项，因为，所以为奇函数，又因为在上是增函数，在上是减函数，所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故C项成立；对于D项，因为，所以为奇函数，又因为在上是增函数，在上是增函数，所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故D项成立.故选：CD.6．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【详解】对于A，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，即A项错误；对于B，设，显然其定义域为，又因为，所以是奇函数，由幂函数知是增函数，故是减函数，故B项正确;对于C，函数是奇函数，但是在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故C项错误；对于D，函数可化为，其图象如下图,故既是奇函数又是减函数，故D项正确.故选：BD.7．是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【详解】由是定义在上的奇函数，得，且，因此，A正确；，B错误；又，C正确；而当时，，此时式子无意义，D错误.故选：AC题组十四:函数奇偶性求值1．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【详解】函数是奇函数，当时，，.故选：A.2．已知是偶函数，当时，，则（

）A． B． C．7 D．5【答案】B【详解】是偶函数，当时，，则.故选：B3．已知函数是上的奇函数，当时，，则（

）A．2 B．2 C．3 D．3【答案】D【详解】因为是上的奇函数，且当时，，所以，即，故，又，则.故选：D4．已知是定义域为的奇函数，则.【答案】【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，所以，故答案为：.5．已知函数，且，则.【答案】8【详解】令，定义域，且，所以是奇函数，以，代入，得.故答案为：86．已知定义域为R的函数为奇函数，且，则（

）A．2 B．5 C．1 D．3【答案】B详解】由题设，有，∴，当时，有，又，∴.故选：B7．若是奇函数，则.【答案】3【详解】由题意知，，且为奇函数，所以，又因为时，，所以.故答案为：3.8．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得：，而，故.故选：C.9．函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（

）A．66 B．70 C．74 D．78【答案】B【详解】由为偶函数，则，所以的图像关于对称，又为奇函数，则，所以的图像关于点对称，又对于，均有，所以，又的图像关于对称，所以，又的图像关于点对称，所以，所以，又，解得，，所以．故选：B．巩固练习：1．已知是定义域为的奇函数，则的值．【答案】【详解】因为函数是奇函数，所以，所以.故答案为：.2．已知是定义在上的奇函数，，则.【答案】【详解】因为，则.故答案为：3．已知为奇函数，则.【答案】6【详解】因为为奇函数，所以，即，所以，故，即.故答案为：64．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（

）A． B．1 C．0 D．【答案】B【详解】，又在R上是奇函数，故.故选：B5．设是定义在上的奇函数，当时，，则.【答案】【详解】因为当时，，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，故答案为：6．已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是.【答案】【详解】由题意是定义域为的奇函数，，故，则，由是偶函数，得，令，则，即；令，则，即，故，故答案为：.7．若函数（为常数），已知，则.【答案】【详解】令，则且定义域为R，所以为奇函数，则，故，所以.故答案为：8．已知函数是定义在上的偶函数，则等于.【答案】【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.故答案为：.9．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.10．若函数和都是上的奇函数，，若，则（

）A．1 B． C． D．5【答案】B【详解】因为函数和都是上的奇函数，所以，，，则，.故选：B题组十五:函数奇偶性求参1．定义在上的函数是奇函数，则实数.【答案】【详解】由函数为上的奇函数，则，解得，经检验，当时，，此时，此时函数为奇函数，所以.故答案为：.2．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝.【答案】【详解】因为函数f(x)＝为奇函数，经检验符合题意.故答案为.3．已知函数是偶函数，则.【答案】1【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：14．设函数，若函数的图象关于点对称，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【详解】因为函数的图象关于点对称，故函数的图象关于点对称，即为奇函数，故，所以.故选：B.5．设是定义在上的偶函数，则（）A．0B．2C．D．【答案】C【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得.又由于为偶函数，即：，化简得：=0.则.故选：C.6．若函数，为偶函数，则.【答案】【详解】因为，是偶函数，所以，且，即，即，由于不恒为常数，所以观察可知，则.故答案为：.7．若是奇函数，则（

）A．，B．，C．，D．，【答案】A【详解】令根据题意得：，解得：，；故选：A.巩固练习：1．函数为奇函数，则实数a的值为．【答案】【详解】因为为奇函数，故，即，即，解得.故答案为：2．已知是偶函数，当时，，且，则.【答案】2【详解】因为是偶函数，所以