2024年春季学期红河州开远市高二数学3月测试卷附答案解析

2024年春季学期红河州开远市高二数学3月测试卷考生注意：1.本试满分150分，考试时间120分钟.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知是虚数单位，在复平面内，复数和对应的点间的距离是（

）A．0 B．1 C． D．3．2023年5月，浙江卫视《奔跑吧11》第四期节目打卡爽爽的贵阳城．周深在内的兄弟团成员和以刘宇等为成员的INTO1组合与来自贵阳社会各界的400位青年一起在贵州大学体育馆唱响了一场“青春歌会”．节目组在前期准备工作中统计出了排名靠前的10首人们喜欢的赞颂青春的歌曲．在活动中，兄弟团成员要从这10首歌曲中竞猜排名前5名的歌曲，则在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率为（

）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为．若，，则（

）A． B． C． D．5．已知，，直线和垂直，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．8 D．166．在三棱锥中，两两垂直，且，三角形重心为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（

）A．4 B． C．8 D．8．已知，，，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知二项式的展开式中各项的系数的和为128，则下列结论中正确的有（

）A．展开式共有7项 B．所有二项式系数的和为128C．只有第4项的二项式系数最大 D．展开式的常数项为10．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的是（

）A．是奇函数 B．在区间内有最大值C．的周期是 D．在区间内有一个零点11．已知曲线：的焦点为，，点为曲线上一动点，则下列叙述正确的是（

）A．若，则的内切圆半径的最大值为B．若，则曲线的焦点坐标分别是，C．若曲线的离心率为，则或D．若曲线是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为，则12．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．若空间向量，，则在上的投影向量为B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则．14．已知随机变量，其中，则.15．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为．16．如图，、两点分别在、轴上滑动，，为垂足，点轨迹形成“四叶草”的图形，若，则的面积最大值为．

四、解答题：共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设为数列的前项和．已知．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和．18．在锐角中，角、、所对的边分别为、、．①；②；③．在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角；(2)已知的面积为，是边上的中线，求的最小值．19．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，三个年级的学生都报名参加公益志愿活动，经过选拔，高一年级有的学生成为公益活动志愿者，高二、高三年级各有的学生成为公益活动志愿者．(1)设事件“在三个年级中随机抽取的1名学生是志愿者”；事件“在三个年级中随机抽取1名学生，该生来自高年级”（）．请完成下表中不同事件的概率并写出演算步骤：事件概率概率值(2)若在三个年级中随机抽取1名学生是志愿者，根据以上表中所得数据，求该学生来自于高一年级的概率．20．已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面，，，是棱上一点.(1)证明：平面；(2)当平面时，求与平面所成角的正弦值.21．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)过直线：上任意一点作直线与，分别交于，两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由．22．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；(2)若，求的取值范围．1．A【分析】解不等式求出集合，利用交集的定义得出结果.【详解】∵，，∴，即.故选：A.2．D【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结果.【详解】由于复数和对应的点分别为，，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为.故选：D.3．B【分析】根据给定条件，利用排列、组合求出试验的基本事件总数及事件所含基本事件数，再利用古典概率计算作答.【详解】依题意，10首歌曲任意排列名的试验有个基本事件，恰好猜对2首歌曲的事件含有个基本事件，所以在竞猜中恰好猜对2首歌曲的概率.故选：B4．C【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式求出的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，则，又因为，则，解得，因此，.故选：C.5．C【分析】由题意可得出，再由基本不等式“1”的代换求解即可.【详解】因为直线和垂直，所以，所以，因为，，所以，当且仅当，即时取等.故选：C.6．D【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，，计算在的投影为，在根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，则，，，则.，，故在的投影为，点到线的距离为.故选：D.7．C【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，，，因为，所以，得，①因为，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故选：C8．B【分析】利用构造函数法，结合导数判断出的大小关系，利用对数、指数运算判断出的关系，进而确定正确答案.【详解】构造函数，所以在上单调递增，所以，，；故只需比较与；也即比较与；也即比较与，而，，所以，所以.综上所述，.故选：B9．BD【分析】首先根据系数和公式求，再根据二项式定理和二项式系数的性质，判断选项.【详解】由题意可知，当时，，所以，二项式的展开式共有8项，所有的二项式系数的和为，其中最大的二项式系数为和，为第4项和第5项，展开式的常数项为，其中只有BD正确.故选：BD10．AB【分析】A.利用函数奇偶性的定义判断；B.利用导数法求解判断；C.利用周期函数的定义判断；D.利用零点的定义求解判断.【详解】解：因为函数的定义域为R，关于原点对称，且，所以是奇函数，故A正确；求导，当时，，，则，所以在上单调递增，当时，，，则，所以在上单调递减，则，故B正确；，故C错误；，令得，或，因为，则，故D错误，故选：AB11．AC【分析】当时，求出面积的最大值，利用分割法建立内切圆半径的关系式，结合椭圆的定义可求得内切圆半径的最大值，可判断A选项；当时，求出曲线的焦点坐标，可判断B选项；根据双曲线的离心率求出实数的值，可判断C选项；根据双曲线的渐近线方程求出实数的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则曲线的方程为，则，，，则的面积，设的内切圆半径为，则，所以，，故A正确；对于B选项，若，则曲线的方程为，则，，，故椭圆的焦点的坐标为和，故B错误；对于C选项，若曲线的离心率，则曲线为双曲线，且，若双曲线的焦点在轴上，则，可得，可化为，此时，，则，，解得；若双曲线的焦点在轴上，则，可得，可化为，此时，，则，，解得.综上所述，若曲线的离心率为，则或，故C正确；对于D选项，若曲线是双曲线，且一条渐近线倾斜角为，则渐近线方程为，即，故可设双曲线的方程为，所以，，解得，故D错误.故选：AC.12．ABD【分析】A投影向量定义求在上的投影向量；B由空间向量共面的推论判断；C由，同向共线即可判断；D由即可判断.【详解】A：在上的投影向量为，对；B：在中，故P，A，B，C四点共面，对；C：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，错；D：由，即，故，对.故选：ABD13．【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用二倍角的正弦公式求解.【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，所以，所以，故答案为：14．0.2【分析】由服从的分布类型可直接求出，，从而求出，再根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，且，又因为，所以，所以.故答案为：0.2.15．【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．【详解】，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，则，即在上是增函数，∴，所以.故答案为：.16．##【分析】设，则为锐角，可得出，，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求.【详解】设，则为锐角，所以，，因为，则，，所以，，令，其中，则，因为，则，则，由，可得，可得，由，可得，可得，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，.所以，面积的最大值为.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得.【详解】（1）证明：已知①，当时，②，①②得：，即，所以，，当时，则，则，所以，数列是首项为，公比为的等比数列．（2）解：由（1）可知，，则，所以，，所以，，.18．(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①，利用余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合三角恒等变换可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用已知等式结合两角和的正切公式、诱导公式可得出的值，结合的取值范围可得出角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积结合基本不等式可求得长的最小值.【详解】（1）解：若选①，因为，即，则，即，所以，，因为，故；若选②，原式等价于，即，即，因为、，则，所以，，则，故；若选③，原式等价于，即所以，，即，即，因为，故.（2）解：因为，所以，，因为为的中点，则，所以，，则，则，当且仅当时，即当时，等号成立.因此，长的最小值为.19．(1)表格见解析，演算步骤见解析(2)【分析】（1）根据三个年级的人数比值，以及每层抽取的比例，即可填写表格，再根据全概率公式，即可求解（2）根据条件概率公式，即可求解【详解】（1）根据三个年级的人数比值为，则，，，由每个年级的抽取比例可知，，，由全概率公式，得，事件概率概率值（2）该学生来自于高一年级的概率.20．(1)证明见详解(2)【分析】（1）先证平面ADE平面BCF，再证明平面即可；（2）设出的坐标，求出平面的法向量，由平面的向量关系求出点坐标，再用向量法求线面角即可.【详解】（1）因为底面为矩形，所以；平面，平面，所以平面，又四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，且平面ADE，平面ADE，所以平面ADE平面BCF，因为平面ADE，所以平面；（2）如图，连接AF，EG，取的中点，的中点，因为是等边三角形，所以，又平面平面，平面FBC，平面平面，所以平面ABCD，又底面为矩形，所以，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，，则，设，则，可知，由底面是平行四边形，得，设平面的法向量为，则，取，得，则平面的法向量为，由题意平面AEF，则，解得，所以，即是中点，因为，所以，所以，设平面的法向量为，则，取，得，所以平面的法向量为，，设直线与平面所成的角为，则.所以BG与平面DEG所成角的正弦值为.21．(1)（）；(2)是，定点为.【分析】（1）根据给定条件，利用斜率坐标公式列式化简作答.（2）设出点的坐标，由已知探求出点的坐标关系，再按直线斜率存在与否分类讨论求解作答.【详解】（1）设动点，则直线、的斜率分别为，于是，整理得，显然点不在轨迹上，所以的方程为（）.（2）设直线上的点，显然，

依题意，直线的斜率满足，且，直线斜率，则，有，设，，则（且），当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，消去y得，则，，又，即，则，整理得，解得或，此时方程中的，当时，直线：恒过点，当时，直线：，由于舍去，当直线时，则有，即有，而，解得，直线：过点，所以直线恒过点．22．(1)(2)【分析】（1）首先求处的切线方程