巧作辅助线构造全等形（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题06巧作辅助线，构造全等形

构造辅助线见角平分线，作垂线

❸性质类见垂直平分线，点点相连

见等腰，思三线合一

等腰，构造新等腰三角形

❹平行线

构造对顶三角形全等

【典例解析】

[例1]（2020•江苏江都月考）问题背景:

如图1：在四边形ABer）中，AB=AD,ZBAD=120o,NB=NAQC=90。，E,F分别是BC,Co上的点,

且/E4F=60。.探究图中线段BE,EF,Fo之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G.使。G=BE.连结AG,先证明AABE丝Z∖AOG,再证明

∕∖AEF^∕∖AGF,可得出结论，他的结论应是

G

探索延伸:

如图2,若在四边形ABC。中，48=AO,/8+/。=180。,EI分别是8C,8上的点，且/EAF=W/BAD,

上述结论是否仍然成立，并说明理山;

实际应用:

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(。处)北偏西30。的4处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前

进，舰艇乙沿北偏东50。的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别

到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

【答案】见解析.

【解析】解：问题背景：

EF=BE+DF,证明如下：

DG=BE

⅛∆ABf和AAOG中，＜NB=NADG,

AB=AD

：.ΛABE^∕∖ADG(SAS),

：.AE-AG,NBAE=NDAG,

,：ZEAF=-ZBAD,

2

.∙.ZGAF=ZDAG+/DAF=NBAE+ZDAF=NBAD-NEAF=NEAF,

：.NEAF=NGAF,

AE=AG

在EF和中，＜/EAF=NGAF,

AF^AF

：.ΔAEF^ΔAGF(SAS),

：.EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

故答案为EF=BE+DF.

探索延伸：

上述结论EF=BE+FD成立,

理由：延长尸〃到点G,使得。G=BE,连接AG,

・・•NB+NADC=I80。，ZA∞+ZADC=180o,

：.ZB=ZADG1

'：AB=AD,

：.ΛABE^∕∖ADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

1

YZEAF=—ZBAD

2f

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZDAF+ZBAE=ZBAD-NEAF=L/BAD,

2

：.ZGAF=ZEAFf

y.*：AG=AE,AF=AF,

：.ΔAFG^ΔAFE(SAS),

：.EF=GF1

VGF=DF+DG=DF+BE,

；・EF=BE+FD；

实际应用：

连接EF,延长8尸相交于点G

在四边形AoBCi4j,

VZAOθ=30o+90o÷(90o-70o)=140o,ZFOE=IOo=—ZAOB,

2

又•：OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90o-30o)+(70o+50o)=60o÷120o=180o,

ΛEF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里),

即此时两舰艇之间的距离210海里.

【变式1-1］（2020•重庆巴南月考）

（1）问题背景：

如图1,在四边形ABCz）中，AB=AD,ZBAD=120o,ZB=ZADC=90°,E,F分别是8C,CD上的点,

且/E4尸=60。，探究图中线段BE,EF,尸。之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是延长FO到点G,使。G=BE,连结AG,先证明/ABE合44DG,再证明/

AEF^AGF,可得出结论，他的结论应是.

（2）探索延伸：

如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=I80o,E,F分别是8C,CO上的点，NEAF=LNBAD,

2

上述结论是否依然成立？并说明理由.

【答案】（1）EF=BE+DFi（2）成立，见解析.

【解析】解：（1）EF=BE+DF,证明如下：

DG=BE

在4ABE和aADG中，＜NB=ZADG

AB=AD

：.∆ABE⅛∆ADG

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG

∖'NEAF=LZBAD

2

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZEAF

：.ZEAF=^GAF

：.∆ΛEF^∆AGF

.'.EF=GF

.".EF=BE+DF

故答案为：EF=BE+DF.

（2）结论EF=8E+f>F仍然成立；

理由：延长尸。到点G,使DG=BE.连结AG,

易证△ABE^/XADG

.'.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

'：ZEAF=-ΛBAD,

2

,ZGAF=ZDAG+ΛDAF=ΛBAE+ZDAF=ΛBAD-ΛEAF=ZEAF,

：.NEAF=NGAF,

AE^AG

在AAE尸和AAGF中，<NEAF=NGAF

AF^AF

：.∕∖AEF^ΛAGF（SAS）,

：.EF=FG,

'：FG=DG+DF=BE+DF,

J.EF=BE+DF.

【变式1-2］（2019•山东嘉祥•初二期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法.在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广

泛的应用.截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等.补

短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段.

请用截长法解决问题（1）

（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC中，NB=90°,AD是角平分线，交Be边于点D.求证：

AC=AB+BD.

A

图1

请用补短法解决问题(2)

(2)如图2,已知，如图2,在ΔABC中，ZB=2ZC,AD是AABC的角平分线.求证：AC^AB+BD.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)证明：在AC上截取AE=48,连接OE,

。是角平分线，

...ZBAD=ZEAD

AB^AE

在4ADB和^ADE中，，/BAD=NEAD

AD^AD

：.^ADB^AADE

，N4ED=∕B=90°,DE=BD

∙.∙AABC是等腰直角三角形，

二ZC=45o,

二AOEC是等腰直角三角形，

；.ED=CE,

.'.AC^AE+CE^AB+BD

(2)延长A8到F,使AP=AC,连接OF,

∙.∙A。是AABC的角平分线，

二ZFAD=ZCAD

AF=AC

在△必力和ACAO中，（NFAO=NCAO

AD^AD

Λ∆FAD^ACAD,

：./C=/F

VZABC=2ZC,NABC=NF+NBDF,

：.NF=NBDF,

.".BD=BF,

.".AC=AF=AB+BD.

【例2-1］（2020•唐山市丰南区）如图，在AABC中，AC=5,中线Ao=7,则AB边的取值范围是（）

C.5<AB<19D.9<AB<19

【答案】D.

【解析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE

、1

''E

在△AOC和AEDe中，

AD=DE,ZADC=ZBDE,CD=BD

：.丛ADC乌AEDB

：.AC=BE

VAC=5,AD=7

；.BE=5,AE=14

⅛∆ΛBEφ,AE-BE<Aβ<AE+βE

.∙∙AB边的取值范围是：9<Aβ<19

故答案为：D.

【例2-2］（2020.余干县月考）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在AABC中，AB=9,AC=5,求BC边上的中线AO的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长A力到Q,使得。。=4。；

②再连接8Q,把AB、AC、2AO集中在AABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4<Λβ<14,则AD的取值范围是.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线''等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条

件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明.

（3）思考：已知，如图2,AO是ZkABC的中线，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=90°.试探究线段

AO与EF的数量和位置关系，并加以证明.

E

图2

【答案】见解析.

【解析】解：(1)延长AO到。，使。。=4)，连接8。,

：A。是AABC的中线，

：.BD=CD,

BD=CD

在AQDB和AADC中，《NBDQ=乙CDA,

DQ=DA

.∖∆QDB^AADC,

：.BQ=AC=5,

在小ABQψ,AB-BQ<AQ<AB+BQ,

Λ4<Aρ<14,

Λ2<ΛD<7,

故答案为：2VAQV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，AQOB四Z∖AOC,

,ZBQD=ZCAD,

J.AC//BQ-,

(3)EF=2AD,ADLEF.

理由：延长AC到。使得BQ=AD,连接8Q,

由(1)知，ΔBDQ^∆CDA(SAS),

."DBQ=NACD,BQ=AC,

,:AC=AF,

：.BQ=AF,

在AABC中，ABAC+AABC+AACB=180°,

.∖N84C+N48C+NO8Q=180。,

.∙.N84C+A8Q=180°,

9o

：ZBAE=ZFAC=Wf

ΛZBAC+ZEAF=180o,

工ZABQ=ZEAFf

AB=EA

在ZkABQ和AE4∕7中，］ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：•∕∖ABQ^∆EAFf

：.AQ=EF1NBAQ=NAEF,

延长D4交"于尸，

∙/NBA£=90。，

,/BAQ+NEAP=90。，

o

，ZAEF+ZEAP=901

・•・ZAPE=90°,

：.ADIEFf

FAD=DQ,

ΛAQ=2AD,

,u

.AQ=EFf

t

：.EF=IADi

即：EF=2AD1ADLEF.

【变式2-1］（2019•山西模考）阅读材料，解答下列问题.

如图1,已知中，AO为中线.延长A。至点E,使DE=AO.在^AOC和aEOB中，AD=DE,

ZADC=ZEDBfBD=CD,所以，AACD/4EBD,进一步可得到AC=BE,AC//5E等结论.

A

A

C

图1图2

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线''的辅助线来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算

或证明题.

解决问题：如图2,在AABC中，AO是三角形的中线，点f为Ao上一点，且BF=AC,连结并延长8尸交

AC于点E,求证：AE-EF.

【答案】见解析

【解析】解：如图，延长Ao至点M使得。M=AC,连接8M,

Æ∖z

∙.∙A。是三角形的中线，

：.Biy=CD,

BD=CD,

在^MBD和小ACD中，＜NBDM=ZCDA,

DM=DA

：.4BDMm丛CDA,

：.AC=BM,NBMD=NCAD,

VBF=AC

JBF=BM

.".ZBMD=ZBFD

'.'ZBFD=ZEFAfZBMD=ZCAD

/.ZEFA^ZEAF,

；.AE=EF.

【变式2-2］（2020.北京朝阳期末）阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AO为AABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F,AE=EF.求证：AC=BF.

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图①,添加辅助线后依据SAS可证得△ADgAGDB,再利用4E=EF可以进一步证得NG=/∕¾E

=NAFE=NBFG,从而证明结论.

V

G

图①

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE=E尸可证得NG=NB尸G=NAFE=NME,再依据A4S可以进一

步证得AAOCg4GE>B,从而证明结论.

G

图②

完成下面问题：

(I)①思路一的辅助线的作法是：；

②思路二的辅助线的作法是：.

(2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不

需要写出证明过程).

【答案】(D①延长4。至点G,使Z)G=AO,连接8G；②作BG=BF交AD的延长线于点G；(2)见解

析

【解析】解：(1)①延长至点G,使OG=AQ,连接8G,如图①，理由如下：

：A。为AABC中线，

：.BD=CD,

AD=DG

在△ADC和△GDB中，∙jZADC=NGDB,

CD=BD

：.∆ADC^∆GDB(SAS),

JAC=BG,

'：AE=EF,

：.ZCAD^ZEFA,

∖'ZBFG=ZG,ZG=ZCAD,

：.NG=NBFG,

：.BG=BF,

：.AC=BF.

故答案为：延长A。至点G,使。G=A/),连接BG；

②作BG=BF交AD的延长线于点G,

理由如下：YBG=BP,

：./G=NBFG,

•：AE=EF,

：.ZEAF=ZEFA,

；NEFA=NBFG,

：.ZG=ZEAF,

NCAD=NG

在4ADCfll∆GOB中，＜ZADC=ZGDB,

CD=BD

Λ∆ΛDC^∆GDB(AAS),

：.AC=BG,

.∙.AC=8尸；

故答案为：作BG=B/交4。的延长线于点G；

(2)作8G〃AC交4£)的延长线于G,则∕G=NC4O,

：A。为AABC中线,

：.BD=CD,

NCAO=NG

在△4。C和△GDB中，＜ZADC=匕GDB,

CD=BD

：.AADgAGDB(AAS),

".AC=BG,

∖'AE=EF,

.'.ZCAD=ZEFA,

'：ΛBFG=AEFA,ZG=ZCAD,

：.ZG=ZBFG,

LBG=BF,

：.AC=BF.

【例3-1】（2020.华中科技大学附属中学月考）如图，AABC中，AB=AC,ZBAC+ZBDC=ISOO.

AA

B∖/CB∖/C

DD

(1)求证：AO为NBQC的平分线；

(2)若∕D4E=g∙NftAC,且点E在B。上，直接写出BE、DE.

DC三条线段之间的等量关系

【答案】⑴见解析；⑵DE=BE+DC.

【解析】证明：(1)过A作AG_LB。于G,A凡Le)C于居

二∕AGZ>N尸=90°,

.∙.NGA尸+/BOC=180。，

：N8AC+/BOC=I80°,

：.ZGAF=^BAC,

ZGAF-ZGAC=ZBAC-ZGAC,

：.ZBAG=ZCAF,

ZAGB=ZF=90

在^BAG和4CAFψ,«NBAG=NCAF

AB=AC

ΛΔBΛG^ΔCAF(AAS),

：.AG=AF,

：.ΛBDA=ACDA.

(2)DE=BE+DC,理由如下：

过A作NeAH=N8AE,交QC的延长线于H,

.∙.ZDAE=ZBAE+ZCAD,

•：NCAH=∕BAE,

.,.ZDAE=ZCAH+ZCAD=ZDAH,

VEAD=ZHAD

在4EAD和^HAD中，＜ADAD

NADE=ZADH

.∖∆EAD^∆HAD(ASA),

：.DE=DH,AE=AH,

AB=AC

在△£48和△HAC中，(NBAE=NCA”,

AE=AH

：.XEAB乌XHAC(SAS),

：.BE=CH,

.,.DE=DH=DC+CH=DC+BE,

：.DE=DC+BE.

故答案是：DE=DC+BE.

【例3-2](2020•无锡市胡城中学月考)如图，8。是AABC的外角/A8P的角平分线，DA^DC,DELBP

于点E,若AB=5,BC=3,则BE的长为

【答案】1

【解析】解：过点。作。FL4B于F,

A

：8。是NABP的角平分线,

.,.DE=DF,

BD=BD

在ABDE和ABOF中，＜

DE=DF,

Λ∆BDE*4BDF(HL),

LBE=BF,

DADC

在AAO尸和ACOE中，＜

DEDF,

：.ΔADF^ΔCDE（HL）,

：.AF=CE,

"：AF=AB-BF,

CE=BC+BE,

.".AB-BF=BC+BE,

：.ZBE=AB-BC,

VAβ=5,BC=3,

Λ2BE=5-3=2,BE=L

故答案为I.

【变式3-1］（2020.江苏江都月考）如图，点P为定角N408的平分线上的一个定点，且NMPN与NAOB

互补.若/MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与0A,08相交于〃、N两点，则以下结论：（I）PM

=PN恒成立，（2）OM+ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，

其中正确的为（请填写结论前面的序号）.

【答案】(1)(2)(3).

【解析】解：过尸作PE∙LOA于E,PFLOB=^-F.

.∖ZEPF+ZAOB=]SO°,

,.,ZMPN+ZAOH^∖SO°,

：.ZEPF=ZMPN,

NEPM=NFPN,

VOPZAOB,PElOA:f-E,PF±OB^F,

LPE=PF,

[OP=OP

在APoE和APof•中，V,

PE=PF

.∖ΛPOE^∆POF,

：.OE=OF,

NMPE=NNPF

在^PEM和4PFN中，＜PE=PF,

NPEM=NPFN

：.4PEMqAPFN,

：.EM=NF,PM=PN,故（1）正确，

•・SAPEW=5ΔPNF，

•∙SWiir-≈PMO,V=SMMlHPEO产定值，故(3)正确,

；0M+0N=0E+ME+0F-NF=20E=定值,故（2）正确,

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故答案为：（1）（2）（3）.

【变式3-2］（2020.四川达州期末）已知：如图，BD为AABC的角平分线，且BD=BC,E为8。延长线上

的一点，BE=BA,过E作EF_LAB,F为垂足.下列结论：①AABQ四△EBC；②NBCE+NBCO=180。；

@AD=AE=EC；@BA+BC=2BF；其中正确的是（）

B.①③④C.①®@D.①②③④

【答案】D

【解析】解：①Y8。为AABC的角平分线，

/.NABD=NCBD,

BD=BC

：.在4A8/）和^EBC中，«ZABD=NCBD,

BE=BA

AABDZAEBC(SAS),①正确；

②∙.∙B。为AABC的角平分线，BD=BC,BE=BA,

：.NBCD=NBDC=NBAE=NBEA,

,.∙AABD之AEBC,

"BCE=NBDA,

：.ZBCE+NBCD=ZBDA+ZBDC=180°,②正确：

③：/BCE=NBDA,NBCE=NBCD+NDCE,ZBDA=ZDAE+ZBEA,NBCD=NBEA,

：.NDCE=ZDAE,

.•.△ACE为等腰三角形，

.∙.AE=EC,

•：∆AθD^∆EBC,

JAD=EC,

.,.AD=AE=EC.③正确；

④过E作EG，BC于G点,

是NABC的角平分线BO上的点，且EFLAB,

：.EF=EG,

BE=BE

在RtABEG和RtABEF中，〈，

EF-EG

：.Rt△BEG^RtLBEF(HL),

.'.BG=BF,

'∙AE—CE

在RtACEG和RtAAFE中，＜，

EF-EG

：.RtACEGgRtAAEF(HL),

JAF=CG,

：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正确.

故答案为O∙

【变式3-3](2020,四川成都开学考试)如图，AO是，ABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DM,

△AOM和AAED的面积分别为58和40,则,.EQF的面积为()

【答案】C

【解析】解：过点。作DHlACTH

A

：A。是△ABC的角平分线，DFLAB,DHlAC,

：.DF=DH,

在RtADEF和Λz∆DMH中，DF=DH,DE=DM,

：.Rt△DEWRtADMH(HL),

∙,∙S∆DEF=S4DMH，

,：∕∖ADM和^AED的面积分别为58和40,

.♦.△ED尸的面积=LX(58-40)=9.

2

故答案为：C.

【变式3-4](2020•内蒙古扎鲁特旗期末)已知/BAC的平分线与5C的垂直平分线OG相交于点£>,OELAB,

DFLAC,垂足分别为E、F,

(1)连接C。、BD,求证：△CDF总ABDE；

(2)若AE=5,AC=3,求BE的长.

【答案】见解析.

【解析】证明：(1)连接。、BD,

平分∕BAE,DELAB,DF±AC,

：.DE=DF,

又∙.∙OG垂直平分BC9

：.CD=BD,

在放△SF和心"OE中，^维，

：・Rt△CDF冬RmBDE.

(∆∏=∆∩

⑵在用△AO歹和心AAOE中，法二法

IRlXADMRtAADE(HL)f

：.AE=AF9

•：Ri△CDF^RtLBDE9

：.BE=CF1

9：CF=AF-AC=5-3=2,

：.BE=If,

【习题专练】

1.（202。南部县月考）如图，在AABC中，AB=AC点。是BC的中点，点E是AzWC内一点，若

NAEB=NCED=90。,AE=BEfCE=DE=2,则图中阴影部分的面积等于.

【答案】4.

【解析】解：过。作DGLBE于G,过C作CnLAE于F,

・•・NDGE=∕CFE=90°,

∙.'NAEB=NDEC=90°,

OO

.∖ZGED+ZDEF=909ZDEF+ZCEF=909

：•ZGED=ZCEFf

♦:DE=EC

:AGDEqAFCE,

：.DG=CF9

V5ΔBED=-BE-DGfSABED=LAE∙CF,AE=BE,

22

∙*∙S∆BEl尸S&BED，

・・・。是BC的中点，

∙*∙5ΔBDgS△EDC=—×2×2=2,

2

∙*∙S阴影=2+2=4,

故答案为4.

2.（2020•江苏泰州月考）如图，四边形ABC。中，AB=ADfAC=5,ND48=NOCB=90。，则四边形ABCO

的面积为.

【答案】12.5

【解析】解：过点A作AELAC交8的延长线于E,

・•・ZZ)+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

：.ND=/ABE,

o

VZL>AB=ZCAE=90f

CAD=/EAB,

Λ

∖AD=AB1

：.ΔACD^∆AEB,

/.AC=AE9即AACE是等腰直角三角形，

・・・四边形ABCD的面积与^ACE的面积相等,

'.'SACE=—×5×5=12.5,

Δ2

.∙.四边形ABC。的面积为12.5,

故答案为12.5.

3.（2020•启东市月考）尸是AABC内一点，ZPfiC=30o,ZPBA=S0,且NA¾B=NA^C=22。，则NAPC

的度数为.

【解析】解：延长AC至F,使AF=A8,连BF,PF,延长AP交BC于Q,交BF于E,

AB=AF

在AAPB和AAPF中，ZPAB=ZPAC,

AP=AP

二l∖APB9XAPF,

：.AB=AF,PB=PF,ZAFP=ZABP=SO,

.∙.AP垂直平分8F,NBPE=NBAP+NABP=30%NFPE=NCAP+NAFP=30°

二NAEP=NFEP=90°,

：.NPBF=NPFB=60。

,：NPBC=30。

ZCBF=30o=ZPBC,ZBPF=ZBFP=ZPBF=60°,

.三角形8PF是等边三角形，BC平分NPBF

.∙.BC垂直平分PF

：.PC=PF

,NCPF=NCFP=8°

：.ZPPC=38°

，ZAPC=142°；

故答案为：142。.

4.（2020・四川成华期末）（1）如图1,在.ABC中，AB=4,AC=6,AO是BC边上的中线，延长AZ）到点E

使DE=AD,连接CE,把AB,AC,2AD集中在..ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；

（2）如图2,在ABC中，AO是8C边上的中线，点E,尸分别在AB,AC上，⅛DELDF,求证：BE+CF

>EF；

（3）如图3,在四边形A8C。中，/A为钝角，/C为锐角，ZB+ZADC=∖S0°,DA=OC,点区厂分别在

BC,AB上，且/EDF=LNAOC,连接EE试探索线段AF,EF,CE之间的数量关系，并加以证明.

2

【答案】(I)1<AD<5;(2)见解析；(3)AF+EC=EF,见解析

【解析】解：(1)：CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

ΛΔCDE^∆BDA,

...EC=A8=4,

V6-4<AE<6+4,

Λ2<2AD<10,

Λ1<AD<5,

故答案为：1<A0<5；

(2)延长Eo到H,使DH=DE,连接04,FH.

B

:ABDEQACDH,

：.BE=CH,

•；FDLEH,又DE=DH,

ZEF=FH,

⅛ΔCF∕∕ψ,CH+CF>FH,

∙/CH=BE9FH=EF,

.∙.BE+CF>EF;

(3)结论：AF+EC=EF.

理由：延长BC到“，使C7∕=4F∖

・•・ZΛ+ZBCD=180o,

∙/NDCH+NBCD=180。,

：.A=ZDCH,

•：AF=CH,AD=CD9

：.4AFD妾ACHD,

：∙DF=DH,ZADF=ZCDH1

：.ZADC=ZFDH,

1

・・•ZEDF=-ZADC

2f

・・・ZEDF=-ZFDH

29

.∖ZEDF=ZEDH1

YDE=DE,

.∖∕∖EDF^∕∖EDH,

：.EF=EHi

,.・EH=EC+CH=EC+AF,

,EF=AF+EC.

5.(2020∙武汉市期中)在.ABC中，。是BC的中点，E9F9分别在AB,AC上.S.DELDF,连EF.

(1)如图1,AB=AC,ZBAC=90o,求证：NDEF=45。；

(2)如图2,求证：BE+CF>EF.

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解：连接AD

•••△A6C为等腰宜角三角形,

oo

ΛZB=ZC=45,ZBAZ>ZCAD=45,AD-LBC9

•・・点力是BC中点,

：.AD=BD=CDf

VZEDF=90o,即NAOE+N4QF=90°,

ZADE+ZBDE=ZADB=90o,

・・・ZADF=ZBDE1

Λ∆BD^∆ADF,

：.DE=DF,/EQ尸=90°,

.∙.NQEF=45°；

(2)延长E。至G,使ED=DG,连接FG和CG,

,."FDlED,

：.NFDE=NFDG=90。,又FD=FD,

；.AFDEgAFDG,

：.EF=FG,

•:点D为BC中点,

：.BD=CD,又ED=DG,ZEDB=ZCDG,

.♦.△8。Eg△CDG,

.'.BE=CG,

在4CFG中，CG+CF>FG,

.∖BE+CF>EF.

6.（2020•北京海淀期中）已知，如图：AO是aABC的中线，AEVAB,AE=AB,AFLAC,AF=AC,连结

EF.试猜想线段4。与E尸的关系，并证明.

EJ

【答案】EF=2AD,EFLAD-,见解析

【解析】猜想：EF=2AD,EF±AD.

证明：延长AO到M,使AO=DM,连接MC,延长D4交EF于N,

3

W

：.AD=DM9AM=2ADf

AO是ZkABC的中线，：・BD=CD,

AD=DM

在AABD和^MCD中，ZADB=ZMDCi

BD=CD

：.∆ABD^∆Λ∕CD,

IAB=MC,NBAD=NM,

VAB=AEt：.AE=MC,

VAE±ΛB,AF±AC,ΛZEΛB=ZMC=90o,

φ.∙ZMC÷ZBAC+ZEAB+ZEAF=360o,

ΛZBAC+ZE4F=180o,

「ZCAD+ZM+ZMCA=180°,

/.ZCAD+ZBAD+ZMCA=180°,

即NBAC+NMCA=180。，

：.AEAF=AMCA.

AF=AC

在△4E户和中，］ZEAF=ZMCA,

AE=CM

・・・∆AEF^ACMAf

：・EF=AM,ZCAM=ZFf

：.EF=2AD；

∙/NCAF=90。,

・♦・ZCAM÷ZMΛ^=90o,

•：NCAM=∕F,

.∖ZF+ZFAN=90°,

：.NANF=90°,

.∖EF±AD.

7.（2020・四川成都）已知，如图Af）为AABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角

形ABE和等腰三角形ACRSLAE=AB,AF=AC,连接E居NEAF+NBAC=180。

（1）如图1,若NABE=63°,NBAC=45。，求N∕¾C的度数；

（2）如图1请探究线段EF和线段AO有何数量关系？并证明你的结论：

（3）如图2,设E/交A8于点G,交AC于点R,延长FC,EB交于点M,若点G为线段EF的中点，且

NBAE=70。,请探究/ACB和NCAF的数量关系，并证明你的结论.

卸图2ʌʃ

【答案】见解析.

【解析】解：⑴•・•AE=AB,

/.NAEB=NABE=63。，

ΛZEAB=54o,

•：ZBAC=45o,NEAF+/BAC=180°,

o

/.ZEAB+2ZBAC+ZFAC=180f

Λ54o+2×45o+ZMC=180°,

ΛZMC=36o;

(2)EF=2AD;理由如下：延长A。至从使DH=AD,连接BH,

小

、I

、I

、I

；H

「AO为△ABC的中线,

：.BD=CD,

BD=CD

在ZkBA//和△COA中，,NBDH=NCDA,

DH=AD

；.ABDH丝ACDA,

HB^=AC=AF,NBHD=NCAD,

J.AC//BH,

ΛZAfiW+ZBAC=180°,

'：ZEAF+ZBAC=∖S0o,

.".ZEAF=ZABH,

AE=AB

在^ABH和4EAF中,<ZEAF=ZABH,

AF=BH

AABH马XEAF,

：.EF=AH=2AD↑

（3）ZACB--ZCAF=55o理由如下：

2i

由（2）得，AD=ɪEF,又点G为EF中点,

2

.".EG=AD,

由（2）AABH冬AEAF,

：.ZAEG=ZBAD,

AE=AB

在AEAG和AABO中，<NABG=NBAD,

EG=AD

Λ∆EAG^∆ABD,

.".ZEAG=ZABC=IOO,

VZEAF+ZBAC=180°,

二ZEAB+2ZBAC+ZCAF=180°,

即：70o+2ZBAC+ZCAF=180°,

.∙.ZBAC+-ZCAF=55o,

2

N8AC=55。-—ZCAF,

2

,.∙ZABC+ZACB+ZBAC=ISO0,

NBAC=180。-ZABC-/ACB=180。-70。-ZACB-IlOo-ZACB,

：.ZACB--NCAF=55。.

2

8.（2020・湖北黄石期末）如图1,AABC中，AB=AC,ZBAC=90o,CO平分NACB,BElCD,垂足E在

C。的延长线上.请解答下列问题：

(1)图中与/QBE相等的角有：；

(2)直接写出3E和CO的数量关系；

(3)若AABC的形状、大小不变，直角三角形8EC变为图2中直角三角形BED,ZE=90°,且NEQB=；

ZC,OE与AB相交于点尸.试探究线段BE与尸£＞的数量关系，并证明你的结论.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)'：HELCD,

：./E=90。，

：.AE=ABAC,又NEDB=NADC,

：.NDBE=ZACE,

：CD平分乙4CB,

.∙./BCO=NACE,

：.ZDBE=ZBCD,

故答案为：NACE和/BC。；

(2)延长8E交CA延长线于尸,

YC。平分∕AC8,

.,.NFCE=NBCE,

ZFCE=ZBCE

在ACM和ACEB中，＜CE=CE,

ZCEF=ZCEB

Λ∆CEF^∆CEB(AS4),

IFE=BE,

ZACD=ZABF

在AAC3和AAB尸中，＜AC=AB,

NCAD=NBAF=90°

Λ∆ΛCD^∆AβF(ASA),

：.CD=BF,

：.BE=LCD；

2

(3)BE=—DF

2

过点。作。G〃CA,交8E的延长线于点G,与AE相交于，,

∖,DG∕∕AC,

：.ZGDB=ZC,ZBHD=ZA=90o,

'：NEDB=~ZG

2

.∙.ZEDB=ZEDG=ɪZC,

2

BELED1

jNBEO=90。，

：,/BED=NBHD,

•：NEFB=∕HFD,

：・/EBF=ZHDF,

AB=AC,NBAC=90。,

・♦・NC=NABC=45。，

•：GD//AC,

ΛZGDB=ZC=45o,

ΛZGDB=ZABC=45o,

：.BH=DH,

ZHBG=ZHDF

在△3G〃和△0/7/中，IBH=DH,

NBHG=NDHF=90°

.∖∕∖BGH^∕∖DFH(ASA)

：.BG=DF1

ZBDE=ZGDE

在ABOE和AGOE中，＜DE=DE,

NBED=NGED=90°

:,ABDEqAGDE(ASA)

ZBE=EG,

.11

JBE=-BG=-