安徽县中联盟2023~2024学年高二12月联考数学试题含答案

2023〜2024学年安徽县中联盟高二12月联考

数学试题

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围仄龌A£4择:性)祢亲二晨良/性苏在培二册窠百羊第7之节。

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.过点(2,—1)且与直线2工―3y+9=O平行的直线的方程是

A.27-3y—7=0B.2x+3y—1=0

C.3x+2^—4=0D.2z—3y+7=0

2.已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4伍,2),则双曲线C的标准方程为

A瓮—尤=]Ry_0二—武=]D武—式=]

,3636363628282828

3.若曲线三十生=1表示椭圆，则实数t的取值范围是

t—Z4—t

A.(2,4)B.(2,3)U(3,4)

C.(—oo,2,)U(4,+oo)D.(4,+oo)

4.已知抛物线C：»2=2ar(D>0),过点P(3,0)且垂直于z轴的直线I交抛物线C于A,B两

点,。为坐标原点，若△OAB的面积为9,则p=

A.-g-B.20，D.3

5.已知等差数列储”｝是递增数列，其前n项和为S”,且满足©6=2©3,当&〉0时，实数发的最

小值为

A.10B.11C.20D.21

6.已知点P是双曲线C：卷一£=1上一点，则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为

AMlR36旦nDA

A.13B.13C.]3-13

7.已知正四棱锥P-ABCD的各棱长均相等，点E是PA的中点，点F是PC的中点，则异面直

线DE和BF所成角的余弦值是

A.：B.C./D.-y

8.已知椭圆C：》今=1(。>6>0)的左、右焦点分别为居，Fz,点P在椭圆C上,PB的延长

线交椭圆C于点Q,且|PFJ=|PQ|APFE的面积为",记△PF】B与△QBB的面积

分别为S,Sz,则募=

A.72B.^+1C.72+1D.2

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知。=(1,—1,—1),b=(—2,2,0)9c=(2,1,—3),则

A.|a-f-b|B.(Q+8)<(a+c)=-6

C.(a+2b)_LcD.a//(2c—b)

2222

10.已知。G：(j;+2)+3/=ri,0C2：(J;-2)+j=r2,r1〉0,厂2〉0,则下列说法正确的是

A.若分别是。G与。C2上的点，则I的最大值是n+r2+4

B.当一尸2,厂2=3时,。G与。。2相交弦所在的直线方程为1=得

C.当r2=2时,若。C2上有且只有3个点到直线kx-y-2k+72=0的距离为1,则k=l

D.若。G与。C?有3条公切线，则nr2的最大值为4

11.已知倾斜角为冷的直线/经过抛物线C：y=2ar(力>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B

两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线相交于点D,则

A.以AF为直径的圆与y轴相切B.准线m上存在唯一点Q,使得瓦♦QB=0

「\BD\n\AF\_

'\BF\~■\BF\~

12.“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小

正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列{F0},其中居=1,B=1,契=2,居=3,…，小

正方形的面积从小到大记为数列{a,,},小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列

{6,3则

AF2021+F2025_0

F2023

B.FI+F2H----HF2023=尸2025—1

C.41+。2+…+42023=F2023F2024

D.6]+62+••,+62023=F0223尸2024

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛“〃｝是等差数列,“3+。7+Q11=—，则恁+。8=.

14.已知过原点。作圆C：(x—4)2+(、-3)2=9的两条切线，切点分别是A,b则cosZAOB

15.已知点PCc。,、。)是抛物线N2=6'上的一个动点，则，1^。+玩段+|3耿+2)。+10|的

最小值是.

16.已知双曲线E：胃一£=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为B，Fz，直线/：?=

广7+"TF)与双曲线E的左、右两支分别交于P,Q两点，且|PQ|=|QB|,若双曲

线E的离心率为e,则e2-5=.

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

已知等差数列的前n项和为S",a4=7,Su=121.

(1)求数列｛。"的通项公式；

(2)令6“=",求数列出“｝的前”项和T,,.

18.(本小题满分12分)

已知圆*+y+2x=0的圆心F是抛物线C的焦点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线I交抛物线C于A,B两点，点P(—2,—1)是AB的中点，求直线I的方程.

19.(本小题满分12分)

在菱形ABCD中,NBAD=等,AB=2,将菱形ABCD沿着BD翻折，得到三棱锥A-BCD

如图所示，此时AC=^6.

(1)求证:平面ABD,平面BCD；

(2)若点E是CD的中点，求直线BE与平面ABC所成角的正弦值.

C

B

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C,+g=l（a〉6>0）的左、右焦点分别是居，Fz,左、右顶点分别是A,Az，上、

下顶点分别是耳，民，四边形A13A2昆的面积为24,四边形居BiBBz的面积为6斤.

（1）求椭圆C的方程；

⑵直线/：?=左"十根与圆O：/+J=4相切,与椭圆C交于M,N两点,若△MON的面积

为呼,求由点M,N,5，&四点围成的四边形的面积.

21.（本小题满分12分）

已知数列｛温的前九项和为S“，a尸合,S尸审a"，》=tan3）tan（a+）.

（1）求数列｛。"的通项公式；

（2）求数列｛6.｝的前2024项和「024.

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系zOy中，已知动点M（2"?,〃?），N（2",一〃），点G是线段MN的中点，且

点（》?,〃）在反比例函数的图象上,记动点G的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）若曲线E与z轴交于A,B两点，点S是直线①=1上的动点，直线AS,BS分别与曲线

E交于点P,Q（异于A,B）.求证:直线PQ过定点.

2023〜2024学年安徽县中联盟高二12月联考•数学试题

参考答案、提示及评分细则

题号123456789101112

选项ACBACBDCACADABCBC

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分.

1.A【解析】设与直线2z—3y+9=O平行的直线的方程为2z—3）+a=0,将点（2,—1）代入得2X2—3X

（—1）+入=0,解得入=—7,所以所求直线的方程为2z—3了一7=0.故选A.

2.C【解析】设等轴双曲线C的方程为二一式=1,将点A（4畲,2）代入得盟一应=L解得"z=28.所以双曲

mmmm

线C的标准方程为嬴一向=1.故选C.

卜一2〉0,

3.B【解析】若曲线3+若=1表示椭圆，则｛4—%>0,解得2<xV4且1N3,所以实数t的取值范围是

[£一2N4一力，

（2,3）U（3,4）.故选B.

4.A【解析】将z=3代入/=2",得了=土支,所以点A（3,/J）,B（3,一同），所以|AB|=2回,

\OP\=3,因为5血=3|人引|OP|=母义2夜><3=9,解得力=停.故选八.

5.C【解析】因为是递增数列，所以。〉0.因为46=2勾3,所以。i3+3d=2a13,所以。i3=3d,所以a1o+3d

=3d,aio=0,所以S”—19tzio=0,S20=Si9+&o=。20=aio+10d=10d>0,所以当&〉0时，人的最小值为

20.故选C.

6.B【解析】由双曲线C的方程知渐近线方程为3%士2y=0,设P（z0,y。），由题意，得普一苧=1,即4%一9曷

=36,点P到渐近线3z+2）=0的距离由=乜台普*L,点p到渐近线31—2、=0的距离d2=

732+22

|3工012yoIcep,,,—I9忌一4必1_36卅*R

,32+（-2）2'所以44—9+4—]3.故选

7.D【解析】设AC,BD相交于点O,根据题意，以OA,OB,OP所在直线分

别为z轴，'轴,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,不妨设AB=4,则

QA=OB=2虑',OP=2废■，贝ljA（2A/2,0,0）,B（0,2#,0）,C（-2y2,0,

0）,ZX0.—2北;0）,P（0,0,2废'），因为点E是PA的中点，点F是PC的

中点，所以后（废',0,废'），尸（一加',0,&'）,所以证=（72,272,72）,5?"=

2区中，则3〈症徐〉二信普"袤案=

一母,所以异面直线DE和BF所成角的余弦值是停.故选D.

8.C【解析】不妨设\PF1|="z,|PF?|，焦距|=2c,由△PRFz的面积为加，得4加〃•

22

sin/FiPF2=〃，由余弦定理，得|居£|\PFl\+\PF2\-2|PFj||PF21cos/BPFz,则4浸=余

+n2—2mncos/F\PF?=(m+22)2—2mn(1+cos/FiPF?)=4a2—2mn(1+cos/FiPF?),所以

22

m??(1+cos^/FiPF2)=2a—2c=2〃,即(1+cos/FiPF2)=mnsin/FiPF2，所以l+cos/FiPB=

sin/BPFz,所以庶'sin(/KPB—£)=1,易得/FiPFz=},|PF"=|PQ|=根，所以田Q|=#»,

所以|PBI=2a-m,IQF,|=2a—2m,所以|PQ|=|PF?|十|QB|=4a—(笈+1)加=，〃，所以m=4a

—242a,所以|PF,|=(272"—2)a,IQFz|=(6—4废')a,所以鲁=|)27^1|+1.

5132|(6—4/2)。

故选C.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.

9.AC【解析】a+b=(―—,所以|a+'=乃,A正确；a+c=(3,0,—4),所以(a+b)•(a+c)=

—3+。+4=1,B错误;a+2b=(—3,3,—1),(a+2b)•c=-6+3+3=0,所以(a+2b)J_c,C正确；2c—b

=(6,0,—6),不存在实数Q使得a=K2c—b)，故a与2c—b不平行,D错误.故选AC.

10.AD【解析】由题意可知G(—2,0)(2(2,0),所以|GQ|=4,又A,B分别是0G与。C2上的点，所以

|AB|的最大值是ri+rz+4,A正确；当n=2,2=3时，。G：(Z+2»+/=4,OC?：(%-2y+/=%

两圆相交,两圆方程相减得相交弦所在的直线方程为z=一^,B错误;当2=2时，若©Cz上有且只有3

个点到直线为z—y-2为+伍=0的距离为1,则点C2到直线4工一24+笈=0的距离为1,所以

」-22—汇28+@1=1,解得&=±i,c错误;若与©Q有3条公切线，则©Ci与©G外切，即n+r2

Vk^+1

=4,所以r1U/)一=4,当且仅当ri=rz=2时等号成立.D正确.故选AD.

11.ABC【解析】设4(工1，2),35,北)，4,0)2尸的中点为(当+号,1)，由抛物

线的定义，得IAF|=g十号,AF的中点到y轴的距离为得+^-=~^-|AF|,故以

AF为直径的圆与,轴相切,A正确；|AB||AF|+|BF|=办+&+力,AB的中点

到准线的距离为巧也十号=，AB|，因此以AB为直径的圆与准线相切,故准线

机上存在唯一点Q,使得9•速=0,B正确；如图所示.过点A,B作准线机的垂线，

垂足分别为点E,M,由倾斜角为冷，可得/MDB=£■，设|BF\=s,则|BM\=“因为sin/MDB=相缪

J0IDLyI

=sin/,所以|BD|=2s,j|哥=2,C正确;设|AF|一，贝l」|AE|=力，因为sinNMDB=~^~=」+s，2s

=sin*,所以z=3s,所以|AF\=3s,所以R^j~=3,D错误.故选ABC.

0InrI

12.BC【解析】因为Fn+2=Fn+1+Fn=2Fn+E—,F1=E—,所以Fn+2+Fn-2=(2E+F1)+

2

(Fn-Fn-i)—3F„，令〃=2023,得B021+F2025=3F?023,所以一2一2'=3,A错误；B+F?+…+

023

023=(F—F)+(F—F3)+•••+(F2025024)=6025025-LBQ”==

F2324—F2-F2=F2正确；

F<Fi—F„-i)=FF+!-F„-iF„，所以见+a2H------\~a023=瑶+CF2F3—)+(FF—F2F3〉H—

nn+nn2FIF234

+(尸2023尸2024—B022尸2023)=尸202392024,C正确；A=亍F„=g&,所以仇+仇+…+仇023=

(Q1+。2+…+。2023)=今尸2023B024，D错误.故选BC.

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】—2乃

【解析】根据等差数列的性质，得恁+。7+。11=3田=—3^/2，所以。7=—4^，所以。6+〃8=—2氏.

14.【答案】，

【解析】由题意知，圆C的圆心坐标为(4,3),半径厂=3,所以|OC|=/?^=5,而/48=璃)=得,所以

|CX.|o

Q7

cos/AOB=cos2^/AQC=1—2sin2^AOC=1—2X-^7=巧.

Zb25

15.【答案】13

【解析】过点P作直线PQ与直线3支+2'+10=0垂直,垂足为Q,点F(0,~1)为抛物线/=6»的焦点，则

\PF\=2+得，|PQ|=13"。+丝+101,过点F作直线FFi与3“+2»+10=0垂直,垂足为F一则

\PF\+\PQ\>\FQ\^\FF1|」=*,当且仅当F,P.F三点共线时等号成立，即/。+等+

v13乙

|3例十竺+10］〉713.所以北十&卒+|3^o+2^+10|)13.即y°十之算+

V13乙乙

I3«zo+2j/o+lO|的最小值是13.

16.【答案】2悟

【解析】直线，”=毋(叶/?^庐)过尸1且与双曲线E的一条渐近线：、=一,？垂直，设垂足为T,易得

\F,T\=仇因为|OB|=c，所以|OT|=/?^=4,所以cos/TFjO=：,因为|PQ|=|QF?|.由双

曲线的定义得IQFi|-|QF2|=|FQ|+IFFiI-QF2\=\PFi\=2a,\PF2\~\PF}=2a,

II_在APrrrh/Tr门一IPBI,+IB£2I2一|PF2|2即b(2d)2+(2c)2—(4<i)2

1PJ7A

P£I—4a,在中，cos/TBO-------2|PFt||\------，即丁=------2•2a•2c------

=/等=先注，所以“―2仍一2/=0,所以(?)2—2X?—2=0,所以9=1+乃(?=1一偌

舍去)，所以次一5=、-5="岁—5=!一4=(1+乃y-4=2片.

aaa

四、解答题:本大题共6小题，共70分.

17.(本小题满分10分)

解：(1)因为5口=山衅32=11施=121,所以a6=ll.........................................2分

设｛%｝的公差为/所以。4+2/=11,即7+2/=n,所以d=2.4分

所以数列｛&｝的通项公式为an=a^+（〃-4）d=2〃-1..........5分

（2）由（1）,得S“二ll+（2,一1）」="..................................................6分

所以4=2=〃，图H—4=1，所以数列伉｝是首项为1,公差为1的等差数列....................8分

n

所以数列｛"｝的前n项和T“=（I,”=9十号........................................1。分

18.（本小题满分12分）

解：（1）圆72+y2+2x=。的方程可化为（i+l）2+y2=],故圆心的坐标为尸（一1,0）........................1分

设抛物线C的方程为V=-2%：（2>0）,所以—1■=一].,所以夕=2,...................................................3分

所以抛物线。的方程为/=—4办.......................................................5分

（乂=-4久1,

（2）设4（©,了1）,_6（竟2,丁2）,则《两式相减，得乂一出=一4（6一12），................7分

〔必=—4支2,

即（“+北）（〃一了2）=—4（©—），所以直线I的斜率氏=：：==+1...................................8分

因为点P（—2,—1）是AB的中点，所以？1+了2=—2,所以上=不、^=2............................................10分

所以直线Z的方程为;y+1=2（力+2）,即21一y+3=0........................................................................12分

19.（本小题满分12分）汽，

（1）证明：因为四边形ABCD是菱形,/BAD=^，所以ABAD与^BCD卜

$I

均为正三角形，\\\

取BD的中点O,连结OA,OC,则OA，BD,.......................................2分

因为AB=2,所以OA=OC=偌，/,，‘二I二一

因为。42+002=6=4。，所以OA，OC,...........................................4分产〜

又BE）nOC=O,BD,OCU平面BCD,所以OA_L平面BCD...........5分,

因为OAU平面ABD,所以平面ABD_L平面BCD...................................................................................6分

（2）解：由（1）可知,OA,OB,OC两两垂直，以。为坐标原点,OB,OC,QA所在直线分别为工轴,y轴,z轴建

立如图所示的空间直角坐标系，则A（0,0,①）,B（l,0,0）,C（0,西,0）,D（-1,0,0）,

因为E是CD的中点，所以E（一言，亨,0），所以荫=（-1,0,73）,BC=（―0,0）,懿=

（—等,乡,0），...............................................................................................................................................7分

[BA,m=-x-\-/3z=0,

设机=Cr,皿2）为平面ABC的一个法向量，则《一

IBC-m=­X-\-43y=Q）,

令j/=l,得乃，2=1,所以m=（痣，1,1）..................................................................................................9分

cos<BE,m>11分

设直线BE与平面ABC所成角为。，则sin9=cos<BE,m）|=§，所以直线BE与平面ABC所成角的正

弦值为...........................................................................12分

20.（本小题满分12分）

yX2aX26=24,

解:⑴设椭圆C的焦距为2c,根据题意，得々x2cX2Q6",...............................2分

.a2=b2+c2,

解得a=4,6=3,c=〃，.................................................................4分

所以椭圆C的方程是=.......................................................5分

(2)设M(xi),N(%2，了2),

因为直线/与圆。:%2+y=4相切，所以I初I=2,所以利2=4(£2+1).6分

V^+l

（9/+i6y2=i44,

联立（得（9+16%2）22+32日加1+16〃-144=0.

\y=kx-\-m,

因为圆O在椭圆c的内部，所以A〉0恒成立.

所以…一群需_16m2—144

“I"，—9+16层.7分

所以MN=，1+必|g—工2I=J1+彦｛(zi+zz4须&；=/1+好J()―4义15髭16；)4

=24/i+F^JI..................................................................9分

△MON的面积S=4X2X24=华，即4函+9/=0,解得k=0,此时直线/_Ly轴，所

乙yI1o

以MN，Bis,.......................................................................11分

所以四边形AffiiNB,的面积为［■><|MN|X|8出|=母义竽X6=8相.................12分

21.（本小题满分12分）

解：⑴因为S〃=生产心，所以当时,S〃—i=今④-1......................................1.分

所以S〃-Si="41右—，即/尸〃4口—1，所以“1,...............3分

所以片着.所以数列｛,是常数列,...................................................4分

所叫尚甘，所以卬=母〃,

即数列｛小｝的通项公式为◎=管".5分

tan(呼H-"5-)—tan%

'55，5

(2)tan—7C=t，an须4_工

55十5l+tan(y+y)tany

bn=tan)tan(an+i)=tan(詈H)tan