湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一年级下册学期期末考试数学试卷（含答案）

湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、复数上L（其中i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

3+4i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2、某圆台的侧面展开图为如图所示的扇环（实线部分），已知该扇环的面积为兀，

两段圆弧所在圆的半径分别为1和2,则扇环的圆心角a的大小为（）

2463

3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中

4、已知某班英语兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2人参加该校组织的英语

演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（）

A.±2B.-3C.—3D.—7

551010

5、已知正方体ABC。-AgG'中异面直线4G与gC所成角为（）

A.45。B.60°C.90。D.30°

6、已知。，E分别是△ABC的边8C和AC的中点，若\C=b'则6E=（）

11|-33

A.—b+aB.—b—aC.2b—aD.-b—2cl

22322

7、已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2,则该四棱锥的表面积为（）

A-4&B.4逐C.4G+4D.4石+4

8、《后汉书・张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆

起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首

衔铜丸，下有蟾蛛，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊

则振龙，机发吐丸，而蟾蛛衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，

寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图为张衡地动仪的结构图，现在相

距120km的4、B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75。方向，若A地地动仪正

东方向的铜丸落下，8地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离8地（）

A.（6073+60）kmB.（5073+60）km

C.（60^+50）kmD.（5073+50）km

二、多项选择题

9、已知a,z,eR-（a-l）i-/?=3—2i，z=（l+i）""，则下列说法正确的是（）

A.z的虚部是2iB.|z|=2

C.-=_2iD.z对应的点在第二象限

10、设向量a=（百1）,b=（O,2），则（）

Ajd=WB.q与的夹角为詈

C.（2a+Z?）与3共线D.0a+"）_!_0

11、在△ABC中，下列命题正确的是（）

A.若A>B，则sinA>sin3

B.若sin2A=sin2B，则△ABC定为等腰三角形

C.若acos3-Z?cosA=c，则△A8C定直角二角形

D.若三角形的三边的比是3:5:7,则此三角形的最大角为钝角

12、微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微

信运动公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的PK或

点赞，某学校为了解学生每周行走的步数，从高一、高二两个年级分别随机调查了

200名学生，得到高一和高二学生每周行走步数的频率分布直方图，如图所示.

若高一和高二学生每周行走步数的中位数分别为玉，々，平均数分别为弘，当，则（）

A.%1>x2B.^<x2C.>y2D.<y2

三、填空题

13、设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.8,0.9,则

在一次射击中，目标被击中的概率为

14、已知a=（3,4），b=（4,-2）»若2a—方与ka+2b为共线।可量,则实数

k=------

15、下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、尸分别为其所在棱

的中点，能得出〃平面MNP的图形序号是.（写出所有符合条件的序

16、若％<1，则函数/&）=兀+等最大值为.

四、解答题

17、某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2、3、4的人

数分别为1、3、2,现从这6人中随机选出2人作为该组代表参加表彰会.

（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X,求X不小于6的概率.

18、在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b，c.已知sinA=6sinC，

B=150。，△ABC的面积为6.

(1)求a的值；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2A+2)的值.

19、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以口60,180),[180,200),

[200,220),[220,240),[240,260)，[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如

(2)估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数.

(3)从月平均用电量在[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]内的四组用户

中，用分层抽样的方法抽取11户居民，求从月平均用电量在[220,240)内的用户中应

抽取多少户？

20、已知正方体.ABC。-A4GA

（1）求证：AD"平面GBO;

（2）求证：平面AQC

21、已知函数/（x）=6sin2x_2sin2x.

（1）求/（x）的对称中心；

（2）求/（力的最小正周期和单调递增区间；

（3）若xe-pO,求/＜x）的最小值及取得最小值时对应的x的取值.

22、如图所示△ABC的两边5c=1，AC=2＞设G是△ABC的重心，边上的高为

AH,过G的直线与45,AC分别交于E,F,已知A£=/IA8，AR=〃AC；

A〃

⑵若cosC=；,S-*S-c，（＞4，求（而+丽）・（而+―）的值;

（3）若BF.CK最大值为»求边AB的长.

参考答案

I、答案：c

硬十二1T_（1一‘）（3—5）_17.

解析：-------=T-------77-------C=------------1，

3+4i（3+4i）（3-4i）2525

故旦对应点坐标为J_L,一工］,从而复数对应点在第三象限.

3+4iI2525J

故选:C.

2、答案：D

解析：由该扇环的面积为兀，两段圆弧所在圆的半径分别为1和2,

可得,ax??—工axf=兀，解得a="，

223

即扇环的圆心角a的大小为生.

3

故选：D.

3、答案：C

解析：直观图中，NADC=45。，AB=BC=2,DC上BC，：.AD=2B£>C=4,

.••原来的平面图形上底长为2,下底为4,高为4及的直角梯形，

该平面图形的面积为（2+4）x4及xg=12&.

故选：C

4、答案：B

解析：记这3名男生分别a,b,c,这2名女生分别为。，E,

则从这5名学生中任选2人的情况有

ab,ac,aD,aE,be,bD,bE,cD,cE,DE,共10种，

其中恰有1名女生被选到的情况有a。，aE,bD,bE,cD,cE,共6种，

则所求概率p=9=3.

105

故选：B.

5、答案：B

解析：由正方体的性质知：AD//B\C,故AG与4C所成角为或其补角，

又△GAQ为等边三角形，则/64。=60。.

故选：B

6、答案：D

解析：如图，因为D,E分别是△ABC的边8c和AC的中点，

1IQQ

BE=BC+CE=2DC一一AC=2（AC-AD）——AC=-AC-2AD=-b-2a-

21>222

故选：D

7、答案：C

解析：依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4,四个侧面是全等的正三角形，每个

正三角形面积为1x2?=6，

4

所以四棱锥的表面积为46+4・

故选：C

8、答案：A

解析：由题意，作出示意图，其中30,AC，于是N84C=75。，

地震地点在。处,

则」。

根据正弦定理，——8C20sin75

sinZBACsinZBCAsin45°

又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin300="+6

4

故公噜翳=6。+6。"

故选：A

9、答案：BC

一解得,

解析：由复数相等可得b=3,:一T所以z=(l+i)»=(l+i)2=2i，

a—\=-2,Z7=-3,

对于A,z的虚部是2,故A错误;

对于B,|zH2i|=2,故B正确;

对于C,I=_2i，故C正确;

对于D,z对应的点在虚轴上，故D错误.

故选：BC

10、答案:AD

解析：因为a=（百，一I）,8=（0,2），所以卜卜671=2,恸=2，故A正确;

因为a=（61），b=（O,2），所以cos,，匕）=斌j-2__£

T--2,

因为两向量夹角的范围为［0,可，所以°与。的夹角为四,故B错误;

因为£>=(0,2)，所以2a+b=2(G,-l)+(0,2)=(2百,0),

又人=（0,2），所以（2。+可2=0,所以（2a+匕）j_"所以（2a+人）与匕不共线，故C错

误，D正确.

故选：AD.

11、答案：ACD

解析：在△ABC中,若A>B,则a>h，因此sinA>sin3,A正确;

若sin2A=sin2B，则2A=28或2A+23=兀，

即A=8或A+6=乙，

2

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；

若acosB-bcosA-c'

则sinA-cos5—sin-BcosA=sinC=sin(A+B),

所以sin3cosA=0，即cosA=0，A=—»

2

所以△ABC定为直角三角形，C正确；

三角形的三边的比是3:5:7,设最大边所对的角为。，

则cos6=fi工二二=」，因为0＜。＜兀，

2x3x52

所以。正确.

3

故选:ACD.

12、答案：BD

解析：由频率分布直方图，(0.015+0.02)x10=0.35，

(0.015+0.02+0.025)x10=0.6,

(0.005+0.02)x10=0.25，(O.(X)5+0.02+0.035)x10=0.6

则xd60,70］，/e［70,80］，

进行数据分析可得：(再一60)x0.025+0.15+0.2=0.5，

解得玉=66，(%一70)x0.035+0.05+0.2=0.5，

解得工,=理=77!

-77

所以满意度评分中位数玉＜乙，故B正确，

y,=45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.2+85x0.1+95x0.1=67,

%=55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=77.5,

所以满意度评分平均数x<%，故D正确，

故选：BD.

13、答案：0.98

解析：由题意目标未被击中的概率是(1-0.8)x(1-0.9)=0.02,

所以目标被击中的概率为1-0.02=0.98-

故答案为：0.98.

14、答案：-4

解析：因为a=(3,4)，。=(4,一2)，所以2a—0=(2,10)，h/+2b=(3左+8,4左—4)，

因为2a-〃与燃+2〃为共线向量，所以2(41—4)=10(3、+8),解得:k=-4-

故答案为：-4.

15、答案：①②

解析：对于①，如图1.

图1

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MN//AC，NP//AD-

XBC//AD>所以NP//BC.

因为MNu平面MNP,ACU平面MVP,所以AC//平面MNP.

同理可得5c〃平面MNP.

因为ACu平面ABC，3Cu平面ABC，ACBC=C，

所以平面ABC//平面MNP.

又ABu平面ABC,所以Afi〃平面MNP,故①正确；

图2

对于②，如图2,连结CD

因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以MP〃C£>.

又4。/3。，且4。=%>，所以，四边形ABDC是平行四边形，所以AB//C。，

所以AB//MP.

因为MPu平面MNP,AB仁平面MNP,所以AB〃平面MNP,故②正确；

图3

对于③，如图3,连结AC、AD.CD.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以MP//AC，MN//CD-

因为ACZ平面MNP，叱u平面MNP,所以AC〃平面MNP.

同理可得CD//平面MNP.

因为ACu平面AC。，C£)u平面AC。，ACCD=C，

所以平面ACO〃平面MNP.

显然4平面AC，B任平面AC。，所以AB.平面ACO,且AB与平面ACO不平

行，所以A8与平面MNP不平行，故③错误；

图4

对于④：如图4,连接GE,EN,因为M,N为所在棱的中点，则MN//EF,

故平面MNP即为平面MNEF,由正方体可得AB//EG>

而平面ABGE^平面MNEF=EM，

若AB〃平面MNP,

由ABu平面ABGE可得AB//EM，

椒EGHEM，显然不正确，故④错误.

故答案为：①②.

16、答案：_2血+1

解析：y(x)=x+—=x-i+-^—+i=-+i,

x-1x-1_1_x_

由于x<l，所以i-x>0，故1-x+22^(1-尤)=20,当且仅当

l-x==-nx=i—贬时等号成立，

1-x

因此/(x)=-l—x+『-+1<-272+1,

故答案为：-272+1

17、答案：(1)-1；

15

⑵-

5

解析：(1)记参加了2次志愿者活动的人为a,参加了3次志愿者活动的人为白、

瓦、4，参加了4次志愿者活动的人为q、c2.

从这6人中随机选出2人.共有6曲、ab2>ab3>ac]>eg,、〃也、“四、、〃&、

b1b3、、h2c2>A。、b3c2、eg这15种选法；

其中这2人参加志愿者活动次数相同的有。仇、他、b2b3、C&这4种选法.

故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为

15

(2)由⑴可知,X小于6有助、ab2>这3种选法，

故X不小于6的概率1_a=±

155

18、答案：（1）26；

（2）叵;

14

⑶5

解析：（1）sinA=6sin。，.•.由正弦定理得4=百。

又△A8C的面积为G，二.；〃csinl50o=G，解得c=2,

a=2>/3；

(2)由余弦定理有b?=a2+c2—2/2CCOS150°9•9-b=2v7•

由正弦定理，_=±nsinA2x/5sin150。

sinAsinB2A/714

(3)B=150°，.•.A<90°，.•.由sinA=叵得，cosA;包

1414

sin2A——2sinAcosA——，cos2A2cos-A-1=••

1414

.(A兀).Cd兀C.•兀13

/.sin2A+—=sin2Acos—+cos2Asin—=—.

I6)6614

19、答案：(1)0.0075

(2)众数、中位数、第80百分位数分别为230、224、253.33

(3)5

解析：(1)因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1,

则(0(X)2+0.0025+().(X)5+x+0.0095+0.011+0.0125)x20=1，

得x=0.0075•

(2)月平均用电量的众数是220+24°=23().

2

因前3个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5.

前4个矩形面积之和为(0.002+0.0095+0.011+0.0125)x20-0.7>0.5.

则中位数在［220,240)内，设为y,则(y-220)x0.0125=0.5—0.45，得y=224,即中

位数为224.

因为前4个矩形面积之和为().7<0.8，前5个矩形面积之和为

0.7+20x0.0075=0.85>0,8，则第80百分位数在［240,260)内，

设第80百分位数为。，则(a-240)*0.0075=0.8-0.7=0.1,解得”253.33,即第80

百分位数约为253.33.

(3)月平均用电量为［220,240)的居民对应的频率为:0.0125x20=0.25.

又由(2)分析可知，月平均用电量为［220,240),［240,260),［260,280),［280,300)的四组

居民对应频率之和为：1-0.45=0.55.

则应抽取居民的户数为：llx丝=5.

0.55

20、答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：(1)证明：正方体ABCO—44储。「CQ=4g，

又ABgB、,AB=AtB.,:.C、DJ/AB,CR=AB,

四边形GOAB是平行四边形，

AD、HC\B,

•.<8(=平面。/。，A"《平面QB。，

40〃平面GBO.

(2)证明：正方体ABC。—A4G2.

A。-L，CD,平面A,ADD,,

4£>1<2平面44。口，/.CD±AD］,

又A£)p|C£)=Q，A}D,O)u平面4。。

ADt_L平面AQC.

21、答案：(1)［一］+

(2)最小正周期为兀；-—+kit,—+kn,(keZ)

(3)九n(x)=-3，x=-W

解析：(1)/(%)=\/3sin2x-2sin2x-V3sin2x-1+cos2x

.G1Q]

sin2x+-cos2x—1=2sin[2x4-^-j-1

2

7

由2%+2=也得》=—2+蛆，ZeZ，

6122

所以对称中心+左eZ）；

（2）/'（X）=2sin（2%+弓）-1,

T=育，.•.T=g=兀，.•・/（X）的最小正周期为无，

由一二+2EW2x+工4巴+2E，kwZ，

262

zg71.7C,‘._

fe：---\-kjt<x<—+kjtyZwZ，

36

・・・/（%）单调递增区间为一尹配看+而，化£Z）;

(3)/(x)=2sin(2x+^-j-1,

57171

xe--,0，「•2cx+—兀w

L26~6,6

.(c兀)[1

sin2x+—G-1,—，

I[_2」

/.2sin[2x+看]-1£[-3,0],

即：埼(6=-3,此时.工+9-弓，x=-g

oZ5

22、答案：(1)3

⑵①

100

(3)2或4屈

15

解析：(1)AE=A,AB=>AB=—AE»AF-ACAC-—AB

A4

如图所示，连接AG并延长交BC于点。，则。为BC中点

A

因为G为△ABC重心

77

所以AG=4AO=--(AB+AC\^-AB+-AC=—AE+—AF

332、〃33323〃

因为4G，AE,囚产起点相同，终点共线

所以导A"所以；+)=3

(2)设角A,B,C所对的边分别为mb,c,.\a=l^b=2

c2=a2+/?2-2Q〃COSC=1+4-2X1X2X—=4,/.C=2

4

S4AEF=；AExAFxsinZEAF=；AABx(//AC)xsinZEAF

SAABC=；ABxACxsinABAC

所以沁="=2，

—I—=3

由，〃解之得4

3

Ll二一

AE=2X-=-,A/?=2X-=-

42