上海市黄埔区大境中学2023年高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右

上角"条形码粘贴处"。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1

1.已知a是第三象限的角，若tana=',则cosa=

A_邪R非「2"n275

Ak•”•AS•-----lx■---U•---

5555

2.关于x的不等式ax—b>0的解集是Jo』），则关于x的不等式<0

的解集是（）

A.（—oo,—1]U[2,+oo）B.[—1,2]

C.[1,2]D.（-co,1]U[2,内）

3.在三棱锥「一ABC中，PA=PB=PC=24,AB=AC=BC=2小,则三

棱锥P—ABC外接球的体积是（）

4.设△A5C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若2cosBsinA=sinC,则4ABC

的形状一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

5.已知函数y=sin（3x+（p）（3>0,0<q><；）,且此函数的图象如图所示，由点

P（co,（p）的坐标是（)

6.若关于的方程有两个不同解,

则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

7.在ZVLBC中，所对的边分别为a,b,c,若c=/,A=45。，3=75°,则

a=（）

A.gB.OC.1D.3

8.把等差数列1,3,5,7,9,…依次分组,按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括

号三个数，第四个括号一个数，…循环分为

（1）,（3,5）,（7,9,11）,（13）,（15,17）,（19,21,23）,（25）,…，则第n个括号内的各数之和

为（）

A.99B.37C.135D.80

9.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）

1111

A-18B9C，6D12

10.已知“，b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若。〃a,b//a,则。〃匕B.若,aua,bu|3,则

C.若2,九bla,则a//aD.若a//0,aua,则a//0

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.在正方体的ii体ii对角线A।C与棱CO所在直线的位置关系是

12.如图，长方体。4BC-。'ABC'中，|0A|=3,pq=4,=AC与

B'D'相交于点P,则点P的坐标为.

13.已知直线/与圆C：(x—21+(y-2)=4交于A,B两点，|AB|=20,则满

足条件的一条直线，的方程为.

14.在公比为g的正项等比数列｛%｝中，%=%则当3a2+%取得最小值时，bg?"=

15.在数列3｝中，a-4n--,a+a+a+•­•+«-am+bn,贝!]

nn2123n

ab=.

16.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.若在定义域内存在实数x,使得/G+1)=/G)+/(1)成立，则称函数有“和

000

一点“X0.

(1)函数/(x)=lgx是否有“和一点”？请说明理由；

(2)若函数/(x)=2x+2&+a有，，和一点%求实数a的取值范围；

(3)求证：/G)=cosx有，，和一点，，.

18.已知关于》的不等式。一加)1一加2)<0.

(1)当加=2时，求不等式的解集；

(2)当根eR,mH。且"今1时，求不等式的解集.

sin(a-H)cos(—+a)tan(K-a)

19.已知a为第三象限角，22______________.

tan(-a—TT)sin(-a—TC)

⑴化简/(a)

(2)若cos(a一2)=(，求/(a)的值

20.已知等比数列｛。｝的前〃项和为S，且S=7,s=63.

nM36

(1)求数列%｝的通项公式；

n

(2)记b=21oga+1,求｛。匕｝的前〃项和T.

n2n"+]n”

71

21.四棱锥P—A8CD中，底面ABC。是边长为2的菱形，NBAD),APAD是

等边三角形，F为AD的中点，PA1BF.

(I)求证：PB1AD；

(II)若CB=3CE,能否在棱PC上找到一点G,使平面。平面A8CD?若存

在，求CG的长.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、D

【解析】

根据a是第三象限的角得cosa<0,利用同角三角函数的基本关系，求得cosa的值.

【详解】

因为a是第三象限的角，所以cosa<0,

,siiva+cos2a=1,_

12月

因为tana=所以qsina1解得：cosa=—I｛一，故选D.

2----=-,5

.cosa2

【点睛】

本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知tana值，求

cosa的值.

2、A

【解析】

试题分析：因为关于x的不等式ax-b>0的解集是(一8』)，所以。<0,2=1,从而

a

b

W0可化为(x+—)(x-2)Z0,解得x22或xAT,关于X的不等式

a

W0的解集是(一8,-1]U[2,+oo),选A。

考点：本题主要考查一元一次不等式、一元二次不等式的解法。

点评：简单题，从已知出发，首先确定a,b的关系，并进一步确定一元二次不等式的解

集。

3、B

【解析】

三棱锥P—ABC是正三棱锥，取。'为△ABC外接圆的圆心，连结PO',则尸。'平

面ABC,设。为三棱锥P-ABC外接球的球心，外接球的半径为R,可求出

O'A,P0',然后由。。'2+0712=042=/?2可求出半径，进而求出外接球的体积.

【详解】

由题意，易知三棱锥P-ABC是正三棱锥，

取。'为△ABC外接圆的圆心，连结P。'，则PO'_L平面A8C,设。为三棱锥

P-ABC外接球的球心.

=班XL=2

因为48=4。=8。=2/，所以7J2.

T

因为PA=PB=PC=2邪,所以p（y=JpA2二O'A；=4.

设三棱锥产一4BC外接球的半径为R,则（4—R》+4=H2,解得R=g,故三棱锥

41257r

尸一ABC外接球的体积是k兀尺3=.

J0

故选B.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，

属于中档题.

4、C

【解析】

将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.

【详解】

△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

2cosBsinA=sinCn2cosBsinA=sin（A+B）-sinAcosB+cosAsinB

cosBsinA-cosAsin8=0nsin(A-8)=0

角A,B,C为△45C的内角

NA=ZB

故答案选C

【点睛】

本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.

5、B

【解析】

先由函数图象与x轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出

①的值，再将点（［二。）代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出甲的

值，即可得出答案。

【详解】

小八（7兀3兀、2九

解：由图象可得函数的周期T=2xb一=兀.♦.M=兀，得3=2,

V88）co

「3兀、八3n〜

将代入y=sin(2x+(p)可得sinI—+<p|=0,+(p=7t+2Zr7r(注

意此点位于函数减区间上）

71

・・.（p=_+2Ki,keZ

4

「兀兀

由。<<p<2可得（P=W，

n

...点（3,（p）的坐标是（2,二），

4

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求三角函数丫=Asin（3x+<p）+b（A>0）的解析式，其步骤如下：

、y~yy+y

（J）求A、b•A=­ma*2"mi.,b=-ma>t】twin-；

,,2兀

②求3：利用一些关键点求出最小正周期T,再由公式悭1=7求出3；

③求中：代入关键点求出初相中，如果代对称中心点要注意附近的单调性。

6、D

【解析】

换元设二=Wn二+eU，将原函数变为，根据函数图

像得到答案.

【详解】

设，则

,单调递增，则

如图:

数的取值范围为

故答案选D

【点睛】

本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的

关键.

7、A

【解析】

利用三角形内角和为180。，得到C=60°,利用正弦定理求得。

【详解】

因为4=45。，3=75。，所以。=180。一45。一75°=60°,

在A4BC中，一下二二^,所以.a「J=,故选A.

sinAsinCsin45°sin60°

【点睛】

本题考查三角形内角和及正弦定理的应用，考查基本运算求解能力.

8、D

【解析】

由已知分析，寻找数据的规律，找出第11个括号的所有数据即可.

【详解】

因为每三个括号，总共有数据1+2+3=6个，相当于一个“周期”，故第H个括号，在第

4个周期的第二个括号；则第11个括号中有两个数，其数值为首项为1,公差为2的等

差数列数列M｝中的第20项(6x3+2),第21项的和，即

n

S=a+a=2a+39J=80

20211

故选：D.

【点睛】

本题考查数列新定义问题，涉及归纳总结，属中档题.

9、B

【解析】

试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有(1,4),(2,3),

41

(3,2),(4,1)这四种，因此所求概率为大=二，选B.

369

考点：概率问题

10、D

【解析】

试题分析：。,匕是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，

在A中：若a//a,b//a,则a,匕相交、平行或异面，故A错误；

在B中：若a'B,aua,bup,则“，匕相交、平行或异面，故B错误；

在C中：若2_1坂，bla,则a//a或aua,故c误；

在D中：若a//|3,aua,由面面平行的性质定理知，a//p,故D正确.

考点：空间中直线、平面之间的位置关系.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、异面直线

【解析】

根据异面直线的定义，作出图形，即可求解，得到答案.

【详解】

如图所示，AC与CO不在同一平面内，也不相交，所以体对角线4c与棱是异面

11

直线.

【点睛】

本题主要考查了异面直线的概念及其判定，其中熟记异面直线的定义是解答本题的关

键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

3

12、0,2,5)

【解析】

易知P是A'C'的中点，求出A',C'的坐标，根据中点坐标公式求解.

【详解】

可知A'(3,0,5),C'((),4,5),由中点坐标

3+04+05+53__

公式得尸的坐标公式(丁,下一，刀一)，即。0,2,5)

【点睛】

本题考查空间直角坐标系和中点坐标公式，空间直角坐标的读取是易错点.

13、y=i(答案不唯一)

【解析】

确定圆心到直线的距离，即可求直线/的方程.

【详解】

由题意得圆心坐标(2,2),半径r=2,|A耳=20，

.•.圆心到直线/的距离为d=l,

,满足条件的一条直线/的方程为y=L

故答案为：y=i(答案不唯一).

【点睛】

本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.

1

14、2

【解析】

利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比学，由此求得log,4

的值.

【详解】

•..在公比为g的正项等比数列｛%｝中，%=9,根据等比数列的性质和基本不等式得

3a+a>2J3aa=2J3ai=1873,当且仅当%,=。，即一=9q,即g=J

时，女^+%取得最小值，=

故答案为：—

【点睛】

本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题.

15、-1

【解析】

首先根据〃=4〃一会，得到M｝是以a=4-2=2,4=4的等差数列.再计算其前〃

项和即可求出。，匕的值.

【详解】

因为a=4n--,a—a=4/1———[4（/2—1）——]=4.

n2"»-i22

所以数列｛5｝是以q=4—1•=1，d=4的等差数列.

二2H2-—n

2

故答案为：一1

【点睛】

本题主要考查等差数列的判断和等差数列的前〃项和的计算，属于简单题.

16、[—4,5]

【解析】

,所以

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不

等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号

取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、(1)不存在；(2)a>-2；(3)见解析

【解析】

(1)解方程3(,+1)=馆弋+1即可判断；

(2)由题转化为2(x+1)+«+2x+i=2x+a+2x+2+a+2有解，分离参数a=*-2求值域

即可求解；

(3)由题意判断方程cos(x+1)=cosr+cosl是否有解即可.

【详解】

(1)若函数有“和一点”X,则

0

lgG+1)=Igx+l=lg(10x).\x+1=10xx=一一<0不合题意

0000009

故不存在

(2)若函数/(X)=2x+a+2r有“和一点"七.

则方程/(x+l)=f(X)4/(I)有解，

即2(x+1)+«+2r+i=2x+a+2r+2+G+2有解，

即a=2x-2有解，

故a>-2；

(3)证明：令/(x+1)=f(x)+f(1),

即cos(x+1)=cosx+cosl,

即cosxcosl-sinxsinl-cosr=cosl,

即(cosl-1)cosx-sinxsinl=cost,

故存在e,

故J(cos1—1)2+sin21cos(x+0)=cosl,

即J2—2CO71COS(X+0)=cosl,

cosl

即cos(x+e)=

-2cosl

cos21-(2-2cosl)

=cos21+2cosl-2

兀71；+/-2<0,

<cos2,+2cos,-2二

44

/cosl

故0y/2-2cosl<1

故方程cos(x+1)=cosx+cosl有解,

即/（x）=COSX函数有“和一点.

0

【点睛】

本题考查了新定义及分类讨论的思想应用，同时考查了三角函数的化简与应用，转化为

有解问题是关键，是中档题

18、（1）{xl2<x<4}；（2）当0<m<1时，解集为{x\m2<x<m},当%>1或m<0

时，解集为tI/?/<X<7H2}

【解析】

（1）当加=2时，不等式是一个不含参的二次不等式，分解因式，即可求得；

（2）对参数小进行分类讨论，从而确定不等式的解集.

【详解】

（1）当机=2时，原不等式为（x-2）（x-4）<0

故其解集为{xl2<x<4};

（2）令（》一加）（工一加2）=0则方程两根为％="或x=m2.

因为meR,加w0,加#1,所以

①当机>机2即0<机<1时，解集为h:\in2<x<m}.

②当机<加2即机>1或m<0时，解集为€:I/n<x<W2}

综上可得：①当机>，〃2即0<m<1时，解集为（x\m2<x<m}.

②当机<即机>1或m<0时，解集为{<I772<X<W2}

【点睛】

本题考查不含参二次不等式的求解，以及含参不等式的求解，属基础题.

4

19、（1）见解析;（2）5.

【解析】

利用指数运算、指对互化、对数运算求解

试题分析：

（1）

、—cosczsma（-tana）

f（a）=------------'-------=-cosa

-tanasina

(2)由，得.又已知a为第三象限角，

所以，所以，

所以/(a)=迎............io分

5

考点：本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定.

点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好

的判定方法.诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般.

20、(1)a=2«1(2)T=6+(2n-3)2«+i

nn

【解析】

(1)直接利用等比数列公式计算得到答案.

(2)b=2〃-1,ah=(2〃-1)2"，利用错位相减法计算得到答案.

it"+1n

【详解】

(1)设等比数列｝的首项为4,公比为生显然="」"_=7,

"13\-q

a(1-决)

S——1------=63.两式联立得：。=1,q=2,：,a=2"i.

6\-q1"

(2),/b=21oga+1=2〃-1,所以