电路理论 第一章

电路理论

CircuitTheory

湖北工业大学电气与电子工程学院本章要点：

1.

电压、电流的参考方向

2.

电路元件特性

3.

基尔霍夫定律Chapter1

电路元件和电路定律

CircuitElementsandCircuitLaws1.1电路和电路模型

CircuitandCircuitModel1.实际电路由电阻、电感、电容、电源和晶体管等器件，按照预期目的用导线连接构成的电流的通路。功能能量的传输、分配与转换信息的传递与处理共性遵循同一电路理论例1路灯例2个人电脑火力发电厂高压电网变电站家庭照明能量信息2.电路模型由理想电路元件代替实际器件后所构成的电路，它是实际电路的科学抽象。理想电路元件具有某种确定的电磁性能的理想元件。绕线电阻器电阻元件（Resistor）：表示消耗电能的元件电感元件（Inductor）：表示产生磁场，储存磁场能量的元件电容元件（Capacitor）：表示产生电场，储存电场能量的元件电源元件（Source）：表示各种将其它形式的能量转变成电能的元件电池+_开关灯泡导线手电筒电路示例注意具有相同的主要电磁性能的实际电路器件，在一定条件下可用同一模型表示同一实际电路器件在不同的应用条件下，其模型可以有不同的形式+_+_1.2

电流和电压的参考方向

CurrentandVoltageReferenceDirection电压（voltage）电流（current）电荷（charge）磁链（fluxlinkage）能量（energy）功率（power）电路中的主要物理量在线性电路分析中人们主要关心的物理量是电压、电流和功率1.电流（Current）①

电流带电粒子的定向运动形成电流电流的大小用电流强度表示单位：安培符号：A

（Ampere）②电流的参考方向（referencedirection）电路分析中，任意选定的一个方向即为电流的参考方向。+_示例试求如图所示电路中的电流。解①

标出电流的参考方向参考方向实际方向参考方向ABAB实际方向实际方向参考方向与实际方向一致，i>0参考方向参考方向与实际方向相反，

i<0②根据参考方向与实际方向的关系计算数值参考方向与实际方向的关系解+_练习电路如图所示，试求电流i1

和i2。+_为什么要引入参考方向？①

复杂电路的某些支路事先无法确定实际方向。

若i>0，则实际方向与参考方向一致若i<0，则实际方向与参考方向相反？思考②实际电路中有些电流是交变的，无法标出实际方向。电流实际方向与参考方向相同电流实际方向与参考方向相反i0tT电流参考方向的两种表示方式：用箭头表示——箭头的指向为电流的参考方向AB

用双下标表示

——如

iAB,电流的参考方向由A指向BAB2.电压（Voltage）①

电压单位正电荷q从电路中一点移至另一点时电场力做功w的大小单位：伏特

符号：V（Volt）②电压的参考方向u

>0复杂电路或交变电路中，两点间电压的实际方向往往不易判别，给实际电路问题的分析计算带来困难。+参考方向u+实际方向u

<0+实际方向+参考方向u电压的参考方向与实际方向的关系示例10Ω10V+_+_u110V+_10Ω+_u1u

1

=10Vu

1

=－

10V电压参考方向的三种表示方式：用正负极性表示

——由正极指向负极的方向为电压的参考方向用箭头表示——箭头指向为电压的参考方向用双下标表示——如uAB,由A指向B的方向为电压的参考方向uABABuAB+uAB③关联参考方向元件或支路的u，

i

采用相同的参考方向称之为关联参考方向。反之，称为非关联参考方向。+ui+ui关联参考方向非联参考方向示例AB+_ui电压电流参考方向如图中所标，问：对A、B两部分电路，电压电流参考方向是否关联？答：A电压、电流参考方向非关联B电压、电流参考方向关联3.电位取恒定电场中的任意一点（0点），设该点的电位为零，称0点为参考点，则电场中一点A到0点的电压uA0称为A点的电位，记为

A

，单位是V(伏)。+_ABDC示例10Ω10Ω10Ω30V电路如图所示，求A、B、C、D各点的电位解：①确定参考点设C点为电位参考点，则

C=0②求解其他各点电位

A

B

D=20V=10V=－10V=uAC=uBC=uDC+_ABDC10Ω10Ω10Ω30V设D点为电位参考点，

A

B=30V=20V=uAD=uBD

C=10V=uCD

D=0小结·电路中电位参考点可任意选择，参考点一经选定，电路中各点的电位值就是唯一的，当选择不同的电位参考点时，电路中各点电位值将改变，但任意两点间电压保持不变。·分析电路前必须选定电压和电流的参考方向。·参考方向一经选定，必须在图中相应位置标注（包括方向和符号），在计算过程中不得任意改变。·参考方向也称为假定正方向，以后讨论均在参考方向下进行，不考虑实际方向。4.功率（Power）①

电功率单位时间内电场力所做的功又有，则功率p

的单位：瓦特符号（W）②

电路吸收或提供功率的判断p=±uip>0p<0吸收功率提供功率124563+－u2+－u5+－u3+－u1+－u6+－u4i1i3i2示例求图示电路中各方框所代表的元件吸收或提供的功率。已知：u1=1V，u2=－3V，u3=8V，u4=4V，u5=7V，u6=－3V，i1=2A，i2=1A，i3=－1A

解：（提供）（提供）（吸收）（提供）（提供）（吸收）1.3基尔霍夫定律Kirchhoff’sLaws基尔霍夫定律基尔霍夫电压定律Kirchhoff’sVoltageLaw—

KVL基尔霍夫电流定律Kirchhoff’sCurrentLaw—KCL基尔霍夫定律反映了电路中所有支路电压和电流所遵循的基本规律，是分析线性电路的基本定律。基尔霍夫定律与元件特性（元件VCR）构成了电路分析的基础。1.几个名词R1R2+_US1+_US2R3支路（branch）:电路中每一个两端元件就叫一条支路节点（node）:支路的连接点称为节点。（n

）回路（loop）:由支路组成的闭合路径。（l

）路径（path）:两节点间的一条通路。路径由支路构成。网孔（mesh）:在回路内部不另含有支路的回路称为网孔。（m）网孔是回路，但回路不一定是网孔。b=3l=3n=2电路中通过同一电流的每个分支。（b）m=22.基尔霍夫电流定律（KCL）在线性电路中，任意时刻，对任意节点流出或流入该节点电流的代数和等于零。或式中ik(t)

为任意时刻流出（或流入）该节点的第k

条支路的电流，K

为连接该节点的支路数。示例令流出为“+”，有：电荷守恒，电流连续性物理基础1

3

2示例三式相加得：

KCL可推广应用于电路中包围多个节点的任一闭合面N1N2i3i2i1N2N1

KCL表达了电路中支路电流间的约束（constraint）关系，这是一个线性关系，称这三个电流线性相关（linearlydependent）KCL的推广形式N1N2imi2i1……割集（cut-set）割集是具有下述性质的支路的集合，若把集合的所有支路切割（或移去），电路将成为两个分离部分（separateparts），但只要少切割（或移去）其中任何一条支路，则电路仍然是连通的。5162341234割集Ⅰ割集Ⅱ记为{6，1，5}记为{6，1，3，4}ⅡKCL的推广：流过割集的电流之和为零Ⅰ集合{3，4}不是割集i1i5i6i3i4i2i1＝i2i=0特例N1N2i2i1N1N2i示例++_1Ω3V_i2=?i1=?1Ω1Ω1Ω1Ω1Ω2Vi=?3.基尔霍夫电压定律（KVL）在线性电路中，任一时刻，沿任一闭合路径绕行，各支路电压的代数和等于零。

或式中uk(t)

为该回路中第k

条支路电压，K

为该回路处的支路数示例R1_+US4R4R3R2+_US1②选定回路绕行方向，顺时针或逆时针①标定各元件电压、电流参考方向

顺时针i1i4i3i2_+u2+_u1+_u3_+u4或或或以电压降的方向为“＋”例1电路如图所示，已知i1＝2A，i3＝－3A，u1＝10V，u4＝－5V，试计算各元件吸收的功率。1+－u1i12+－u23－+u34i3i4+－u4解由KCL，得故各元件吸收的功率为：又由KVL，得例2求图示电路中的US和i。解由KCL，得+_由KVL，得推论:电路中任意两点间的电压等于两点间任一条路径经过的各元件电压的代数和。R1_+US4R4R3R2+_US1i1i4i3i2_+u2+_u1+_u3_+u4ABl1沿路径

l1沿路径

l2l2uAB

（沿l1）=uAB

（沿l2）KVL也适用于电路中任一假想的回路u1+_+_u2+_USAB电位的单值性小结

KCL表明在每一节点上电荷是守恒的；KVL是电位单值性的具体体现（电压与路径无关）。

KCL是对支路电流的线性约束，KVL是对支路电压的线性约束。

KCL、KVL与组成支路的元件性质及参数无关。图（graph），用G表示用一段线段来代替电路中的每个元件，这些线段称为支路，线段的端点称为节点，这样得到的几何图形。定向图（有向图）（directedgraph）对图G中的每一支路规定一个方向，则所得的图就称为定向图。练习例1例2例3

图G如图所示，已知的电流已标示于图，试求i1，i2，i3，i4和

i5。解：例4

电路如图所示，试求u1，u2，u3

。解：1.4电阻元件Resistor对电流呈现阻力的元件1.线性时不变（定常）电阻元件（Lineartime-invariantresistor）任何时刻端电压与其电流成正比的电阻元件①电路符号R②u～i关系，

简称VCR（voltagecurrentrelation）满足欧姆定律（Ohm’sLaw）iRu+－电压与电流取关联参考方向R

为电阻，单位：欧姆

符号:

G1/R

，G

称为电导（conductance）单位：西门子

符号:S（Siemens）伏安特性R或ui0注意只适用于线性电阻，(

R

为常数）欧姆定律如电阻上的电压与电流参考方向非关联，公式中应冠以负号线性电阻是无记忆（memoryless）、

双向性（bilateral）的元件iRu+－或③

功率上述结果说明电阻元件在任何时刻总是消耗功率的，是无源元件（passiveelement）。iRu+－iRu+－(b)能量（energy）用功表示，即从t0到t

时刻电阻消耗的能量：④

电阻的开路与短路Riu+–对于一电阻R当R=0（G=∞

），视其为短路，i为有限值时，u=0当R=∞

（G=0

），视其为开路，u为有限值时，i=0ui0开路ui0短路2.线性时变电阻元件（Lineartime-varyingresistor）①时变电阻电压电流的约束关系（VCR）电阻R

t

是时间t

的函数i(t)R(t)u(t)+－或②时变电阻的伏安特性伏安特性

仍是过原点的直线，但斜率随时间变化ui0ui0ui0非线性时不变电阻的特性曲线非线性时变电阻的特性曲线iu+－iu0正相特性反相特性二极管的特性曲线二极管具有单向性（unilateral）示例请用一个100Ω

、1W的碳膜电阻使用于直流电路，在使用时其电流、电压不得超过多大的数值？解：电流流过电阻会消耗热能而发热电灯电烙铁电炉碳膜电阻电动机变压器为保证正常工作，生产厂商在电器的铭牌上都要标出它们的电压、电流或功率的限额，称为额定值（rating），作为使用时的根据。e.g.常用线绕、碳膜电阻：500Ω

、5W，10kΩ

、1W，4.7kΩ

、2W1.电容元件由两块用绝缘介质隔开的金属极板构成，在外电源作用下，两极板分别带等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍可长久地聚集下去，是一种储存电场能量的器件。u+_++++++______iiq电容元件电场实际电容器的理想模型，是能够储存电场能量的元件，其特性可用

q－u平面上的一条曲线来描述。qu0任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压u成正比，q－u特性是过原点的直线。电容器线性时不变电容元件qu0这里为q－u特性曲线的斜率，称为电容（capacitance）为正值常数，单位：法拉符号：F常用pF，μF表示。库伏特性C1.5电容元件Capacitor2.电容的VCRu+_u、i取关联参考方向由又可得i

i

的大小取决于u

的变化率，与u

的大小无关，其值可以不连续。当u为常数（直流）时，i＝0，电容相当于开路，有通交流隔直流的作用。u(t0)称为电容电压的初始状态（初始值），它反映电容初始时刻的储能状况。实际电路中通过电容的电流i为有限值，则电容电压u必定是时间的连续函数，即电容电压不能跃变。电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件。表明表明3.电容的功率和储能①功率u、i取关联参考方向当电容充电，u>0，du/dt>0，则i>0，q

，p>0,电容吸收功率。当电容放电，u>0，du/dt<0，则i<0，q

，p<0,电容提供功率。表明电容能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。②

电容的储能从t0到t电容储能的变化量表明电容的储能只与t

时刻的电压有关，电容电压不能跃变，反映了储能不能跃变电容的储能一定大于或等于零例1电路如图所示，已知电源波形，试求电流i(t)

、功率p(t)

和储能wC(t)。uS(t)的函数表示式为+_解得电流解吸收功率提供功率例2若已知电流的波形，试求电容电压uC(t)

。i(t)的函数表示式为解+_+_1.6电感元件Inductor把金属导线绕成线圈构成一实际电感器，当电流通过线圈时，将产生磁通，是一种储存磁能的器件。电感器i穿过某一面积S的磁力线的条数。磁通量Ф与匝数N的乘积称为磁链。磁通量磁链（fluxlinkage）电感元件1.电感元件储存磁场能量的元件，其特性可用

－i平面上的一条曲线来描述。

i0线性时不变电感元件任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链成正比。－i

特性是过原点的直线。

i0韦安特性为正值常数，称为电感（inductance

）单位：亨利符号：H，常用μH，mH表示。2.电感的VCRu+_u、i取关联参考方向i由电磁感应定律与楞次定律又可得电感电压u的大小取决于i的变化率,与i的大小无关，其值可以不连续。当i为常数（直流）时，u＝0。电感相当于短路，有通直流隔交流的作用。i(t0)称为电感电流的初始状态（初始值），它反映电感初始时刻的储能状况。实际电路中电感的电压u为有限值，则电感电流i不能跃变，必定是时间的连续函数。电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件表明表明3.电感的功率和储能①功率u、i取关联参考方向当电流增大，i>0，di/dt

>0，则u>0，

，p>0,电感吸收功率。当电流减小，i>0，di/dt

<0，则u<0，

，p<0,电感提供功率。表明电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。②

电感的储能从t0到t

电感储能的变化量表明电感的储能只与当时的电流值有关，电感电流不能跃变，反映了储能不能跃变电感的储能一定大于或等于零例1图示电路中，L1＝5H，L2＝20H，初始电流分别为－2A和4A，若试求i1(t)和i2(t)，t≥0。解+_ui1i2L1L2例2流过5mH电感的电流如图所示，试求电感电压的波形（设电流与电压为关联参考方向）；并求t＝1.5ms和t＝2.5ms时电感的储能。20123410解1001234－50504.电容元件与电感元件的比较电容C电感L变量电流i磁链

关系式电压u电荷q

表明两元件方程的形式是相似的，若把u－i，q－

，C－L互换，可由电容元件的方程得到电感元件的方程。

C

和L称为对偶元件,

、q等称为对偶元素。状态变量5.电容、电感的串、并联①电容的串联u+_iu+_i②

电容的并联u+_iu+_i又故又故③

电感的串联②

电感的并联u+_iu+_iu+_iu+_i可见，电容、电感的串、并联具有和电导、电阻相似的特性。同样，也具有和电导、电阻相似的分压、分流关系。又故又故例1试求图示各电容的电压，已知ab

端的电压为24V。例2电路如图所示，已知t＝0时，i＝0A。①求u(t)，对所有t；②求i(t)，t≥0。abu1+_u2+_u3+_u4+_并联总电感①②i(t)+_u(t)1.7电源元件IndependentSource1.理想电压源（Idealvoltagesource）两端电压总能保持定值或一定的时间函数，其值与流过它的电流i无关的元件。①电路符号②u～i关系（VCR）iuS+－(b)通过电压源的电流由电源及外电路共同决定。(a)电压源两端电压由电源本身决定，与外电路无关，与流经它的电流方向、大小无关。直流：uS

=US

为常数交流：uS

是确定的时间函数，如

uS=Umsintu0iui0示例开路短路理想电压源不允许短路!uS+_iu+_RS实际电压源实际电压源也不允许短路!因其内阻小，若短路，电流很大，可能烧毁电源。伏安特性（VCR）uiO一个好的电压源要求RuS+_i+_uus③

电压源的功率提供功率，起电源作用(a)电压源电压、电流的参考方向关联。uS+_iu+_uS+_iu+_(b)电压源电压、电流的参考方向非关联。吸收功率，充当负载示例计算图示电路各元件的功率。（提供）（吸收）（吸收）满足：|

p（提供）|＝|p（吸收）|解+_i+_+_10V5VuR2.理想电流源（Idealcurrentsource）输出电流总能保持定值或一定的时间函数，其值与它的两端电压u无关的元件。①电路符号②u～i关系（VCR）iSu+－(b)电流源两端的电压由电源及外电路共同决定。电流源的输出电流由电源本身决定，与外电路无关，与它两端电压方向、大小无关。直流：iS=IS

为常数交流：iS

是确定的时间函数，如iS=Imsintui0u0i示例开路短路理想电流源不允许开路!实际电流源由稳流电子设备产生，有些电子器件输出具备电流源特性，如晶体管的集电极电流与负载无关；光电池在一定光线照射下光电池被激发产生一定值的电流等。R伏安特性（VCR）u+_iSRSi一个好的电流源要求实际电流源也不允许开路!因其内阻大，若开路，电压很高，可能烧毁电源。uiOisiS+_ui③

电流源的功率提供功率，起电源作用(a)电流源电压、电流的参考方向关联。(b)电流源电压、电流的参考方向非关联。吸收功率，充当负载iSu+_iSu+_示例计算图示电路各元件的功率。+_i+_5Vu2A（提供）（吸收）满足：|

p（提供）|＝|p（吸收）|练习例1uab=?＋_1A10Vab＋_10V2A＋_abi=?2Ωuab=－20Vu

=?＋_－1A10Vabuab=?1A10V20V＋_＋_abuab=?(a)(b)(c)(d)(a)uab=10V(b)uab=10V(c)uab=－10V(d)i=－2Au=－26V解例210V+_1A－10Vi=?10+_i14V10Au=?23A+_+_i+_2Vu=?2+_10A10A1V1+_1Ai=?(a)(b)(c)(d)例3直流电阻电路如图所示，求（1）电流i；（2）uab和ucd212V+_+_8V221412abdc+10V_i例4图中所示方框内为一电源元件，当R＝1

时，uab＝7V。（1）若电源元件为电流源，问当R＝2

及R＝1/2时，uab各为多少？（2）若为电压源，问当R＝2

及R＝1/2时，uab又各为多少？由KVL:abR（1）当R＝2

时，

uab＝14V

当R＝1/2时，

uab＝3.5V（2）当R＝2

和R＝1/2时，

uab＝7V解：解：1.8受控源（非独立源）

ControlledSourceorDependentSource电压源电压或电流源电流不是给定的时间函数，而是受电路中某个支路的电压（或电流）的控制。受控源是一种抽象的电路模型。1.

电路符号＋_受控电压源受控电流源ic

=

ib示例RcibRbic电流控制的电流源控制部分被控部分ib

ib控制部分被控部分受控源是一个四端元件（双口元件）输入端口是控制支路输出端口是受控支路2.分类根据控制支路是开路还是短路以及受控支路是电压源还是电流源，受控源可分为四种类型。①电压控制电压源（Voltage-controlledvoltagesource，VCVS）②电流控制电压源（Current-controlledvoltagesource，CCVS）i1+_u1

u1+_i2+_u2i1+_u1ri1+_i2+_u2

:电压放大倍数i1=0u2=

u1r

:转移电阻u1=0u2=ri1③

电压控制电流源（Voltage-controlledcurrentsource，VCCS）④电流控制电流源（Current-controlledcurrentsource，CCCS）i1+_u1i2+_u2gu1i1+_u1i2+_u2

i1

、r

、g和α

为常数时，被控制量与控制量满足线性关系，称为线性受控源。g

:转移电导

i1=0i2=gu1

:电流放大倍数u1=0i2=

i13.功率i1+_u1

u1+_i2+_u2R受控源始终提供功率，是有源元件（activeelement）4.受控源与独立源的比较①

独立源电压（或电流）由电源本身决定，与电路中其它电压、电流无关，而受控源电压（或电流）由控制量决定。②

独立源在电路中起“激励”作用，在电路中产生电压、电流，而受控源只是反映输出端与输入端的受控关系，在电路中不能作为“激励”。<0例1电路如图所示，求各元件的功率。解：+_+_练习电路如图所示，试求i1。+_解：由KVL例25i1+_u2_u1=6Vi1+3＋_求：电压u2＝？解：i＝0解：练习求：电压u＝？u=?3i255510V+_＋_i22i2+_例2电路如图所示。（1）试求电压u，并比较与US的关系；（2）试求电源提供的功率以及电阻R2上消耗的功率，并讨论一下两者的关系。USu=?R1+_R2i1+_

i1解：选择参数可以得到电压和功率放大1.9电路的等效变换任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电路为单口网络（或两端网络）。单口网络ii1.单口网络等效（equivalence）的概念两个单口网络，端口具有相同的电压、电流关系，则称它们是等效的电路。Ai+u_Bi+u_等效CC电路等效变换的条件：两电路端口具有相同的VCR电路等效变换的对象：未变化的外电路C中的电压、电流和功率电路等效变换的目的：简化电路，方便计算明确单口网络（One－Portnetworks）对电路C中的电压、电流和功率示例例1图（a）、（b）、（c）所示三个电路是否等效？+_+_+_+_可见图（a）和图（b）端口具有相同的电压、电流关系，故图（a）和（b）等效解：例2试化简图示单口网络。+_+_解：+_+_电路的等效电阻2.电压源和电流源的串联和并联等效①理想电压源的串联和并联串联并联相同的电压源才能并联，电压源中的电流不确定+_+_+_+_+_+_+_等效等效注意参考方向！电压源与支路的串、并联等效+_+_+_+_+_+_+_任意元件+_+_示例+_+_②

理想电流源的串联和并联并联串联相同的电流源才能串联，电流源中的电压不确定等效等效注意参考方向！+_+_+_电流源与支路的串、并联等效示例+_+_+_任意元件

+_+_+_3.电压源和电流源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换。+_+_实际电压源+_实际电流源端口特性端口特性等效条件由电压源变换为电流源由电流源变换为电压源注意①

变换关系+_+_+_数值关系方向②

等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。示例例1试求图中电流i＝？+_+_+_例2试求图中电压u＝？+_+_+_+_+_例3请把电路转换成一个电压源和一个电阻的串联。+_+_+_+_+_例4试求电流i＝？+_+_+_+_+_+_+_例5试求电流i1