中考数学专题复习：选择、填空压轴题

中考数学选择、填空压轴题专题复习目录1、中考数学选择填空压轴题：选择填空方法综述2、中考数学选择填空压轴题：代数式的求值问题3、中考数学选择填空压轴题：方程不等式中的含参问题4、中考数学选择填空压轴题：函数的动点问题5、中考数学选择填空压轴题：函数的几何综合问题6、中考数学选择填空压轴题：几何变换问题7、中考数学选择填空压轴题：三角形综合问题8、中考数学选择填空压轴题：四边形的综合问题9、中考数学选择填空压轴题：圆的综合问题10、中考数学选择填空压轴题：阅读理解问题中考数学选择填空压轴题：选择填空方法综述例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为EQy（cm\S\UP6(2)），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②EQS\S\DO(△ABE)＝48cm\S\UP6(2)；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是___________．同类题型1.1如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，EQsinA＝sinB＝\F(1,3)，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）A．B．C．D．同类题型1.2如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．同类题型1.3如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BD)表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（）A．EQ\F(\R(,7),2) B．EQ\F(2\R(,7),3) C．EQ\F(3\R(,5),5) D．EQ\F(\R(,26),4)同类题型2.1如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．同类题型2.2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数EQy＝\F(k,x)（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（）A．EQ6\R(,2) B．10 C．EQ2\R(,26) D．EQ2\R(,29)同类题型2.3例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若EQS\S\DO(△EGH)＝3，则EQS\S\DO(△ADF)＝（）A．6 B．4 C．3同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，EQAD＝2\R(,2)，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（）A．1 B．EQ\F(\R(,2),2) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,2),3)同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．同类题型3.4如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若EQPF＝\F(\R(,5),6)，则CE＝_________．例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为EQ2\R(,5)－2；④当线段DG最小时，△BCG的面积EQS＝8＋\F(8,5)\R(,5)．其中正确的命题有____________．（填序号）同类题型4.1如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②EQtan∠CAD＝\R(,2)；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④同类题型4.2点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为EQS\S\DO(1)、EQS\S\DO(2)的两部分，将△CDF分成面积为EQS\S\DO(3)、EQS\S\DO(4)的两部分（如图），下列四个等式：①EQS\S\DO(1)：EQS\S\DO(3)＝1：n②EQS\S\DO(1)：EQS\S\DO(4)＝1：（2n＋1）③EQ（S\S\DO(1)＋S\S\DO(4)）：EQ（S\S\DO(2)＋S\S\DO(3)）＝1：n④EQ（S\S\DO(3)－S\S\DO(1)）：EQ（S\S\DO(2)－S\S\DO(4)）＝n：（n＋1）其中成立的有（）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④同类题型4.3如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③EQDG＋DF＝\R(,2)DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线EQy＝\F(k,x)（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为EQ\R(,2)，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．同类题型5.1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数EQy＝\F(1,x)和EQy＝\F(9,x)在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交EQy＝\F(1,x)的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．参考答案例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为EQy（cm\S\UP6(2)），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②EQS\S\DO(△ABE)＝48cm\S\UP6(2)；③当14＜t＜22时，y＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是___________．解：由图象可以判定：BE＝BC＝10cm．DE＝4cm，当点P在ED上运动时，EQS\S\DO(△BPQ)＝\F(1,2)BC﹒AB＝40cm\S\UP6(2)，∴AB＝8cm，∴AE＝6cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP＝BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；EQS\S\DO(△ABE)＝\F(1,2)AB﹒AE＝24cm\S\UP6(2)，故②错误；当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y＝110－5t，故③正确；△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA＝BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，故④错误；⑤△BPQ与△ABE相似时，只有；△BPQ∽△BEA这种情况，此时点Q与点C重合，即EQ\F(PC,BC)＝\F(AE,AB)＝\F(3,4)，∴PC＝7.5，即t＝14.5．故⑤正确．综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．同类题型1.1如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，EQsinA＝sinB＝\F(1,3)，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）A．B．C．D．解：过点Q做QM⊥AB于点M．当点Q在线段AD上时，如图1所示，∵AP＝AQ＝t（0≤t≤5），EQsinA＝\F(1,3)，∴EQQM＝\F(1,3)t，∴EQs＝\F(1,2)AP﹒QM＝\F(1,6)t\S\UP6(2)；当点Q在线段CD上时，如图2所示，∵AP＝t（5≤t≤8），EQQM＝AD﹒sinA＝\F(5,3)，∴EQs＝\F(1,2)AP﹒QM＝\F(5,6)t；当点Q在线段CB上时，如图3所示，∵EQAP＝t（8≤t≤\F(20\R(,2),3)＋3（利用解直角三角形求出EQAB＝\F(20\R(,2),3)＋3），BQ＝5＋3＋5－t＝13－t，EQsinB＝\F(1,3)，∴EQQM＝\F(1,3)（13－t），∴EQs＝\F(1,2)AP﹒QM＝－\F(1,6)（t\S\UP6(2)－13t），∴EQs＝－\F(1,6)（t\S\UP6(2)－13t）的对称轴为直线EQx＝\F(13,2)．∵t＜13，∴s＞0．综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．选B．同类题型1.2如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．解：根据题意，当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC＝4；当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD＝3；当P在DA上时，三角形面积变小，结合图2可得，DA＝5；过D作DE⊥AB于E，∵AB∥CD，AB⊥BC，∴四边形DEBC是矩形，∴EB＝CD＝3，DE＝BC＝4，EQAE＝\R(,AD\S\UP6(2)－DE\S\UP6(2))＝\R(,5\S\UP6(2)－4\S\UP6(2))＝3，∴AB＝AE＋EB＝3＋3＝6．同类题型1.3如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BD)表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BD)，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），选D．同类题型1.4例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（）A．EQ\F(\R(,7),2) B．EQ\F(2\R(,7),3) C．EQ\F(3\R(,5),5) D．EQ\F(\R(,26),4)解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，∴PB＋PM＝PD＋PM，∴当D、P、M共线时，P′B＋P′M＝DM的值最小，∵EQCM＝\F(1,3)BC＝2，∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝∠ABD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∵BC＝6，∴CM＝2，HM＝1，EQDH＝3\R(,3)，在Rt△DMH中，EQDM＝\R(,DH\S\UP6(2)＋HM\S\UP6(2))＝\R(,(3\R(,3))\S\UP6(2)＋1\S\UP6(2))＝2\R(,7)，∵CM∥AD，∴EQ\F(P′M,DP′)＝\F(CM,AD)＝\F(2,6)＝\F(1,3)，∴EQP′M＝\F(1,4)DM＝\F(\R(,7),2)．选A．同类题型2.1如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．在Rt△OBK中，EQOB＝\R(,BK\S\UP6(2)＋OK\S\UP6(2))＝\R(,8\S\UP6(2)＋4\S\UP6(2))＝4\R(,5)，∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC＝AG，EQOG＝BG＝2\R(,5)，设OA＝AB＝x，在Rt△ABK中，∵EQAB\S\UP6(2)＝AK\S\UP6(2)＋BK\S\UP6(2)，∴EQx\S\UP6(2)＝（8－x）\S\UP6(2)＋4\S\UP6(2)，∴x＝5，∴A（5，0），∵A、C关于直线OB对称，∴PC＋PD＝PA＋PD＝DA，∴此时PC＋PD最短，∵直线OB解析式为EQy＝\F(1,2)x，直线AD解析式为EQy＝－\F(2,5)x＋2，由EQ\B\lc\{(\a\al(y＝\F(1,2)x,y＝－\F(2,5)x＋2))解得EQ\B\lc\{(\a\al(x＝\F(20,9),y＝\F(10,9)))，∴点P坐标EQ（\F(20,9)，EQ\F(10,9)）．同类题型2.2如图，在平面直角坐标系中，反比例函数EQy＝\F(k,x)（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（）A．EQ6\R(,2) B．10 C．EQ2\R(,26) D．EQ2\R(,29)解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，EQ\F(k,6)），EQN（\F(k,6)，6），∴EQBN＝6－\F(k,6)，EQBM＝6－\F(k,6)，∵△OMN的面积为10，∴EQ6×6－\F(1,2)×6×\F(k,6)－\F(1,2)×6×\F(k,6)－\F(1,2)×（6－\F(k,6)）\S\UP6(2)＝10，∴k＝24，∴M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长＝PM＋PN的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN＝2，∴EQNM′＝\R(,BM′\S\UP6(2)＋BN\S\UP6(2))＝\R(,10\S\UP6(2)＋2\S\UP6(2))＝2\R(,26)，选C．同类题型2.3例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若EQS\S\DO(△EGH)＝3，则EQS\S\DO(△ADF)＝（）A．6 B．4 C．3解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE＋∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝AF,AB＝AD))，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF，∴EG＝GF，∵GH⊥CE，∴GH∥CF，∴△EGH∽△EFC，∵EQS\S\DO(△EGH)＝3，∴EQS\S\DO(△EFC)＝12，∴EQCF＝2\R(,6)，EQEF＝4\R(,3)，∴EQAF＝4\R(,3)，设AD＝x，则EQDF＝x－2\R(,6)，∵EQAF\S\UP6(2)＝AD\S\UP6(2)＋DF\S\UP6(2)，∴EQ（4\R(,3)）\S\UP6(2)＝x\S\UP6(2)＋（x－2\R(,6)）\S\UP6(2)，∴EQx＝\R(,6)＋3\R(,2)，∴EQAD＝\R(,6)＋3\R(,2)，EQDF＝3\R(,2)－\R(,6)，∴EQS\S\DO(△ADF)＝\F(1,2)AD﹒DF＝6．选A．同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．解：如图，连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD＝AD＝CD，∠DBC＝∠A＝45°，∠ADB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠A＝∠DBF,AD＝BD,∠ADE＝∠BDF))，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，DE＝DF，在Rt△DEF中，DF＝DE＝m．∴EQEF＝\R(,2)DE＝\R(,2)m，∴△BEF的周长为EQBE＋BF＋EF＝BE＋AE＋EF＝AB＋EF＝2＋\R(,2)m．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，AB＝2，EQAD＝2\R(,2)，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（）A．1 B．EQ\F(\R(,2),2) C．EQ\F(2,3) D．EQ\F(\R(,2),3)解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．在Rt△ADE中，EQAD＝2\R(,2)，EQDE＝\F(1,2)AB＝1，∴EQAE＝\R(,AD\S\UP6(2)＋DE\S\UP6(2))＝3．根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF．∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝FE，∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．∵∠DEA＋∠AEF＋∠FEM＋∠MEC＝180°，∴EQ∠AEF＋∠FEM＝\F(1,2)×180°＝90°．又∵∠EAF＋∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠FEM．∵∠AFE＝∠EMF＝90°，∴△AFE∽△EMF，∴EQ\F(MF,FE)＝\F(FE,EA)，即EQ\F(MF,1)＝\F(1,3)，∴EQMF＝\F(1,3)，EQCF＝2MF＝\F(2,3)．选C．同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，∠BAF＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＋∠CBF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＋∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠FCB，在△ABE和△FCB中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠EAB＝∠BFC＝90°,AB＝CF,∠ABE＝∠FCB))，∴△ABE≌△FCB，∴BF＝AE，BE＝BC＝1，∵BE⊥AC，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∵∠ABF＋∠AEB＝90°，∴∠BAF＝∠AEB，∵∠BAE＝∠AFB，∴△ABE∽△FBA，∴EQ\F(AB,BF)＝\F(BE,AB)，∴EQ\F(AB,AE)＝\F(1,AB)，∴EQAE＝AB\S\UP6(2)，在Rt△ABE中，BE＝1，根据勾股定理得，EQAB\S\UP6(2)＋AE\S\UP6(2)＝BE\S\UP6(2)＝1，∴EQAE＋AE\S\UP6(2)＝1，∵AE＞0，∴EQAE＝\F(\R(,5)－1,2)．同类题型3.4如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若EQPF＝\F(\R(,5),6)，则CE＝_________．解：如图，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt△ADM中，EQDM＝\R(,AD\S\UP6(2)＋AM\S\UP6(2))＝\R(,2\S\UP6(2)＋1\S\UP6(2))＝\R(,5)，∵AM∥CD，∴EQ\F(AM,DC)＝\F(MP,PD)＝\F(1,2)，∴EQDP＝\F(2\R(,5),3)，∵EQPF＝\F(\R(,5),6)，∴EQDF＝DP－PF＝\F(\R(,5),2)，∵∠EDF＝∠PDC，∠DFE＝∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴EQ\F(DF,DC)＝\F(DE,DP)，∴EQ\F(\F(\R(,5),2),2)＝\F(DE,\F(2\R(,5),3))，∴EQDE＝\F(5,6)，∴EQCE＝CD－DE＝2－\F(5,6)＝\F(7,6)．例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为EQ2\R(,5)－2；④当线段DG最小时，△BCG的面积EQS＝8＋\F(8,5)\R(,5)．其中正确的命题有____________．（填序号）解：∵点E、F分别同时从A、D出发以相同的速度运动，∴AE＝DF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，在△BAE和△ADF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝DE,∠BAE＝∠ADF＝90°,AB＝AD))，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF＋∠BAG＝90°，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，即∠AGB＝90°，∴AF⊥BE．故①正确；∵∠AGB＝90°，∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧的一部分，由运动知，点E运动到点D时停止，同时点F运动到点C，∴点G的运动路径是以AB为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，∴长度为EQ\F(90π×2,180)＝π，故命题②正确；如图，设AB的中点为点P，连接PD，∵点G是以点P为圆心AB为直径的圆弧上一点，∴当点G在PD上时，DG有最小值，在Rt△ADP中，EQAP＝\F(1,2)AB＝2，AD＝4，根据勾股定理得，EQPD＝2\R(,5)，∴DG的最小值为EQ2gh(5)－2，故③正确；过点G作BC的垂线与AD相交于点M，与BC相交于N，∴GM∥PA，∴△DMG∽△DAP，∴EQ\F(GM,AP)＝\F(DG,DP)，∴EQGM＝\F(10－2\R(,5),5)，∴△BCG的高EQGN＝4－GM＝\F(10＋2\R(,5),5)，∴EQS\S\DO(△BCG)＝\F(1,2)×4×\F(10＋2\R(,5),5)＝4＋\F(4\R(,5),5)，故④错误，∴正确的有①②③．同类题型4.1如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②EQtan∠CAD＝\R(,2)；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴EQ\F(AE,BC)＝\F(AF,CF)，∵EQAE＝\F(1,2)AD＝\F(1,2)BC，∴EQ\F(AF,CF)＝\F(1,2)，∴CF＝2AF，故④正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴EQBM＝DE＝\F(1,2)BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a由△BAE∽△ADC，有EQ\F(b,a)＝\F(2a,b)，即EQb＝\R(,2)a，∴EQtan∠CAD＝\F(DC,AD)＝\F(b,2a)＝\F(\R(,2),2)．故②不正确；正确的有①③④，选C．同类题型4.2点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为EQS\S\DO(1)、EQS\S\DO(2)的两部分，将△CDF分成面积为EQS\S\DO(3)、EQS\S\DO(4)的两部分（如图），下列四个等式：①EQS\S\DO(1)：EQS\S\DO(3)＝1：n②EQS\S\DO(1)：EQS\S\DO(4)＝1：（2n＋1）③EQ（S\S\DO(1)＋S\S\DO(4)）：EQ（S\S\DO(2)＋S\S\DO(3)）＝1：n④EQ（S\S\DO(3)－S\S\DO(1)）：EQ（S\S\DO(2)－S\S\DO(4)）＝n：（n＋1）其中成立的有（）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④解：由题意∵AP：PB＝1：n（n＞1），AD∥l∥BC，∴EQ\F(S\S\DO(1),S\S\DO(1)＋S\S\DO(2))＝（\F(1,n＋1)）\S\UP6(2)，EQS\S\DO(3)＝n\S\UP6(2)S\S\DO(1)，EQ\F(S\S\DO(3),S\S\DO(3)＋S\S\DO(4))＝（\F(n,n＋1)）\S\UP6(2)，整理得：EQS\S\DO(2)＝n（n＋2）S\S\DO(1)，EQS\S\DO(4)＝（2n＋1）S\S\DO(1)，∴EQS\S\DO(1)：EQS\S\DO(4)＝1：（2n＋1），故①错误，②正确，∴EQ（S\S\DO(1)＋S\S\DO(4)）：（EQS\S\DO(2)＋EQS\S\DO(3)）＝EQ[S\S\DO(1)＋（2n＋1）S\S\DO(1)]：[n（n＋2）S\S\DO(1)＋n\S\UP6(2)S\S\DO(1)]＝1：n，故③正确，∴EQ（S\S\DO(3)－S\S\DO(1)）：（EQS\S\DO(2)－EQS\S\DO(4)）＝EQ[n\S\UP6(2)S\S\DO(1)－S\S\DO(1)]：[n（n＋2）S\S\DO(1)－（2n＋1）S\S\DO(1)]＝1：1，故④错误，选B．同类题型4.3如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③EQDG＋DF＝\R(,2)DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（）A．①② B．②③ C．①④ D．③④解：∵∠GPF＝∠HPD＝90°，∠ADC＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF＝∠ADP＝45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDF＝45°，在△HPG和△DPF中，∵EQ\B\lc\{(\a\al(∠PHG＝∠PDF,PH＝PD,∠GPH＝∠FPD))，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG＝PF；∵△HPD为等腰直角三角形，∴EQHD＝\R(,2)DP，HG＝DF，∴HD＝HG＋DG＝DF＋DG，∴EQDG＋DF＝\R(,2)DP；故③正确，∵EQDP﹒DE＝\F(\R(,2),2)DH﹒DE，EQDC＝\F(\R(,2),2)DE，∴DP﹒DE＝DH﹒DC，故④正确，由此即可判断选项D正确，选D．例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线EQy＝\F(k,x)（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为EQ\R(,2)，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．解：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，∴∠AOM＋∠OAM＝90°，∵∠AOB＝∠OBA＝45°，∴OA＝BA，∠OAB＝90°，∴∠OAM＋∠BAN＝90°，∴∠AOM＝∠BAN，在△AOM和△BAN中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠AOM＝∠BAN,,∠AMO＝∠BNA,,OA＝BA,))，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴EQAM＝BN＝\R(,2)，EQOM＝AN＝\F(k,\R(,2))，∴EQOD＝\F(k,\R(,2))＋\R(,2)，EQBD＝\F(k,\R(,2))－\R(,2)，∴EQB（\F(k,\R(,2))＋\R(,2)，EQ\F(k,\R(,2))－\R(,2)），∴双曲线EQy＝\F(k,x)（x＞0）同时经过点A和B，∴EQ（\F(k,\R(,2))＋\R(,2)）﹒（\F(k,\R(,2))－\R(,2)）＝k，整理得：EQk\S\UP6(2)－2k－4＝0，解得：EQk＝1±\R(,5)（负值舍去），∴EQk＝1＋\R(,5)．同类题型5.1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数EQy＝\F(1,x)和EQy＝\F(9,x)在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交EQy＝\F(1,x)的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．解：∵点B是y＝kx和EQy＝\F(9,x)的交点，EQy＝kx＝\F(9,x)，解得：EQx＝\F(3,\R(,k))，EQy＝3\R(,k)，∴点B坐标为EQ（\F(3,\R(,k))，EQ3gh(k)），点A是y＝kx和EQy＝\F(1,x)的交点，EQy＝kx＝\F(1,x)，解得：EQx＝\F(1,\R(,k))，EQy＝\R(,k)，∴点A坐标为EQ（\F(1,\R(,k))，EQ\R(,k)），∵BD⊥x轴，∴点C横坐标为EQ\F(3,\R(,k))，纵坐标为EQ\F(1,\F(3,\R(,k)))＝\F(\R(,k),3)，∴点C坐标为EQ（\F(3,\R(,k))，EQ\F(\R(,k),3)），∴BA≠AC，若△ABC是等腰三角形，①AB＝BC，则EQ\R(,(\F(3,\R(,k))－\F(1,\R(,k)))\S\UP6(2)＋(3\R(,k)－\R(,k))\S\UP6(2))＝3\R(,k)－\F(\R(,k),3)，解得：EQk＝\F(3\R(,7),7)；②AC＝BC，则EQ\R(,(\F(3,\R(,k))－\F(1,\R(,k)))\S\UP6(2)＋(\R(,k)－\F(\R(,k),3))\S\UP6(2))＝3\R(,k)－\F(\R(,k),3)，解得：EQk＝\F(\R(,15),5)；故EQk＝\F(3\R(,7),7)或EQ\F(\R(,15),5)．中考数学选择填空压轴题：代数式的求值问题例1．如图，△APB中，EQAB＝2\R(,2)，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中EQ\F(AB,BC)＝\F(6,7)，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)；顺次连接四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)；顺次连接四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(3)B\S\DO(3)C\S\DO(3)D\S\DO(3)；按此规律继续下去…，则四边形EQA\S\DO(2017)B\S\DO(2017)C\S\DO(2017)D\S\DO(2017)的周长是______________．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)；③AF＋BC＞CF；④若EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，EQAD＝\R(,2)AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；其中正确结论的序号是____________．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，EQBC＝\R(,2)AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②EQDH＝2\R(,2)EH③△AEH∽△CFB④EQHO＝\F(1,2)AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．EQ\F(\R(,2),4) B．EQ\F(1,4) C．EQ\F(1,3) D．EQ\F(\R(,2),3)例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，EQPB＝\R(,6)，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为EQ\R(,2)；③EB⊥ED；④EQS\S\DO(△APD)＋S\S\DO(△APB)＝1＋\R(,6)．⑤EQS\S\DO(正方形ABCD)＝4＋EQ\R(,6)．其中正确结论的序号是___________________．同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（）A．EQ\F(4－π,4) B．EQ\F(π,4) C．EQ\F(1,4) D．EQ\F(π－1,4)同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③EQS\S\DO(△ACF)＝1；④EQCE＝\F(1,2)AF；⑤EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4同类题型4.3如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是______________．EQ（1）EF＝\R(,2)OE；（2）EQS\S\DO(四边形OEBF)：S\S\DO(正方形ABCD)＝1：EQ4；（3）BE＋BF＝\R(,2)OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，EQAE＝\F(3,4)；（5）OG﹒BD＝AE\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2)．同类题型4.4如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为_____________．参考答案例1．如图，△APB中，EQAB＝2\R(,2)，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．解：如图，延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB＝PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则EQCF＝\F(1,2)CP＝\F(1,2)b，EQa\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝8，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED＝PB＝CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP＝AP＝CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积EQ＝EP×CF＝a×\F(1,2)b＝\F(1,2)ab，又∵EQ（a－b）\S\UP6(2)＝a\S\UP6(2)－2ab＋b\S\UP6(2)≥0，∴EQ2ab≤a\S\UP6(2)＋b\S\UP6(2)＝8，∴EQ\F(1,2)ab≤2，即四边形PCDE面积的最大值为2．同类题型1.1如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．解：∵△APE和△ABD是等边三角形，∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60°，∴∠EAD＝∠PAB＝60°－∠DAP，在△EAD和△PAB中EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝AP,∠EAD＝∠PAB,AD＝AB))∴△EAD≌△PAB（SAS），∴DE＝BP，同理△DBC≌△ABP，∴DC＝AP，∵△APE和△BPC是等边三角形，∴EP＝AP，BP＝CP，∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4，∴四边形PCDE是平行四边形，当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．同类题型1.2如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④解：∵△ABE、△ADF是等边三角形∴FD＝AD，BE＝AB∵AD＝BC，AB＝DC∴FD＝BC，BE＝DC∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE∴∠CDF＝∠EBC∴△CDF≌△EBC，故①正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°，∵CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．选B．同类题型1.3如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）解：证明：∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴①BE平分∠CBF，正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴②CF平分∠DCB，正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB，∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF＝PC，故④正确．答案为①②③④．同类题型1.4如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（）A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AH∥BG，AD＝BC，∴∠H＝∠HBG，∵∠HBG＝∠HBA，∴∠H＝∠HBA，∴AH＝AB，同理可证BG＝AB，∴AH＝BG，∵AD＝BC，∴DH＝CG，故C正确，∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB，∴OH＝OB，故A正确，∵DF∥AB，∴∠DFH＝∠ABH，∵∠H＝∠ABH，∴∠H＝∠DFH，∴DF＝DH，同理可证EC＝CG，∵DH＝CG，∴DF＝CE，故B正确，无法证明AE＝AB，选D．例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中EQ\F(AB,BC)＝\F(6,7)，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，，设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，∴EQCN＝\F(7a＋4,2)，∵GH∥BC，∴EQ\F(GH,CN)＝\F(DG,DC)，∴EQ\F(\F(7a－x,2),\F(7a＋4,2))＝\F(1,2)，∴x＝3.5a∵上下两个阴影三角形的面积之和为EQ54cm\S\UP6(2)，∴6a﹒（7a－∴a（7a－x由（1）（2），可得a＝2，x＝5，∴CD＝6×2＝12（cm），EQCN＝\F(7a＋4,2)＝\F(7×2＋4,2)＝9(cm)，∴EQDN＝\R(,12\S\UP6(2)＋9\S\UP6(2))＝15（cm），又∵EQDH＝\R(,DG\S\UP6(2)＋GH\S\UP6(2))＝\R(,6\S\UP6(2)＋(\F(7×2－5,2))\S\UP6(2))＝7.5（cm），∴HN＝15－7.5＝7.5（cm），∵AM∥FC，∴EQ\F(KN,HK)＝\F(MN,CM)＝\F(4,9－4)＝\F(4,5)，∴EQHK＝\F(5,4＋5)×7.5＝\F(25,6)(cm)，∴该菱形的周长为：EQ\F(25,6)×4＝\F(50,3)（cm）．同类题型2.1如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°∴AB＝AD，∠A＝60°，∵BM＝AE，∴AD＝ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，∴∠MEF＋∠DEA═120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°，∴∠MEF＝∠ADE，∴在△DAE和△EMF中，EQ\B\lc\{(\a\al(AD＝ME,∠MEF＝∠ADE,DE＝EF))∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，又∵BM＝AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF＝AE，∵AE＝t，CF＝2t，∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t，∵BC＝4，∴3t＝4，∴EQt＝\F(4,3)．同类题型2.2如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴EQFD＝\F(1,2)MD＝\F(1,2)，∴EQFM＝DM×cos30°＝\F(\R(,3),2)，∴EQMC＝\R(,FM\S\UP6(2)＋CF\S\UP6(2))＝\R(,7)，∴EQA′C＝MC－MA′＝\R(,7)－1．同类题型2.3如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)；顺次连接四边形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)；顺次连接四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)各边中点，可得四边形EQA\S\DO(3)B\S\DO(3)C\S\DO(3)D\S\DO(3)；按此规律继续下去…，则四边形EQA\S\DO(2017)B\S\DO(2017)C\S\DO(2017)D\S\DO(2017)的周长是______________．解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，∴EQ△AA\S\DO(1)D\S\DO(1)是等边三角形，四边形EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)C\S\DO(2)D\S\DO(2)是菱形，∴EQA\S\DO(1)D\S\DO(1)＝5，EQC\S\DO(1)D\S\DO(1)＝\F(1,2)AC＝5\R(,3)，EQA\S\DO(2)B\S\DO(2)＝C\S\DO(2)D\S\DO(2)＝C\S\DO(2)B\S\DO(2)＝A\S\DO(2)D\S\DO(2)＝5，同理可得出：EQA\S\DO(3)D\S\DO(3)＝5×\F(1,2)，EQC\S\DO(3)D\S\DO(3)＝\F(1,2)C\S\DO(1)D\S\DO(1)＝\F(1,2)×5\R(,3)，EQA\S\DO(5)D\S\DO(5)＝5×（\F(1,2)）\S\UP6(2)，EQC\S\DO(5)D\S\DO(5)＝\F(1,2)C\S\DO(3)D\S\DO(3)＝（\F(1,2)）\S\UP6(2)×5\R(,3)，…∴四边形EQA\S\DO(2015)B\S\DO(2015)C\S\DO(2015)D\S\DO(2015)的周长是：EQ\F(5＋5\R(,3),2\S\UP6(1007))．例3．如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)；③AF＋BC＞CF；④若EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）解：延长CB，FE交于点G，∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，①正确；在△AEF和△BEG中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠FAE＝∠GBE＝90°,AE＝BE,∠AEF＝∠BEG))，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF＝BG，EF＝EG，∵CE⊥EG，∴EQS\S\DO(△CEG)＝S\S\DO(△CEF)，CG＝CF，∴EQS\S\DO(△CEF)＝S\S\DO(△EAF)＋S\S\DO(△CBE)，②正确；∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③错误；∵EQ\F(BC,CD)＝\F(\R(,3),2)，∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°，在△CEF和△CDF中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠D＝∠FEC＝90°,∠DCF＝∠ECF,CF＝CF))，∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．同类题型3.1如图，在矩形ABCD中，EQAD＝\R(,2)AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD；其中正确结论的序号是____________．解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴EQAE=\R(,2)AB，∵EQAD=\R(,2)AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠BAE＝∠DAE,∠ABE＝∠AHD＝90°,AE＝AD))，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴EQ∠ADE＝∠AED＝\F(1,2)（180°－45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵EQ∠AHB=\F(1,2)（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DOH＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°在△BEH和△HDF中EQ\B\lc\{(\a\al(∠EBH＝∠OHD,BE＝DH,∠AEB＝∠HDF))∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF，∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④⑤．同类题型3.2如图，在矩形ABCD中，EQBC＝\R(,2)AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①AD＝DE②EQDH＝2\R(,2)EH③△AEH∽△CFB④EQHO＝\F(1,2)AE其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）解：在矩形ABCD中，EQAD＝BC＝\R(,2)AB＝\R(,2)CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴EQAD＝\R(,2)AB，∴AH＝AB＝CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴EQDE＝\R(,2)CD，∴AD＝DE，∴∠AED＝67.5°，∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠AEB，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE，故①正确；设DH＝1，则AH＝DH＝1，EQAD＝DE＝\R(,2)，∴EQHE＝\R(,2)，∴EQ2EQ\R(,2)HE＝2EQ\R(,2)≠1，故②错误；∵∠AEH＝67.5°，∴∠EAH＝22.5°，∵DH＝CD，∠EDC＝45°，∴∠DHC＝67.5°，∴∠OHA＝22.5°，∴∠OAH＝∠OHA，∴OA＝OH，∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，∴OH＝OE，∴EQOH＝\F(1,2)AE，故④正确；∵AH＝DH，CD＝CE，在△AFH与△CHE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠AHF＝∠HCE＝22.5°,∠FAH＝∠HEC＝45°,AH＝CE))，∴△AFH≌△CHE，∴∠AHF＝∠HCE，∵AO＝OH，∴∠HAO＝∠AHO，∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90°，∴△AEH∽△CFB，故③正确．答案为：①③④．同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A．EQ\F(\R(,2),4) B．EQ\F(1,4) C．EQ\F(1,3) D．EQ\F(\R(,2),3)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴EQBE＝\F(1,2)BC＝\F(1,2)AD，∴△BEF∽△DAF，∴EQ\F(EF,AF)＝\F(BE,AD)＝\F(1,2)，∴EQEF＝\F(1,2)AF，∴EQEF＝\F(1,3)AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE＝DE，∴EQEF＝\F(1,3)DE，设EF＝x，则DE＝3x，∴EQDF＝\R(,DE\S\UP6(2)－EF\S\UP6(2))＝2\R(,2)x，∴EQtan∠BDE＝\F(EF,DF)＝\F(x,2\R(,2)x)＝\F(\R(,2),4)；选A．例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，EQPB＝\R(,6)，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为EQ\R(,2)；③EB⊥ED；④EQS\S\DO(△APD)＋S\S\DO(△APB)＝1＋\R(,6)．⑤EQS\S\DO(正方形ABCD)＝4＋EQ\R(,6)．其中正确结论的序号是___________________．解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，又∵AE＝AP，AB＝AD，∵在△APD和△AEB中，EQ\B\lc\{(\a\al(AE＝AP,∠EAB＝∠PAD,AB＝AD))，∴△APD≌△AEB（SAS）；故此选项成立；③∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE，∴∠BEP＝∠PAE＝90°，∴EB⊥ED；故此选项成立；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，∴∠FEB＝∠FBE＝45°，又∵EQBE＝\R(,BP\S\UP6(2)－PE\S\UP6(2))＝2，∴EQBF＝EF＝\R(,2)，故此选项正确；④如图，连接BD，在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，∴EQEP＝\R(,2)，又∵EQPB＝\R(,6)，∴BE＝2，∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝2，∴EQS\S\DO(△ABP)＋S\S\DO(△ADP)＝S\S\DO(△ABD)－S\S\DO(△BDP)＝\F(1,2)EQS\S\DO(正方形ABCD)－EQ\F(1,2)×DP×BE＝EQ\F(1,2)×（4＋EQ\R(,6)）－EQ\F(1,2)×2×2＝EQ\F(\R(,6),2)．故此选项不正确．⑤∵EQEF＝BF＝\R(,2)，AE＝1，∴在Rt△ABF中，EQAB\S\UP6(2)＝（AE＋EF）\S\UP6(2)＋BF\S\UP6(2)＝5＋2\R(,2)，∴EQS\S\DO(正方形ABCD)＝EQAB\S\UP6(2)＝5＋2EQ\R(,2)，故此选项不正确．答案为：①②③．同类题型4.1如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（）A．EQ\F(4－π,4) B．EQ\F(π,4) C．EQ\F(1,4) D．EQ\F(π－1,4)解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为EQ4×\F(90π×1\S\UP6(2),360)＝π，∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则EQP＝\F(4－π,4)．选：A．同类题型4.2如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH＝2BH；②AC⊥FH；③EQS\S\DO(△ACF)＝1；④EQCE＝\F(1,2)AF；⑤EQEG\S\UP6(2)＝FG﹒DG，其中正确结论的个数为（）A．2 B．3 C．4解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°，∵AE平分∠DAC，∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°，∵BH＝DF，∴△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°，∴∠HAC＝∠FAC，∴HM＝FM，AC⊥FH，∵AE平分∠DAC，∴DF＝FM，∴FH＝2DF＝2BH，故选项①②正确；③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°，∴△FMC是等腰直角三角形，∵正方形的边长为2，∴EQAC＝2\