2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第5章平面向量的数量积

平面向量的数量积

【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投

影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两

个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量的方法解决某些简单的

平面几何问题.

【知识梳理】

1.向量的夹角

已知两个非零向量a，b,。是平面上的任意一点，作®=a,OB=b,则NAOB=0(0向OWG

叫做向量a与〃的夹角.

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a,b的夹角为仇则数量|a仙|cos。叫做。与方

定义

的数量积，记作。力

|a|cos0叫做向量a在5方向上的投影|如os0叫做向量b在a

投影

方向上的投影

数量积ab等于a的长度⑷与占在a的方向上的投影|b|cos0的

几何意义

乘积

3.向量数量积的运算律

(T)ab=ba

(2)(Aa)Z>=2(a仍)=a(劝).

(3)(a+b)・c=ac+"c.

4.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量。=(处，yi)，b=(%2，及)，。与b的夹角为9.

结论符号表示坐标表示

模\a\=yfa^a

八ab„.vi.v^+yiv：

夹角COS(7—।Ilricos用后附诉

M烟

aLb的充要条件ab=0想12+)'注2=0

|a•臼与⑷制的关系M创wiaibi以送2+乃义区4(京+)彳)保+奖)

【常用结论】

1.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a-hb)-(a—b)=a2—b2：

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2.

2.有关向量夹角的两个结论

已知向量a，b.

(1)若a与b的夹角为锐角，则.协＞0；若a山＞0,则a与方的夹角为锐角或0.

(2)若。与b的夹角为钝角，则a协＜0：若a协＜0,则a与的夹角为钝角或兀

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴两个向量的夹角的范围是［o,2j-(X)

⑵若。力＞0,则a和b的夹角为锐角.(X)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.(V)

(4)(。协)P=a，S・c).(X)

【教材改编题】

1.(2022•海南省临高二中模拟)设Q,b,c是任意的非零向量，则下列结论正确的是()

A.0。=0

B.a・b=b,c,则a=c

C.。协=0=a=0或b=0

D.(a+b)・(a—b)=lap—|Z?|2

答案D

2.已知向量a,。的夹角为60。，|a|=2,\b\=l,则|a+2"=.

答案24

3.已知向量a,b满足31al=2步|=6,且(a—2b)，(2a+6),则a,b夹角的余弦值为

答案苫

解析设a,b的夹角为仇

依题意，(a-2b)-(2a-i-b)—0,

则2a2—3。/一2-=0,

故2义4-3X2X3-COS6-2X32=0,

则cos0=一焉.

■探究核心题型

题型一平面向量数量积的基本运算

例1(1)(2021•北京)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,l),则(a+b>c=；ab=.

答案03

解析Va=(2,l),b=(2,-1),c=(0,l),

/.a+ft=(4,0),

/.(a+*)-c=4X0+0Xl=0,

aS=2X2+lX(-l)=3.

⑵Q022•邹城模拟)在平面四边形A8CD中，已知＞亚=比，P为CD上一点,力=3而，丽|=4,

丽|=3,AB与俞的夹角为仇且cos®=§,则彳1沌=.

答案一2

解析如图所示，

"：AB=DC,

四边形A8CQ为平行四边形，

VCP=3Pb,

-A-A-A1-A-A

：.AP=AD+DP=^AB+AD,

_3_

PB=AB-AP=^AB-AD,

又•.•丽|=4,|AD|=3,cos0=y

则嬴彷=4X3X]=8,

办两=(俞+；砌(汕―病)

1■―*--►―*■r3-、

^ABAD-AI^+TTAB2

Zlo

I3

/X8-9+记X4?=-2.

【教师备选】

1.(2019・全国II)已知初=(2,3),n=(3,。，|而|=1,则初•病等于()

A.-3B.-2C.2D.3

答案C

解析因为正=八一拔=(1,r-3),

所以|的KY+(L3)2=1,

解得f=3,

所以谎=(1,0),

所以矗•正=2X1+3XO=2.

2.在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，力是线段AM的中点.①若由)=x或+

yBC,则x+y=；②彷诙=.

答案3

-

4

，

的中点

8C

是

①

解析

点，

的中

是AM

C,

+；8

=/4

^BA

BD—

3

.._

_1

._1

4.

+y-

',・x

，y-4

••尤一2

点，

的中

是8c

，M

三角形

的正

为2

边长

C是

△AB

②•••

=1,

,且BM

±BC

：.AM

2

.

|=1

=|^M

DBM

cosZ

\BM\

\BD\

M=

BDB

方法

的主要

数量积

面向量

计算平

升华

思维

b〉.

s〈。,

\b\co

=\a\

:a*b

用定义

(1)利

.

+丫必

m&

。仍=

),则

2,>2

b=(x

yi),

(沏,

若。=

算，

标运

用坐

(2)利

.

何意义

积的几

量数量

平面向

活运用

(3)灵

ca

bc+

ab+

\=2,

\=\c

l,\b

|a|=

O,

+C=

+方

向量Q

)已知

全国H

新高考

21・

(1)(20

练1

跟踪训

9

v

答案

)2

)+c

(a+

知可得

由已

解析

2

2

co)

b-c+

2(ab+

c+

b+

=(r+

=0,

+ca)

+bc

2(a6

=9+

9

g.

a=­

c+c

b+b

因此a

；

曲=

，则

+危)

；(靠

崩=

满足

点P

为2,

边长

。的

ABC

方形

知正

京)已

20•北

⑵(20

^.

PD

PB

-1

邓

答案

，

标系

角坐

面直

的平

图所示

建立如

解析

),

+AC

=hAB

'：AP

.

的中点

BC

:.P为

),

为(2,0

的坐标

),点8

(0,2

坐标为

。的

1),点

为(2,

的坐标

...点P

1),

(-2,

Z)=

),P

-1

=(0,

,PB

\=y[5

：.\PD

：.PBPD^-1.

题型二平面向量数量积的应用

命题点1向量的模

例2已知向量a,6满足同=6,|/>|=4,且@与力的夹角为60。，则|〃+臼=，la

—3例=.

答案2四6小

解析因为|a|=6,|臼=4,a与5的夹角为60。，

所以a2=|a||b|cos(a,b)=6X4X：=12,

(a+Z>)2=/+2a仍+^=36+24+16=76,

(。一3加2=。2—6a山+9必=36—72+144

=108,

所以|a+b|=2标，|.一3例=6小.

命题点2向量的夹角

例3(2020•全国HI)已知向量a,力满足|。|=5,|。|=6,ab=-6,则cos(a,a+b)等于()

r—o—

c,35u,35

答案D

解析\a+b\2=(a+b)2=a2+2a-b+b2

=25—12+36=49,

A\a+b\=7,

a(a+1)。2+〃力

/.cos(a,a+b)

\a\\a~\~b\\a\\a+b\

25—619

=5X7=35,

命题点3向量的垂直

例4(2021•全国乙卷)已知向量。=(1,3),b=(3,4),若(0-25)_1_瓦则2=.

3

答案W

解析方法一。一助=(1—32,3—42),

V(a—lb)A.b,(a—入b),b=0,

即(1—32,3-42)-(3,4)=0,

.•.3-9A+12-16/1=0,解得2=|.

方法二由(a一劝)J_b可知，(a-Ab)-b=O,a-b—A62=0,

,,石,ab(1,3)-(3,4)153

从而，一铲――可不--25-5-

【教师备选】

1.已知非零向量a,4满足|a|=2向，且(a-8)，b,则a与b的夹角为()

7Tn一27r

A6B-3CTDT5TT

答案B

解析设。与b的夹角为a,

/.(a—b)b=O,

：•a,b=t^,

/.|a|-|t|cosa=|A|2,又|a|=2|b|,

=

/.cos«2»兀］,

••ct—3.

2.已知g,02是两个单位向量，且|6|十改|=小，则0-02|=.

答案1

解析由忸1+«2|=小，两边平方，

得e彳+2e】•e2+e9=3.又6，。2是单位向量，

所以levei—\.

所以®—e2p=，-2ere2+e3=1,

所以⑶一也|=1.

思维升华(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用同=4^及(〃土方)2=|oF±2〃.方+网2,把向量的模的运算转化为数量积运算；

②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出

所求向量，再利用余弦定理等方法求解.

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：850=湍，求解时应求出。瓦同，物的值或找出这三个量之间的关系；

②坐标法.

(3)两个向量垂直的充要条件

。_16=4仍=0。|«一句=|4+州其中aWO,bWO).

跟踪训练2(1)已知单位向量a"满足a-Z>=0,若向量，=巾。+也上则sin〈a,c〉等于()

A.当B.*C*D*

答案B

解析方法一设a=(l,O),Z»=(O,1),

贝!c=(巾，也)，

.,、acA/7

..cos〈a,c〉-|a||c|-3.

sin〈a,c>=平.

方法二a-c=a•（或a+巾b）

=木屋+也a-b=巾,

|c|=叱巾a+g>)2=y]la2+2b2+2ylMa-b=y]l+2=3,

acyflyjl

/.cos〈a,c〉=丽=]义3=3，

啦

3

(2)(2021・新高考全国I改编)已知O为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cos£,—sin/3),P?(cos(a

十份,sin(a+6))，4(1,0),则

①两|=|丽;

②时=|正|；

③晶,荏=西.旗;

④晶.话=旗声.

以上结论正确的有.（填序号）

答案①③

解析由题意可知，

|OPi|=,\/cos2a+sin2a=1,

\OPzIReos?夕+(—sinr)2=1,

所以15Al=1旗I，故①正确；

取a=1,贝IIPi照,孝)，

取夕=芋，

则尸2(-等,喙

则|”]|#|”2|,故②错误;

因为0Aop3=cos(a+fi),

OPiOP2=cosacos夕一sinasin//=cos(a+yS),

所以方•碗=5K・碗，故③正确；

因为O4OP1=cosa,

OP2・OP3=cos夕cos(a+£)—sin夕sin(ct+4)

=cos(a+2份，

取a=：,B喙

贝血褊邛,旗.砺=cos*-东

所以苏•证#旗•旗，故④错误.

题型三平面向量的实际应用

例5(2022•东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所

示).假设行李包所受的重力为G,所受的两个拉力分别为尸B，若旧|=|尸2|，且尸I与尸2

的夹角为仇则以下结论不正确的是()

A.|尸1|的最小值为三。

B.。的范围为［0,B

C.当6=鄂寸，啊=鸣6|

D.当e=冬时,|Fi|=|G|

答案B

解析由题意知，

FI+F2+G=0,

可得尸1+尸2=—G,两边同时平方得

222

|G|=|F1|+|F2|+2|FI||F2|COS0

=2|FIF+2|FI|2cose,

所以中门=2(］黑os②

当。=0时，|Fi|min=1|G|；

当6=方时，|尸।尸彳|G|；

当6=号时，|尸i|=|G|,故A,C,D正确；

当。=兀时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以6»6[0,兀），故B错误.

【教师备选】

若平面上的三个力尸I，F2,尸3作用于一点，且处于平衡状态，已知图1=1N,尸2|=当些

N,尸I与尸2的夹角为45。，求：

（1）f3的大小；

⑵尸3与尸1夹角的大小.

解（1；•三个力平衡，

.•.尸|+尸2+尸3=0，

...|尸3l=I尸I+尸2|=上|尸|F+2BE+IBF

=yjP+2X1x^^cos45°+（^±^

=、4+2小=1+小.

（2）方法一设人与尸।的夹角为0,

22

则I尸2l=^|FI|+|F3|+2|F1||F3|COS0,

即在三也=512+＜+小＞+2xix（l+小）cos仇

解得cos，=一坐，

：问0,兀],

一6.

方法二设色与西的夹角为仇

由余弦定理得

"（1+小六（