2023年中考数学复习 特殊平行四边形综合的压轴真题训练（解析版）

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编

专题07特殊平行四边形综合的压轴真题训练

--平行四边形的性质

1.(2022•日照)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形0A8C的顶点。在

坐标原点，点E是对角线AC上一动点(不包含端点)，过点E作E/〃

交A3于尸，点P在线段EF上.若OA=4,OC=2,ZAOC=45°,EP=3PF,

)

2-V^V/«V3D.4<m<4+-/2

【答案】A

【解答】解：可得C(&,&),A(4,0),B(4+V2-&)，

二直线AB的解析式为：y=A-4,

，x=y+4,

直线AC的解析式为：y=_^x-钙-，

-V2-4V2-4

，x=4+y-2&y,

点尸的横坐标为：y+4,点E的横坐标为：4+y-2&.y,

:.EF=(y+4)-(4+y-2,\/2y)=2>/2y，

'：EP=3PF,

.PF=lEF=^L2.y,

.点P的横坐标为：y+4-^-y

"0<y<V2>

.4<j+4-亚yV3+北,

2

故答案为：A.

2.（2022•无锡）如图，在因ABCZ）中，AD=BD,ZADC=105°,点E在AD

上，NEBA=60°,则股的值是（）

A.2B.1C.近D.亚

3222

【答案】D

【解答】解：如图，过点8作于"，

设乙4OB=x,

•••四边形ABCD是平行四边形，

：.BC//AD,ZADC=ZABC=105°,

:./CBD=/ADB=x,

"：AD=BD,

：./DBA=NDA8=180°-x,

2

Ax+180°~x~105°,

2

/.x=30°,

ZADB=30°,ZDAB=75°,

■:BHLAD,

：.BD=2BH,DH=43BH,

'：ZEBA=6Q°,/DAB="°,

.•.NAE8=45°,

：./AEB=NEBH=45°,

：.EH=BH,

:.DE=MBH-BH=（V3-1）BH,

AB=7BH2+AH2=VBH2+（2BH-V3BH）2=（娓-近）BH=CD,

•••-D-E—=V2—,

CD2

故选：D.

二.矩形的性质

3.（2022•泰安）如图，四边形ABC。为矩形，AB=3,8C=4,点P是线段8C

上一动点，点M为线段AP上一点，ZADM=NBAP,则8M的最小值为（）

C.我绫D.713-2

【答案】D

【解答】解：如图，取A。的中点。，连接。B,OM.

•.•四边形A8C。是矩形，

AZB/lD=90o,4O=BC=4,

.•.N8AP+NZMM=90°,

/ADM=/BAP,

：.ZADM+ZDAM=9QC,

ZAMD=90a,

'：AO=OD=2,

：.OM=1AD=2,

2

.•.点M在以。为圆心，2为半径的00上，

°B=VAB2+A02-V32+22=，

:.BM20B-0M=V13-2,

.•.3例的最小值为岳-2.

故选：D.

4.(2022•丽水)如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN.已

知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE

=b,且

(1)若a,人是整数，则PQ的长是一；

(2)若代数式2"-〃的值为零，则S(边形ABCD的值是_____.

S矩形PQMN

【答案】a-b；3+2^2-

【解答】解：(1)由图可知：PQ=a-b,

故答案为：a-b；

(2)\'a2-2ab-b2=0,

：.£-吩=2ab,(a-b)2=2b2,

：.a=b+42b(负值舍)，

•..四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b,

"，EN=>,

ab

则迪皿立L=山督^=包巨一=

S矩形区MN(a-b)(—―)(a-b)a2-2ab+b2b2

baab

(加+l)纭2=3+2加.

b2

故答案为：3+2&.

5.(2022•宿迁)如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,点M、N分别是边

AD.BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单

位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每

秒1个单位长度的速度向点。匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点

同时停止运动，连接ER过点B作E尸的垂线，垂足为H.在这一运动过程

中，点”所经过的路径长是

连接MN交EF于点、P,连接BP.

・••四边形A3C。是矩形，AM=MD,BN=CN,

二四边形A8NM是矩形,

，MN=AB=6,

•:EM〃NF,

:.△EPMS^FPN,

PMEM2t,

A'PN=NF=~=2"，

：.PN=2,PM=4,

•:BN=4,

^~7PN2+BN2=V22+422遥>

•；BHLEF,

：.ZBHP=90°,

...点H在BP为直径的O。上运动，

当点E与A重合时，如图2中，连接。"，ON.点”的运动轨迹是褚.

图2

此时AM=4,NF=2,

：.BF=AB^6,

,：ZABF=90°,BH±AF,

.•.8”平分乙48凡

/.ZHBN=45°,

：.ZHON=2ZHBN=90°,

...点H的运动轨迹的长=9°兀X«=近小.

_1802

故答案为：近不.

2

6.（2022•西宁）矩形A8CO中，AB=S,AD=7,点E在A8边上，AE=5.若

点尸是矩形ABCO边上一点，且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形，则

等腰三角形AEP的底边长是.

【答案】5—或4y

【解答】解：如图所示，

①当AP=AE=5时，

VZBAD=90°,

.••△AEP是等腰直角三角形，

，底边PE=&AE=5&；

②当PiE=AE=5时，

'：BE=AB-AE=8-5=3,ZB=90°,

•，-^I5=VPE2-BE2=4,

,底边APi=VAB2+PB2=4V5；

综上所述：等腰三角形AEPt的底边长为5&或4粕；

故答案为：51\/^或小后.

三.正方形的性质和判定

7.（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABC。中，点E是边AB上的点，

且过点E作OE的垂线交正方形外角NC3G的平分线于点R交

边8C于点连接DF交边8C于点M则MN的长为（）

【答案】B

【解答】解：作bHLBG交于点”，作RKLBC于点K,

,.•B/平分/C8G,ZKBH=90°,

:.四边形BHFK是正方形,

'：DELEF,NEHF=90°,

：.ZDEA+ZFEH=90°,NEFH+NFEH=90°,

:./DEA=/EFH,

ZA=ZEHF=90°,

:.△DAEsgHF,

•••-AD-~AEJ

HEHF

,正方形ABC。的边长为3,BE=2AE,

：.AE=\,BE=2,

设FH=a,则BH=a,

•・----3-=—1,

2+aa

解得a=l；

■:FK1CB,DC±CB,

:.△DCNS/\FKN，

•DC_CNt

"FK"KN'

'：BC=3,BK=1,

:.CK=2,

设CN=b,则NK=2-/j,

•-"-3-~_b'>

12-b

解得b=l,

2

即CN=—,

2

VZA=ZEBM,NAED=NBME,

：.AADESABEM,

•••A，，D二AE,

BE-BM

•-•..3二1,,

2~BM

解得

3

：.MN=BC-CN-BM=3-1-2=互

236

故选:B.

8.（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2,E为与点。不重合的动点,

以DE为一边作正方形DEFG.设DE=di,点、F、G与点C的距离分别为刈、

di，则力+必+为的最小值为（）

A.V2B.2C.2&D.4

【答案】C

【解答】解：如图，连接AE,

•••四边形0EFG是正方形，

；.NEDG=90°,EF=DE=DG,

•••四边形ABC。是正方形，

：.AD=CD,NAOC=90°,

:.ZADE=ZCDG,

AADE^/\CDG(SAS),

：.AE=CG,

：・di+dz+d3=EF+CF+AE,

・••点A,E,F,。在同一条线上时，E尸+C/+AE最小，即4+办+出最小,

连接AC,

."|+42+&最小值为AC，

在RtZVIBC中，AC=®AB=2心

d।+d2+d3最小=AC=2V^,

9.（2022•广西）如图，在正方形ABC。中，AB=4&,对角线AC,8。相交

于点。.点E是对角线AC上一点，连接BE,过点E作EFJLBE,分别交CD,

BD于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△£尸”沿历翻折，点”的对应

点“'恰好落在3。上，得到△£"7'.若点/为。。的中点，则△EG4'的

周长是—.

［答案】5±V5_

【解答】解：如图，过点E作EMLBC于M,作EN上CD于N,过点F作

FPLACP,连接G”,

BAfC

将沿EF翻折得到△EF”'，

:AEGHQAEGH,

•••四边形ABC。是正方形，

:.AB=CD=BC=4近,ZBCD=9Q°,ZACD=ZACB=45°,

:.BD=®BC=8,△CPF是等腰直角三角形，

•尸是CD的中点，

.CF=1CD=242^

2

.CP=PF=2,0B=XBD^4,

2

'ZACD^ZACB,EMIBC,ENLCD,

.EM=EN,/EMC=4ENC=/BCD=90",

.NMEN=9U°,

'EFLBE,

.ZBEF=90°,

./BEM=/FEN,

*NBME=/FNE,

.△BME学AFNE(ASA),

.EB=EF,

*ZBEO+ZPEF=/PEF+/EFP=90°,

.ZBEO=ZEFP,

，NB0E=NEPF=9U°,

.△BEO迫4EFP(AAS),

.0E=PF=2,0B=EP=4,

，tanNOEG="=理，即5_=2,

OEEP24

.OG=1,

•EG=y]22+I2=V5»

'OB//FP,

./OBH=/PFH,

.tanZOBH=tanZPFH,

--O--H--P--H，

OBPF

0H=4=?

PH2

.OH=2PH,

，OP=OC-PC=4-2=2,

：.OH=1X2=1,

33

在RtZ\OGH中，由勾股定理得：6“=’12+(,)2=_|,

:.△EGH'的周长=的周长=E4+EG+GH=2+匹+&+5=5+收.

33

故答案为：5+^5-

10.(2022•安徽)如图，四边形A3C0是正方形，点E在边AO上，ABEF是

以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF,分别交C0于点M,N,过点尸

作AO的垂线交AO的延长线于点G.连接OR请完成下列问题：

(1)ZFDG=°；

(2)若DE=1,DF=2近,则MN=.

15

【解答】解：由题知，△8EF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,

/.ZAEB+ZGEF=90°,

VZAEB+ZABE=90°,

:.ZGEF=ZABE,

在△A8E和△GEF中，

"ZGEF=ZABE

,NA=NG=90°，

BE=EF

AABE^/\GEFCAAS),

:.EG=AB=AD,GF=AE,

即DG+DE=AE+DE,

：.DG=AE,

：.DG=GF,

即△DGF是等腰直角三角形,

；.NFDG=45°,

故答案为：45°；

（2）,:DE=1,DF=2近,

由（1）知，AOG/是等腰直角三角形，

：.DG=GF=2,AB=AD=CD=ED+DG=2+l=3,

延长GF交BC延长线于点H,

:AEDMs/\EGF,

•MDED

•演福，

即蛇」，

23

：.MD=1,

3

同理

•••N一C—=B”C

FHBH

即5_____以，

GH-GFBCCH

•NC=3.

,•3-2=3+2,

：.NC=1,

5

:.MN=CD-MD-NC=3-2-3=空，

3515

故答案为：26.

15

11.（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点2/分别为A。,

CO边上的动点（不与端点重合），连接BE,BF,分别交对角线AC于点产，

Q.点、E,尸在运动过程中，始终保持NE3F=45°,连接ERPF,PD.下

列结论：①PB=PD；②/EFD=2/FBC；®PQ=PA+CQ；④ABP尸为等腰

直角三角形；⑤若过点8作垂足为“，连接则。”的最小值

为2a-2,其中所有正确结论的序号是.

AED

BC

［答案］①②④⑤

【解答】解：如图，四边形ABCO是正方形,

：.CB=CD,ZBCP=ZDCP=45°,

在△BCP和△DCP中，

'CB=CD

<ZBCP=ZDCP»

CP=CP

:.△BCPQ/XDCP(SAS),

：.PB=PD,故①正确，

ZPBQ=ZQCF=45°,ZPQB=ZFQC,

：./\PQB^/\FQC,

ABQ=PQ,/BPQ=/CFQ,

CQFQ

.•图=丝

"PQ而’

〈NPQF=NBQC,

:APQFs/\BQC,

:.NQPF=/QBC,

'：ZQBC+ZCFQ=90°,

:.NBPF=NBPQ+NQPF=90°,

：.ZPBF=ZPFB=45°,

：.PB=PF,

•••△BP/是等腰直角三角形，故④正确，

•：NEPF=NEDF=90°,

：.E,D,F,尸四点共圆,

:.ZPEF=ZPDF,

'：PB=PD=PF,

：./PDF=/PFD,

VZA£B+ZDEP=180°,NDEP+NDFP=180°,

:.ZAEB=ZDFP,

：./AEB=NBEH,

.'.ZBAE=ZBHE=90°,

"：BE=BE,

:.ABEA咨ABEH(AAS),

:.AB=BH=BC,

•:/BHF=NBCF=90°,BF=BF,

/.RtABF//^RtABFC(HL),

：.ZBFC=ZBFH,

ZCBF+ZBFC=9Q°,

2ZCBF+2ZCFB=180°,

,/ZEFD+ZCFH=ZEFD+2ZCFB=180°,

：.ZEFD=2ZCBF,故②正确，

将△ABP绕点8顺时针旋转90°得到△BCT,连接QT,

:./ABP=/CBT,

：.ZPBT=ZABC=90°,

：.ZPBQ=ZTBQ=45°,

'：BQ=BQ,BP=BT,

：./\BQP^/\BQT(SAS),

：.PQ=QT,

■:QT<CQ+CT=CQ+AP,

：.PQ<AP+CQ,故③错误，

连接80,DH,

•：BD=2瓜BH=AB=2,

:.DH，BD-BH=2近-2，

...OH的最小值为2&-2,故⑤正确,

故答案为：①②④⑤.

12.（2022•南通）如图，点。是正方形A3CO的中心，AB=3近.为△BEE中，

ZB£F=90°,EF过点。，BE,8月分别交AO,C£＞于点G,M,连接OE,

OM,EM.若BG=DF,tanZABG=1,则△OEM的周长为

3

E

A

B

［答案】3±375

【解答】解：如图，连接3。，过点F作以7LC。于点从

•••四边形A8C。是正方形，

：.AB=AD=3y[2<ZA=ZADC=90°,

'：tanZABG=^-=l,

AB3

:DG,

BG=VAB2+AG2=V(3V2)2+(V2)2=2^5,

■:NBAG=NDEG=90°,/AGB=NDGE,

:.ABAGsADEG,

AGBG/ABG=/EDG,

ABA==>

DEEGDG_

・372=72=275

DEIG-K

:.DE=&叵EG=^-,

55_

：.BE=BG+EG=24S+^-=^^-<

55

■:/ADH=/FHD=90°,

：.AD//FH,

:.NEDG=NDFH,

：.ZABG=ZDFH,

,:BG=DF=2爬,/A=NFHD=90°,

.".△BAG^AFHD(A4S),

:.AB=FH,

,:AB=BC,

：.FH=BC,

•:NC=NFHM=90°,

：.FH//CB,

.•.11=里=1,

BMCB

:.FM=BM,

'：EF=DE+DF=殳区+2芯

55

VZBEF=90°,BM=MF,

:.EM=、BF=2近,

2

VBO=OD,BM=MF,

:.OM=1DF=4S^

2

'：OE=1BD=1X6=3,

22

/.△OEM的周长=3+75+275=3+3遥，

解法二：辅助线相同.

证明△BAG丝△尸HO,推出/=3加,

再证明推出CM=HM=近,

求出BD,DF,BF,利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，

可得结论.

故答案为：3+3、尺.

13.（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在上方分别作等边△AC。、

△ABE、ABCF.且点A在△8b内部.给出以下结论：①四边形AORE是

平行四边形；②当NBAC=150°时，四边形AOfE是矩形；③当A8=AC时，

四边形AOFE是菱形；④当AB=AC,且N3AC=150°时，四边形AOFE是

正方形.其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

［答案］①②③④

【解答】解：①'.•△ABE、ZiCB/是等边三角形，

:.BE=AB,BF=CB,4EBA=4FBC=60°；

：.ZEBF=ZABC=600-ZABF；

:.△EFBQXACB（SAS）；

：.EF=AC=AD；

同理由△C。/7丝△CAB,WDF=AB=AE；

由AE=OR=即可得出四边形ADEE是平行四边形，故结论①正确;

②当NBAC=150°时，NEAD=360°-ZBAE-ABAC-ZCAD=360°

60°-150°-60°=90°,

由①知四边形AEFD是平行四边形，

，平行四边形尸E是矩形，故结论②正确；

③由①知AC=AD,四边形AE/Z)是平行四边形，

.•.当时，AE=AD,

平行四边形AE/口是菱形，故结论③正确；

④综合②③的结论知：当A3=AC,且N3AC=150°时，四边形AEF。既是

菱形，又是矩形，

四边形AEFO是正方形，故结论④正确.

故答案为：①②③④.

四.菱形的性质

14.(2022•丽水)如图,已知菱形A5CD的边长为4,E是8c的中点，AF平

分NE4O交CO于点」F,FG〃A。交AE于点G.若cos3=2，则FG的长是

4

()

)

BEC

1C.应运D.1

A.3B.

332

【答案】B

【解答】解：方法一，如图，过点A作于点”，过点/作fQ_LAO

于点0，

•.•菱形ABC。的边长为4,

：.AB=AD=BC=