二次函数的性质与图像变化

二次函数的性质与图像变化汇报人：XX2024-01-24XXREPORTING目录二次函数基本概念二次函数图像特征图像平移变换规律图像伸缩变换规律图像翻折变换规律总结归纳与拓展延伸PART01二次函数基本概念REPORTINGXX0102定义与表达式当$a>0$时，二次函数图像开口向上；当$a<0$时，二次函数图像开口向下。二次函数的一般形式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。$a$决定抛物线的开口方向和宽度。$b$和$a$共同决定抛物线的对称轴位置。$c$决定抛物线与$y$轴交点的位置。系数a、b、c意义010204判别式Δ=b²-4ac作用判别式$Delta=b^2-4ac$用于判断二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况。当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根（即一个重根）。当$Delta<0$时，方程无实根，即二次函数的图像与$x$轴无交点。03PART02二次函数图像特征REPORTINGXX当a>0时，二次函数图像开口向上，表示函数有最小值；当a<0时，二次函数图像开口向下，表示函数有最大值；a的绝对值大小决定了开口的宽窄程度，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。开口方向与a值关系对称轴方程为x=-b/2a，对称轴是垂直于x轴的一条直线；顶点坐标可以通过公式(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)求得，顶点位于对称轴上；若二次函数图像开口向上，则顶点为最小值点；若开口向下，则顶点为最大值点。对称轴及顶点坐标求法与坐标轴交点情况分析当Δ>0时，有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点；当Δ<0时，无实数根，即与x轴无交点。与x轴交点：令y=0，解一元二次方程ax^2+bx+c=0，根据判别式Δ=b^2-4ac判断交点个数当Δ=0时，有两个相等的实数根，即与x轴有一个交点（重根）；与y轴交点：令x=0，得y=c，即与y轴的交点坐标为(0,c)。PART03图像平移变换规律REPORTINGXX左平移将$y=ax^2+bx+c$的图像向左平移$k$个单位，得到新的函数$y=a(x+k)^2+bx+c$。图像上每一点的横坐标都增加$k$。右平移将$y=ax^2+bx+c$的图像向右平移$k$个单位，得到新的函数$y=a(x-k)^2+bx+c$。图像上每一点的横坐标都减少$k$。左右平移变换将$y=ax^2+bx+c$的图像向上平移$k$个单位，得到新的函数$y=ax^2+bx+c+k$。图像上每一点的纵坐标都增加$k$。上平移将$y=ax^2+bx+c$的图像向下平移$k$个单位，得到新的函数$y=ax^2+bx+c-k$。图像上每一点的纵坐标都减少$k$。下平移上下平移变换例子1将$y=x^2$的图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到新的函数为$y=(x+2)^2+1$。例子2将$y=2x^2-4x+1$的图像先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到新的函数为$y=2(x-1)^2-4(x-1)+1-3=2x^2-8x+4$。综合平移变换实例分析PART04图像伸缩变换规律REPORTINGXX对称性若函数$y=f(x)$的图像关于$y$轴对称，则函数$y=f(ax)$的图像也关于$y$轴对称。横坐标伸缩函数$y=f(ax)$（$a>0$）的图像可由函数$y=f(x)$的图像沿$x$轴方向伸缩得到。当$a>1$时，图像横向压缩；当$0<a<1$时，图像横向拉伸。伸缩因子与周期对于周期函数，伸缩变换会改变其周期。例如，正弦函数$y=sin(ax)$的周期为$frac{2pi}{|a|}$。横向伸缩变换纵坐标伸缩01函数$y=af(x)$（$a>0$）的图像可由函数$y=f(x)$的图像沿$y$轴方向伸缩得到。当$a>1$时，图像纵向拉伸；当$0<a<1$时，图像纵向压缩。截距变化02若函数$y=f(x)$在$y$轴上的截距为$b$，则函数$y=af(x)$在$y$轴上的截距为$ab$。最值变化03若函数$y=f(x)$在某区间内的最大（小）值为$M$（$m$），则函数$y=af(x)$在该区间内的最大（小）值为$aM$（$am$）。纵向伸缩变换实例一考虑函数$y=2sin(3x)$，其图像可由正弦函数$y=sin(x)$先横向压缩3倍（即周期变为$frac{2pi}{3}$），再纵向拉伸2倍得到。实例二考虑函数$y=frac{1}{2}cos(2x)$，其图像可由余弦函数$y=cos(x)$先横向压缩2倍（即周期变为$pi$），再纵向压缩$frac{1}{2}$倍得到。实例三考虑函数$y=3x^{2}$，其图像可由二次函数$y=x^{2}$纵向拉伸3倍得到。同时，该函数的对称轴、顶点等性质也会相应发生变化。综合伸缩变换实例分析PART05图像翻折变换规律REPORTINGXX翻折后，图像开口方向相反。顶点坐标变为(h,-k)，其中原顶点为(h,k)。对称轴不变，仍为x=h。与x轴的交点坐标不变。01020304关于x轴翻折变换翻折后，图像开口方向相反。对称轴变为x=-h。顶点坐标变为(-h,k)，其中原顶点为(h,k)。与y轴的交点坐标不变。关于y轴翻折变换对于二次函数y=ax^2+bx+c，若图像关于x轴翻折，则新函数为y=-ax^2-bx-c；若图像关于y轴翻折，则新函数为y=ax^2-bx+c。在实际应用中，可以通过翻折变换将复杂的二次函数图像简化为更容易分析的形式。例如，对于开口向下的二次函数，可以通过关于x轴的翻折变换将其转化为开口向上的形式，从而更方便地研究其性质。综合翻折变换可以应用于解决一些实际问题，如桥梁设计、弹道计算等。在这些问题中，往往需要根据实际情况对二次函数图像进行翻折变换，以便更好地描述和分析问题的本质。综合翻折变换实例分析PART06总结归纳与拓展延伸REPORTINGXX开口方向对称轴顶点与坐标轴交点二次函数性质总结归纳01020304由二次项系数$a$决定，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。对于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函数，其对称轴为$x=-frac{b}{2a}$。二次函数的顶点坐标可以通过公式$(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a})$求得。令$x=0$求得与$y$轴交点，令$y=0$解方程求得与$x$轴交点。通过加减常数项实现图像在坐标轴上的平移。例如，$y=x^2+2$相对于$y=x^2$向上平移2个单位。平移通过改变二次项系数实现图像的伸缩。当$|a|>1$时，图像相对于$y=x^2$更陡峭；当$0<|a|<1$时，图像更平缓。伸缩当二次项系数变为相反数时，图像关于$x$轴对称翻折。例如，$y=-x^2$是$y=x^2$关于$x$轴的翻折图像。翻折图像变化技巧掌握要点回顾当二次函数中含有参数时，其图像会随着参数的变化而变化。通过分析参数的变化范围，可以探讨图像的变化规律。含参数的二次函数形如$f(x)=a(x-h)^2