黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期二模考试数学试题

绝密★启用前数学考试全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5．本卷主要考查内容：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为整数集，，则（）A． B． C． D．2．若，则（）A． B．1 C．2 D．43．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（）A．16 B．17 C．23 D．244．在中，，，则（）A． B． C． D．5．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（）A．1 B．2 C．3 D．46．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数的最小值为，则的最小值为（）A． B． C．0 D．18．数列满足，若，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．如果正确选项为2个，则选对一个得3分，全部选对得6分；如果正确选项有3个，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分．有选错的得0分．9．已知函数，则（）A．为偶函数B．曲线的对称中心为C．在区间上单调递减D．在区间上有一条对称轴10．已知为坐标原点，抛物线的焦点在直线上，且交于两点，为上异于的一点，则（）A． B．C． D．有且仅有3个点，使得的面积为11．已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（）A． B．C．是奇函数 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为______．13．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______．14．设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．（1）求前两次取出的球颜色不同的概率；（2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）设数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．18．（本小题满分17分）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：．19．（本小题满分17分）已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为．（1）若，求的离心率；（2）点在上，若，且，求的取值范围．

数学考试参考答案、提示及评分细则1．D因为，故选D．2．A，，故选A．3．C由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，，所以分位数为，故选C．4．D由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以．故选D．5．B取的中点，则，所以，故选B．6．D不妨设，，则，所以，，所以当时，取得最小值，故选D．7．B，令，，当时，，当时，，，，故选B．8．A，，，，所以，同理可得，，．，因为，所以，因为，所以，故选A．9．BD因为，，所以为奇函数，A选项错误；令，解得，即，所以曲线的对称中心为，，B选项正确；当时，C选项错误；当时，，所以在区间上有且仅有一条对称轴，D选项正确．故选BD．10．ACD因为，令，解得，所以，A选项正确；设，抛物线与直线联立，得，所以，，，B选项错误；，C选项正确；不妨设直线，与抛物线联立可得，令，解得，此时直线与直线的距离为，的面积为，所以有且仅有3个点，使得的面积为，D选项正确，故选ACD．11．ABD令，则，因为，所以，A选项正确；令，则，即，两边求导可得，，即，所以关于对称，，B选项正确；因为，所以，令，则，两边求导可得，即，所以，是偶函数，C选项错误；由可知，所以，的一个周期为4，，D选项正确，故选ABD．12．易知点在圆上，由可知，，所以，又因为，所以，即直线的方程为．13．设水晶球的半径为，则，解得，设圆台的高为，则，解得，已知水晶球球心到圆台上底面的距离为，所以该奖杯的高为．14．依题意，为的角平分线，且，设，则，．在中，由余弦定理可得，，代入整理可得，因此，，所以的渐近线方程是．15．解：（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．设事件为“第一次取黑球，第二次取白球”，则，事件为“第一次取白球，第二次取黑球”，则，因为事件与互斥．所以，所以前两次取出的球颜色不同的概率为；（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，，．，，．所以的分布列为23456所以．16．（1）证明：是等边三角形，为的中点．所以是等边的中线，所以，又平面，平面，，又平面，平面，，平面；（2）解：取的中点，连接，因为平面，，所以平面，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，由令，则，．显然平面的一个法向量为，，故平面与平面夹角的余弦值为．17．解：（1）当时，，所以，当时，，所以，，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．18．（1）解：当时，，，，，，在点处的切线方程为，即；（2）证明：设，，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，恒成立，由可知，