2022年全国高考数学(新高考1卷)真题及答案解析

2022年高考数学(新高考1卷)真题

及答案解析

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.若集合M={x|於<4},N=(x\3x>1},则MCiN=()

11

A.{x|0<x<2]B,{x|-<x<2}C.{x|3<x<16]D.{x|-<x<16}

2.若i(l-z)=1,则z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在△力BC中，点。在边AB上，8。=2。4记方=而，CD=n，则方=()

A.3万-2nB.—2沅+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为lM.Ok*2；水位为海拔157.5m

时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，

则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5zn时，，增加的水量约为(夕»2,65)()

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

A.7B.7C.7D.\

O040

6.记函数f。)=sin(3久+3+6(3>0)的最小正周期为7.若警<7<兀,且y=/(%)

的图像关于点

得,2)中心对称,则/《)=()

A.1B.|C.|D.3

7.设a=0.1e。，，6=c=—ln0.9,则()

a<b<cB.c<b<aC.c<a<bT).a<c<b

8.己知正四棱锥的侧棱长为1,其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36兀，

且3W/W3K，则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.[18,失B.岸引C.[%失D.[18,27]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知正方体4BCO—&B1C1O1，则()

A.直线BQ与所成的角为90°

第1页，共19页

B.直线BCi与C4所成的角为90°

C.直线BQ与平面所成的角为45°

D.直线BQ与平面48CD所成的角为45°

10.已知函数/'(x)=炉一%+1,则()

A.”X)有两个极值点

B.f(乃有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/Q)的切线

11.已知。为坐标原点，点4(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直

线交C于P,Q两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线4B与C相切

C.\OP\­\OQ\>|0川2D.\BP\・|BQ|>\BA\2

12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R,记g(x)=f'(x).若-2x),g(2+

x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(W)=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.(1-?)(x+y)8的展开式中》2y6的系数为(用数字作答).

14.写出与圆d+y2=1和(％—3)2+(y—4)2=16都相切的一条直线的方

程.

15.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

16.已知椭圆。捺+，=l(a>b>0)，C的上顶点为4,两个焦点为％,F2,离心率

为右过尸1且垂直于心的直线与。交于。，E两点，|OE|=6,则AAOE的周长

是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.记S”为数列｛即｝的前n项和，已知%=1,圜是公差为我等差数列.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)证明：—+—+,••+—<2.

-aia2an

18.记A/IBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知严7=潦⑦.

l+sin4l+coszw

第2页，共19页

（1）若。=奈，求B;

（2）求里的最小值.

C

19.如图，直三棱柱ABC—4*也1的体积为4,△4BC的面积为2vL

⑴求4到平面4BC的距离；

（2）设。为&C的中点,44]=4B,平面&BC平面A8B遇1，求二面角A-BD-C

的正弦值.

20.一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良

好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例

组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据:

第3页，共19页

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异・

(2)从该地的人群中任选一人，4表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件

“选到的人患有该疾病”，徵与微的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程

度的一项度量指标，记该指标为R

(i)证明.R=组也感回.

(ii)利用该调查数据，给出P(4|B),PJE)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值.

附.I1=Mad-bc)2

•(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.已知点力(2,1)在双曲线C:/一若=1缶＞1)上，直线［交C于P,Q两点，直线

AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求1的斜率；

(2)若tanZPAQ=2近，求APAQ的面积.

已知函数/(%)=ex-ax和g(x)=ax-Inx有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)证明：存在y=b直线，其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

【解答】

解:因为M={x|0<%<16},N=[x\x>,

故MA/V={x|i<%<16}.

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2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的四则运算及共物复数，属基础题.

【解答】

解：z=l+i,z+z=l+i+l—i-2.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题.

【解答】

解：CD=^CA+^CB,CB=3CD-2CA=-2m+3n.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题.

【解答】

解：依据棱台的体积公式

V=5.(S+S'+■5-h

=1•(140000000+180000000+V14000000X18000000)X9

«1.4x109m3.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题.

【解答】

解：由题可知，总的取法有4=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6.

所以两个数互质的概率为P=1一如=3.

213

6.【答案】A

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【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题.

【解答】

解：由题可知：7'=-e(^,7T),所以36(2,3).

又因为y=/(x)的图像关于点(手,2)中心对称，所以b=2,且/(y)=sin(a)x

如+9+b=2.

247

所以o>=j(k—}),k&Z,所以3=].所以f(x)=sin(|x+^)+2.所以

/(”1.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题.

【解答】

解：a=O.le°”,b--^77,c=—ln(l-0.1)，

1—0.1

①Ina—Inb=0.1+ln(l—0.1),

令/(%)=%+ln(l—x),xG(0,0,1],

则/'(x)=1_"=9<0,

1-x1-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0.1)</(O)=0,即Ina—Inb<0，所以aVb；

@a-c=O.leol+ln(l-0.1),

令9(%)=xeX+ln(l—%),%6(0,0.1],

则g[(x)=xe'+ex_J_(l+x)(lT)eXT,

1-x1-x

令k(x)=(1+x)(l—x)ex—1,所以k'(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以fc(x)在(0,0.1]上单调递增，可得fc(x)>A:(0)>0,即^'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(O.l)>g(0)=0,即a-c>0,所以

a>c.

故c<a<b.

8.【答案】C

第6页，共19页

【解析】

【分析】

本题考查了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属

较难题.

【解答】

解：方法(1)：

设正四棱锥P-ABCD的高为POi=h,底面边长为a,球心为。，由已知易得

球半径为R=3,

所以卜建+(八3)一二偿九因为3<Z<3V3=>9<6/I<

［(为2+丛=(2匕=2(6九一九)

27=>|<h<|,

故所以K=|a2/i=|(6/i-/i2)/i=i(12-2/i)/ix/i<|x［(12-^)+/1+/i］3=y(当且仅

当h=4取到)，

当h=l时，得a=W，则联大仁家渺小可；

当，=3旧时，球心在正四棱锥高线上，此时h=|+3=?，

129竺

在a=^=a=莘，正四棱锥体积匕=；。2八-X-81-

3243故该正四

22V213

棱锥体积的取值范围是俘，争.

43

方法(2):

由方法(1)中知K=|(6-/i)/i2,，求导『=2(4-/1)无，所以V=

|(6—八)层在［1,4］上单调递增，在［4,1］上单调递减,所以Vmax=V(4)=y,

%析=min伍|),%)}=，(|)=日,故该正四棱锥体积的取值范围是［得］.

9.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题.

【解答】

解：如图，因为BC1J.B1C，B\C"DA［,所以BCi1D4,故/正确；

第7页，共19页

对于选项B:因为直线BQ1平面CD&B1,且C&u平面CD&B1,所以直线

BCi1CAi,故8正确；

对于选项C:连接&Ci与B1D1交于点。1,则N0BC1即为直线8cl与平面

BBi%D所成的角，

sin"iBCi=架=彳，所以乙。出的=30。，故C错误；

对于选项D:直线BC1与平面ABCD所成的角即为NgBC=45。，所以D正确.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，

考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题.

【解答】

解：/（x）=x3—x+1/'（x）-3%2—1,令f\x）—0得：x=+,

/'（X）>0=>x<-Y或》>三；/'（x）<0=—曰<x<?，

所以/（X）在（一8,-苧）上单调递增，在（一苧耳）上单调递减，在（亨,+8）上

单调递增，

所以/（%）有两个极值点（x=-弓为极大值点，x=?为极小值点），故/正

确；

乂/（一三）=一7-（一目）+1=1+丁>°，/（^）=v-T+1=1--r>0，

所以/（x）仅有1个零点（如图所示），故5错；

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又/(-=_x3+x+1=>/(-%)+/(x)=2,所以/(x)关于(0,1)对称，故C

正确；

对于D选项，设切点P(x0,y0)，在P处的切线为y-(君一g+1)=(3君一

l)(x-x0),

即y=(3芯一l)x—2%+1,

3%2-1=2

：3,c，方程组无解，所以D错.

{一2%+1=0

11.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题.

【解答】

解：点4(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，即1=2p=Ox?=y,所以准线

为y=-：,所以4错；

直线AB:y=2x-1代入/=y得：x2-2x+1=0=>(x-I)2=0=>%=0，所

以AB与C相切，故B正确.

由题知直线PQ的斜率一定存在，则可设直线

(y-kx—1,2

PQ-.y=kx-1,P(%i，yi)，Q(x2,y2)，则[=dx-/ex+1=0,A=

炉一4>0=卜<-2或k>2,

2

[g+x2=k(yi+y2=x^+xj=%+x2y-2x^2=k-2

'lxlx2=1=%货g=1

\OP\'\OQ\=J(x2+yi2)(x2+y2)=J(yi+£)仇+无)=

J(71丫2)2+(71丫2)(71+丫2)+y/2=0+()-2)=>2=1。川2，故C正确；

22222

\BP\'\BQ\=V1+k\xt-0|Vl+fc|x2-0|=(1+k)\XiX2\=(1+fc)>5=\BA\

,故D正确.

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O1

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.

【解答】

解：由2x)为偶函数可知/(x)关于直线x=|对称，

由g(2+乃为偶函数可知g(x)关于直线x=2对称，

结合g(x)=尸(%),根据g(%)关于直线x=2对称可知/(%)关于点(24)对称，

根据/(乃关于直线X=|对称可知：g(x)关于点(|,0)对称，

综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有;•(())="2)=3所以4不

正确；

/(-1)=/(1),〃4)=)(2),/(1)=/(2),故/(-1)=/(4),所以C正确•

g(一、)=潟)=o,g(T)=g(i)，所以8正确；

又g(l)+g(2)=0,所以g(—1)+g(2)=0,所以。不正确.

13.【答案】-28

【解析】

【分析】

本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.

【解答】

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rr

解：因为(x+y)8展开式的通项Tr+1=^-y,

令r=5,则x3y5的系数为党=56；令r=6,贝ijx2y6的系数为玛=28,

所以久2y6的系数为-56+28=-28.

14.【答案】x+l=O7x-24y—25=03x+4y-5=0(±M一条即可)

【解析】

【分析】

本题考查了圆与圆的公切线问题，涉及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识,

属较难题.

【解答】

解：方法1:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+by+c=O,于是

1|3+4b+c|_

故c?=1+接①,|3+4b+c|=|4c|,于是3+4b+c=4c或

,24(,4

b=---b=-

2；或,_%＞所以直线

(C~~~V3

方程有三条，分别为x+1=0,7x—24y-25=0,3x+4y-5=0.

(填一条即可)

方法2:设圆x2+y2=1的圆心。(0,0),半径为勺=1,圆(%-3)2+(y-

4尸=16的圆心C(3,4),半径上=4,贝ij|OC|=5=r1+r2,因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；

又由方程(x-3)2+(y—4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线0C的方程为4x-3y=0,

直线0C与直线x+1=0的交点为(一1,一3),设过该点的直线为y+9=k(x+

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从而该切线的方程为7x—24y—25=0.(填一条即可)

15.【答案】(―8,—4)U(0,+8)

【解析】

【分析】

本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题.

【解答】

解：y'=(x+a+l)ex,设切点为(沏)。)，故f=(a+a+1)矿。，即色吐色史=

“0X。

x

(x0+a+l)e°.由题意可得，方程x+a=x(x+a4-1)在(-8,0)u(0,+8)上

有两个不相等的实数根.化简得，x2+ax-a^0,△=a2+4a>0，解得a<—4

或a>0,显然此时0不是根，故满足题意.

16.【答案】13

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考

查了运算求解能力，属于中档题.

【解答】

解：由椭圆离心率为|，可得a=2c,则b=Va2—c2=V3c，

则C:=1>J4(0,V3C)，c,0),尸2(。，0)»

易得^AF2:y=-+V3c，IED:y=(x+c),

可解得AF2与DE的交点苧)，

故直线DE垂直平分AF2，即EA=EF2,DA=DF2,

£+《=1fxD+x£=-y

又｛4cU=>13x2+8cx—32c2=0=><32c2

(y=V(x+c)卜/E=-

第12页，共19页

A\DE\=1+||X-&|=6=(x+x)2-4XX=27今C=F

JDDEDEo

所以LADE的周长AD^AE+DE=DF2+EF24-DFX4-EFX13.

n+2on+2ZTX

17.【答案】解：（1）F-=Sn=亍册①;

n4-3丁

s^+i=---Q?I+I2);

71+3n+2Qn+1=n+2

由②-①得：册+1

ann

3(n+l)nn(n+l)

,当n>2fineN*时，您=-^-・^^・••丝=••白-

a\an_ian-2。2。1n—1n—232T=-I=%=

又4=1也符合上式，因此“=gtll（nwN*）；

c、12”1

k7n+1"

ann(n+l)

1,1,,1,1

・・o：-7+--^+-)=2(1--)<2

•—I-----F…4—=2(7J

。2an\1223nn+1、n+1

即原不等式成立.

【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据

数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题.

2A.2A

..cos/l_sin28.cos,-sin」_2sin8cosB日

18.【答案】解:⑴.1+Sin4-1+8S2B'”8s2知i卷+2si设谒一诲砺且8sb丰U，

A.A

cos-sm-sinB1-tan—nA

-------4=tanB,・••tan(------)=tanB,

cos介sin?cosBl+tan^2)

4—n

又A,BE(0,7T),J-G(—AJB

'，42444~2~-

又「C4,••.4+B=g,=I

3o0

sin24+sin28_siMA+siMGf)

⑵由正弦定理高=白=总’得亨

sin2c-sin2(4弋-令

「cosZA/COS2(今一务

2

22.1—cos2/1+1—sinA2sin4—sin4+1

1-cos2(4+^-%14-sinA1+sinA

2

(Ae(0,兀)口人

=B6(0,兀)=力e(呜)'令t=1+Sin4€(1,2),

则y=2(tT)2-(tT)+i=2t_5+£,tG(1,2),

y=2t-5+£在te（1,夜）时递减，在tG（包,2）时递增,

因此t=企时，ymin=4A/2—5.

【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问

题，属于中档题.

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19.【答案】解：(1)设Z到平面4/C的距离为d,

因为直三棱柱4BC-&B1C1的体积为4,即可得SMBC/AI=4,

故K41TBe=^AABC'^1=

又匕I】-/18C=乙-ABC=418c/=1X2&Xd=(

解得d=鱼，所以4到平面&BC的距离为迎；

(2)连接AB1，因为直三棱柱ABC-&B1C1中，

故44/1B为正方形，即幽1&B,

又平面4iBC_L平面4BB141，n¥ffiABBXAX=AXB,ABXABB^,

故ABi_L平面&BC,所以皿IBC,

又因为IBC,ABi，44iu平面ABBiAi，且481nABi=A,

故BC-L平面力BBiAi，则BC_L4B,

所以BB^AB.BC三条直线两两垂直，

故如图可以以B为原点建立空间直角坐标系，

设力a=AB=a,BC=b,则=四。，

-axhxa=4

解得{；：；

由条件可得作「r-

-xy/2axb=2V2

则B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),4式0,2,2),&C的中点0(1,1,1),

所以瓦？=(0,2,0)，BD=(1,1,1).BC=(2,0,0)

设平面ABD的一个法向量为而=(x,y,z),

{,器IM降7：z=0,取而=(1。-。

同理可求得平面BCD的一个法向量为何=(0,1,-1)

第14页，共19页

所以|cos<E，石>I=普兽=；,

所以二面角A-BD-C的正弦值为宜.

2

【解析】本题考查了平面与平面所成角的空间向量求法、点到面的距离的几何求法、几

何体的体积公式，考查了空间中的垂直关系的证明与应用，属于中档题.

20.【答案】解：⑴得到2x2联表如下：

第15页，共19页

不够良好良好总计

病例组4060100

对照组1090100

总计50150200

200x(40x90-60x10)2

vK20=——--------------------—=24>10.828

100x100x50x150

・・.有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；

(2)⑴证明：•；P(B|A)=需，p®4)=需,

P(B|I)=侬，P(丽=华

'17P⑷'1JP(4)

P(B4)P(西

_P(B|A)P(B|-_TWP④_P(84)P@Z)

P(B\A)P(B\A)P(BA)P(BA)P(BA)P(Bl)

P(4)P(A-)

又「P(2|B)=甯),P⑷B)—需，PQ4⑻一匐

P(姻)=嚅，

__P(AB)P(AB)____

.PQ4|B).P(彳山)__P(AB).P(彳P)_P(BA).P(-7)

•・P(A\B)P(A\B)~P(MP(点)-P(AB)P(AB)~P(BA)P(BA)'

P(8)P西)

P(A|B)P(A\B)

R=———------------

P(A\B)P⑷万)

(©••旺(力田)=迪=%=之「仪田)=幽="=2,2闻耳)=①=更=2,

1“〈I，P(B)1005'/91以P(B)1005,117P(8)10010’

_P(AB)101

P(AIB)=7^=Too=io

29

P(/|B)P(A\B)5To1

P(川B)P(A\B)3£

510

...R二吟迹=6

P(A\BY”川8)0

即P(4|8)=|,PQ4历)=看R的估计值为6.

【解析】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属中档题.

21.【答案】解：⑴将点4代入双曲线方程得右一六=1,化简得a4—4a2+4=0得：

2

a2=2,故双曲线方程为］—y2=i；

由题显然直线1的斜率存在，设〃y=kx+zn,设P(/,yi),Q(x2,y2),则联立直线与双

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曲线得:

(2fc2—l)x2+4kmx+2m2+2=0,△>0,

44.4km2m2+2

故r/+”2=一正三，/犯二宝可，

心+%=3+舞=*+甯=°，

化简得：2kxrx2+(m-1—2k)(x1+x2)-4(m—1)=0,

即(/C+1)(M+2/C-1)=0,而直线［不过A点，故k=-l.

(2)设直线AP的倾斜角为a,由tan/PAQ=2VI，得tan等=y.

由2a+Z.PAQ=7T,得服p=tana=V2，即普卷=或，

联立涓=/，及J—*=i得返，月=浮，

同理，上=生警，丫2=中，

故均+丫2=石，%1%2=万

而14Pl=75%-2|,|4(?|=遍|%2-2上

由tan/PAQ=2或，得sin^PAQ=苧，

故〃「的=1\AP\\AQ\sin^PAQ=^\X1x2-2(右+犯)+甸=竽・

【解析】本题主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题.

22.【答案】解：(1)由题知尸。)=眇一①5'(x)=«-

①当aW0时，/'(x)>0,,g,(x)<0,则两函数均无最小值，不符题意;

②当”>0时，/(%)在(一8,lna)单调递减，在(Ina,+8)单调递增；

g(x)在(0、)单调递减，在(%