浙江省杭州市拱墅区公益中学2022年中考数学模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，菱形ABCD中，E.F分别是AB、AC的中点，若EF=3,则菱形ABCD的周长是（）

C.20D.24

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕,

3.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E

处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（）

A.2B.25/2C.回D.2小

4.已知一组数据：12,5,9,5,14,下列说法不正确的是（）

A.平均数是9B.中位数是9C.众数是5D.极差是5

X

5.如图，在正方形ABCD中，AB=r，P为对角线AC上的动点，PQ，AC交折线A-D-C于点Q,设AP=x,

2

△APQ的面积为y,则y与x的函数图象正确的是（)

）

1

C.-2016D.2016

2016

7.在代数式立三中,

m的取值范围是)

m

A.m<3B.m#0C.m>3D.m<3且mr0

1

8.--的相反数是（）

o

11

A.8B.-8C8D-8

9.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,顶点坐标（1,n）与y轴的交点在（0,2),(0,3)之间(包

含端点），则下列结论：①3a+bv0；②-lWa£?；③对于任意实数m,a+bNam2+bm总成立；④关于的方程ax2+bx+c=n-l

有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）

10.如图，3c中，AD是中线，BC=8,ZB=ZDAC,则线段AC的长为（）

57)

A.473B.4aC.6D.4

k

11.如图，已知反比函数）'=一的图象过RSABO斜边OB的中点D,与直角边AB相交于C,连结AD、OC,若

x

△ABO的周长为4+2《，AD=2,则△ACO的面积为（）

A.-B.1C.2D.4

2

12.如图，已知AABC,ADCE,△FEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,

且AB=2,BC=1.连接AI,交FG于点Q,则QI=()

4

D3

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展.预计达州市2018年快递业务量将达到5.5

亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为.

14.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上

的公共点P在小量角器上对应的度数为65。，那么在大量角器上对应的度数为度（只需写出0°〜90。的角度）.

1

15.计算：(-万)2~2cos600=

16.如图，已知AB〃CD,F为CD上一点，ZEFD=60°,ZAEC=2ZCEF,若6Y/BAEV15。，NC的度数为整数,

则NC的度数为

CD

17.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的H处,

则AP的长为.

18.图，A,B是反比例函数y=勺图象上的两点，过点A作ACJ_y轴，垂足为C,AC交OB于点D.若D为OB的

x

中点，^AOD的面积为3,则k的值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4的打印

纸等，这些矩形的长与宽之比都为1,我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1）,在“完美矩形”430

中，点尸为45边上的定点，且AP=AD.求证：PD=AB.如图（2）,若在“完美矩形的边BC上有一

BE

动点E,当的值是多少时，&PDE的周长最小？如图（3）,点Q是边AB上的定点，且BQ=BC.已知AD

CE

=1,在（2）的条件下连接DE并延长交AB的延长线于点F,连接CF,G为CF的中点，M、N分别为线段QF

和CD上的动点，且始终保持QM=CN,MN与DF相交于点H,请问GH的长度是定值吗？若是，请求出它的

值，若不是，请说明理由.

AQMPBp

D

图（3）

20.（6分）某学校要开展校园文化艺术节活动,为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节

目进行了一次随机抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.

学生最喜爱节目的人数学生最喜爱节R的人数

条形统计图扇形统计图

（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图;

(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那

么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？

21.(6分)解方程：3x2-2x-2=1.

22.(8分)计算：2sin60°+l3-^1+(JT-2)o-(-)i

23.(8分)如图，SAABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,且BF是。O的切线，BF

交AC的延长线于F.

(1)求证：ZCBF=1ZCAB.(2)若AB=5,sin/CBF=@，求BC和BF的长.

25

24.(10分)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P

是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线1交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,；),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(10分)小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间f(单位：分)，将获得的数据分成四组，绘制了如下

统计图(A：0<Z<10,B-.10<f<20,C：20〈解30,D-.f>30),根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数

是多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从。组的甲、乙、丙、丁四人

中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率.

各组人教的条形统计图各组人数扇形统计图

YAY*0I?Y|1

26.⑴分）先化简'后求值：目.-^一1‘其中、="+].

27.（12分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极参与，实

际参加的人数比原计划增加了50%,结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD,再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.

【详解】

•；E、F分别是AC、DC的中点，

•••EE是AADC的中位线，

A£>=2所=2x3=6,

菱形ABCD的周长=4AD=4x6=24.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题

的关键.

2、A

【解析】

,/ADEF是4AEF翻折而成,

.'.△DEF丝△AEF,ZA=ZEDF,

VAABC是等腰直角三角形，

ZEDF=45°,由三角形外角性质得/CDF+45G/BED+45。，

/.ZBED=ZCDF,

设CD=LCF=x,贝！|CA=CB=2,

:.DF=FA=2-x>

...在RSCDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,即X2+1=(2-X)2,

3

解得X=—,

4

CF3

.\sinZBED=sinZCDF=—-=-

DF5

故选：A.

3、C

【解析】

解：连接B0.在AABC中，•.•/C=90。，AC=4,BC=3,.•.AB=2.:将△ABC绕点4逆时针旋转，使点C落在线段

AB上的点E处，点B落在点D处，；.AE=4,DE=3,：.BE=2.在RtABED中，BD=JBE2+DE2=JI2+32=皿.故

选C.

点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系.题

目整体较为简单，适合随堂训练.

4、D

【解析】

分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案

平均数为(12+5+9+5+14)+5=9,故选项A正确；

重新排列为5,5,9,12,14,.•.中位数为9,故选项B正确；

5出现了2次，最多，，众数是5,故选项C正确；

极差为：14-5=9,故选项D错误.

故选D

5、B

【解析】

；在正方形ABCD中,45=24，

；.AC=4,AD=DC=20，/DAP=NDCA=45。，

当点Q在AD上时，PA=PQ,

DP=AP=x,

：.S=^PQ-AP=^.X2.

当点Q在DC上时，PC=PQ

CP=4-x,

;.S——PCPQ=_(4-x)(4-x)=J-(16-8X+X2)=—X2-4x+8；

2222

所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，

故选B.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在AP、DC上这两种情况.

6、C

【解析】

根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.

故选C.

7、D

【解析】

根据二次根式有意义的条件即可求出答案.

【详解】

3-m>0

由题意可知：1c

解得：m<3且m#0

故选D.

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型.

8、C

【解析】

互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以一1的相反数是:，

OO

故选C.

9、D

【解析】

利用抛物线开口方向得到a<0,再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a,则3a+b=a,于是可对①进行判断；利用£吐3

和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-l有两个交点可

对④进行判断.

【详解】

•.•抛物线开口向下，

，a<0,

而抛物线的对称轴为直线x=E=l,即b=-2a,

3a+b=3a-2a=a<0,所以①正确；

V2<c<3,

而c=-3a,

/.2<-3a<3,

.,.-l<a<4.所以②正确；

•.•抛物线的顶点坐标（1,n）,

；.x=l时，二次函数值有最大值n,

a+b+c>am2+bm+c,

即a+b>am2+bm,所以③正确；

•••抛物线的顶点坐标（1,n）,

...抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-l有两个交点，

关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，所以④正确.

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线向上开口；

当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y

轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（O,c）.抛物线与

x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=bz-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

10、B

【解析】

Ac8C

由已知条件可得热BC~AD4C,可得出—=寸，可求出AC的长.

DCAC

【详解】

AcBC

解：由题意得：ZB=ZDAC,NACB=NAC£>,所以△ABC~AD4C,根据“相似三角形对应边成比例"，得行尸

又AO是中线，BC=8,得DC=4,代入可得AC=4",

故选B.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定与性质.灵活运用相似的性质可得出解答.

11、A

【解析】

在直角三角形403中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边

AB=x,表示出QA,利用勾股定理求出AB与。4的长，过。作OE垂直于x轴，得到E为。4中点，求出OE的长，

在直角三角形OOE中，利用勾股定理求出OE的长，利用反比例函数我的几何意义求出"的值，确定出三角形AOC

面积即可.

【详解】

在RtAAOB中，AD=2,为斜边05的中线，

由周长为4+2，百

,得至IJ43+40=2的,

设则A0=2«・x,

根据勾股定理得：482+042=032,即X2+(2>/6-x)2=42,

整理得：X2-2-76x+4=0,

解得X=y/6+y/2，X2=4-y/2,

:.AB=F+3,OA=«-0,

过。作OELx轴，交x轴于点E,可得E为AO中点，

OE=—OA=—（y/6-y/2）（OA=y/6+J2»与OA=#-用,求出结果相同），

在RSOE。中，利用勾股定理得：DE=SD2-OE；='（F+^）），

111111

k=-DE»OE=--（V6+V2））x-（V6-72））=1.

11

；•s△AO（T2DE・OE=—,

故选A.

【点睛】

本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例

函数k的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键.

12、D

【解析】

AB2\BC\

解：:△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，，"/乂夕=？，GI=BC=1,BI=2BC=2,：.

BI42AB2

ABBCACAB

.;NABI=NABC,：.AAB/s△C5A,：AB=AC,：.AI=BI=2.VZACB=ZFGE,

BIAB

QIGI114

J.AC//FG,：.QI=-AI=~.故选D.

CziJJ5

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解A5〃C0〃E厂，AC〃0E〃尸G是解题

的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、5.5x1.

【解析】

分析：科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，

n是负数.

详解：5.5亿=550000000=5.5x1,

故答案为5.5x1.

点睛：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中心回＜10,n为整数，表示

时关键要正确确定a的值以及n的值.

14、1.

【解析】

AB

设大量角器的左端点是A,小量角器的圆心是B,连接AP,BP,则/APB=9。。，NABP=65。，因而/PAB=90。-65。=25。,

在大量角器中弧PB所对的圆心角是1。，因而P在大量角器上对应的度数为1°.

故答案为1.

15、3

【解析】

按顺序先进行负指数嘉的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.

【详解】

1

(--)2-2cos600

2

1

=4-2x-

2

=3,

故答案为3.

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了负指数愚、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.

16、36。或37。.

【解析】

分析：先过E作EG〃AB,根据平行线的性质可得/AEF=/BAE+/DFE,再设NCEF=x,则NAEC=2x,根据6。<

ZBAE<15°,即可得至6o<3x-6(F<15。，解得22。<*<25。，进而得到/C的度数.

详解：如图，过E作EG〃AB,

VAB/7CD,

，GE〃CD,

；.NBAE=NAEG,ZDFE=ZGEF,

ZAEF=ZBAE+ZDFE,

设NCEF=x,则NAEC=2x,

..x+2x=/BAE+60°,

ZBAE=3x-60°,

又•.•GY/BAEVIS。，

.,.6°<3x-60°<15°,

解得22o<x<25。，

又：/DFE是4CEF的外角，ZC的度数为整数，

/./©=60。-23。=37。或ZC=60°-24°=36°,

故答案为：36。或37。.

点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线

平行，内错角相等.

39

17、2^4

【解析】

①点A落在矩形对角线BD上，如图1,

VAB=4,BC=3,

..BD=5,

根据折叠的性质，AD=A,D=3.AP=AT,ZA=ZPA,D=90°.

.•.BA'=2,设AP=x,则BP=4-x,：BP2=BA‘2+PA’2,

(4-X)2=X2+22,

33

解得：x=—,AP=—；

②点A落在矩形对角线AC上，如图2,根据折叠的性质可知DPJ_AC,

/.△DAP^AABC,

.AD_AB

AD.BC3x39

AP=-----------=---=—.

AB44

3.9

故答案为不或彳.

24

A

B

18、1

【解析】

先设点D坐标为(a,b),得出点B的坐标为(2a,2b),A的坐标为(4a,b),再根据△AOD的面积为3,列出关

系式求得k的值.

解：设点D坐标为(a,b),

点D为OB的中点,

.,.点B的坐标为(2a,2b),

k=4ab,

又•；ACJ_y轴，A在反比例函数图象上,

；.A的坐标为(4a,b),

AD=4a-a=3a,

VAAOD的面积为3,

.'."^,x3axb=3»

；.ab=2,

k=4ab=4x2=l.

“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积

为1列出关系式是解题的关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)证明见解析(2)三2(3)0

2

【解析】

(1)根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB,根据AP=AD,利用勾股定理表示出PD,即可得证；

(2)如图，作点P关于BC的对称点P，，连接DP咬BC于点E,此时4PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a,表示

出AB与CD,由AB-AP表示出BP,由对称的性质得到BP=BP，，由平行得比例，求出所求比值即可；

(3)GH=",理由为：由(2)可知BF=BP=AB-AP,由等式的性质得到MF=DN,利用AAS得到△MFHgZxNDH,

利用全等三角形对应边相等得到FH=DH,再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即

可.

【详解】

(1)在图1中，设AD=BC=a,则有AB=CD=JTa,

•.,四边形ABCD是矩形，

ZA=90°,

VPA=AD=BC=a,

PD=+PA2=3a,

•.AB="a,

..PD=AB；

(2)如图，作点P关于BC的对称点F,

设AD=PA=BC=a,则有AB=CD=显a,

.BP=AB-PA,

,,

..BP=BP=>/2a-a,

•BP3CD,

.BE_BP_41a-a

"'CE~CD-~~^a；

(3)GH=3，理由为：

由(2)可知BF=BP=AB-AP,

VAP=AD,

/.BF=AB-AD,

VBQ=BC,

.*.AQ=AB-BQ=AB-BC,

VBC=AD,

.\AQ=AB-AD,

・・BF=AQ,

・・・QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB,

VAB=CD,

..QF=CD,

VQM=CN,

JQF-QM=CD-CN,即MF=DN,

VMF^DN,

AZNFH=ZNDH,

在△MFH和△NDH中，

/MFH=/NDH

{/MHF=/NHD,

MF=DN

.,.△MFH^ANDH(AAS),

AFH=DH,

・・・G为CF的中点，

・・・GH是aCFD的中位线，

1111

:.GH=-CD=-Xy/2x2=72.

【点睛】

此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位

线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.

20、(1)共调查了50名学生；统计图见解析；(2)72°；(3)i..

1

【解析】

(1)用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条

形统计图；

(2)用360。乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率

公式求解.

【详解】

解：(1)144-28%=50,

,本次共调查了50名学生.

补全条形统计图如下.

学生最再爱节目的人数

条形统计图

(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360＞；,,=72。.

(3)设一班2名学生为数字“1”,“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”,画树状图如下.

开始

共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种,

...抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P=

61

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

11+近1-6

921、x=---,x=---

1323

【解析】

先找出a,b,c,再求出b2-4ac=28,根据公式即可求出答案.

【详解】

解2±J(-2J-4X3X(-2)_］土"

:'2x3--3-

即X=l+",x

132

...原方程的解为x=UI,x

1323

【点睛】

本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二

次方程是解此题的关键.

22、1

【解析】

根据特殊角的三角函数值、零指数幕的运算法则、负整数指数幕的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可.

【详解】

原式=lx^Z+3--J3+1-1=1.

2

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从

高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的

顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

l20

23、（1）证明略；（2）BC=2石，BF=—.

【解析】

试题分析：（1）连结AE.有AB是。O的直径可得/AEB=90。再有BF是。。的切线可得BF_LAB,利用同角的余角相

等即可证明；

（2）在RtAABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CGLAB于点G可求出AE,再在RtAABE中，求出sin/2,cosN2.然后再在Rt△CGB中求出CG,最后

证出△AGC^AABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

(1)证明：连结AE.：AB是。。的直径，ZAEB=90°,AZl+Z2=90°.

：BF是。O的切线，ABF1AB,AZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

VAB=AC,ZAEB=90°,/.Zl=-ZCAB.

2

..ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：过点C作CG_LAB于点G：sinNCBF=f,Z1=ZCBF,；.sinNl=

55

VZAEB=90°,AB=5...BE=ABsinNl=石.

*：AB=AC,ZAEB=90SBC=2BE=2后.

在RtAABE中,由勾股定理得AE=4AB2-BE2=2石.

cosZ2=^l.

5

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2.；.AG=3.

；GC〃BF,.".AAGC^AABF.—

BFAB

...陪竺金生

AG3

考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.

13

24、(1)y=--X2+-X+2；(2)m=-1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；(3)点Q的坐标为(3,2)或(-

1.0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.

【解析】

分析：(1)待定系数法求解可得;

1131

(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=,x-2,则Q(m,-爹mz+2m+Z)、M(m,-m-2),由QM〃DF

且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程，解之可得;

DOMB1

(3)易知/ODB=NQMB,故分①NDOB=NMBQ=90。，利用△DOBsaMBQ得市=诙=],再证

BMBPL4一加

△MBQs^BPQ得市=①，即2-Lm2+lm+2,解之即可得此时m的值；②/BQM=9。。'此时点Q与

22

点A重合，△BODsaBQM，，易得点Q坐标.

详解：(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),

将点C(0,2)代入，得：-4a=2,

1

解得：a=--,

113

则抛物线解析式为y=-2(x+1)(x-4)=--X2+—x+2；

(2)由题意知点D坐标为(0,-2),

设直线BD解析式为y=kx+b,

将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：

r(1

4k+b=0k=-

o，解得：2,

我一2[b=-2

直线BD解析式为y=；x-2,

：QM_Lx轴，P(m,0),

131

Q(m,--m2+—m+2)M(m,—m-2),

222

1311

则QM=--m2+—-m+2-(—m-2)=-—m2+m+4,

1

VF(0),)、D(0,-2),

5

,DF=-,

.QM〃DF,

15

...当--m2+m+4=爹时，四边形DMQF是平行四边形,

解得：m=-l(舍)或m=3,

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

(3)如图所示：

•QM〃DF,

..ZODB=ZQMB,

分以下两种情况：

①当NDOB=NMBQ=90。时，△DOBsaMBQ,

DOMB2\

则而=而=丁3

・・ZMBQ=90°,

.*.ZMBP+ZPBQ=90°,

■:ZMPB=ZBPQ=90°,

:.ZMBP+ZBMP=90°,

..ZBMP=ZPBQ,

AAMBQ^ABPQ,

BMBPJ.=4一加