江苏省淮安、南通部分学校2023-2024学年高三年级上册11月期中监测数学试题含答案

江苏省淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期

中监测数学试题

2024届高三第一学期期中质量监测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，

在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.集合Z={Mx?+x—6=0},8={2,3},则2口8=()

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.已知awR,若(2+i)(l+ai)为纯虚数，则口=()

11c

A.B.—C.一2D.2

22

Y-a

3.“。=1”是“函数=——为奇函数”的()

2A+a

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生

活环境奉献智慧.张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下

底面半径之比为3:2,丹线长为10cm,其母线与底面所成的角为60。，则这个圆台的体积为()

2375百34750G7125百9500百

A.---------乃cmB.----------»cm3C.----------7cm3D.----------万cm3

3333

5.已知函数/(x)=/sin(m+o)A>0,(v>0,0<^<—现有如下四个命题:

甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为一；

2

乙：该函数图象可以由y=cos2x-V3sin2x的图象向右平移?个单位长度得到:

丙：该函数在区间f-2,工］上单调递增；

I126）

T：该函数满足/［孑+》）+/［彳—xJ=O.

如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

2023

6.已知奇涵数的图象关于直线x=l对称，当xe［O,l］时，f（x）=2x+b,则/

2

A.—1—A/2B.1—C.A/2+1D.■x/z—1

r则可2。+高=

7.若coIsa+6—）

712712

A.B.——c.—D.

25252525

8.已知函数/(x)=/+62+bx+c(q,"°eR),若不等式/(x)<0的解集为｛x[x<7w+1,且xH机｝,则

函数/（x）的极小值是（）

144

A.一一B.0C.-----D.一一

4279

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在正方体48。。一481GA中，〃,N分别为eq,4，的中点，则（）

A.BM〃AD】B.AMLBDC.4河，平面Z8ND.2W〃平面幺田。

10.设Q〉b〉0,ceR,则()

A.a|c|>Z?|c|B.—«-------C.Q2-/<--------D.a+b<12(a2+b?)

1111aa+c2abYIJ

11.已知数列｛4｝满足%=4,%a,用=2"(“eN*),则()

A.%=1B.数列｛4｝为递增数列

D.11-±<3

C.。]+口？"I------+。2023=21013—3+++

O'।YI

12.已知函数/(X)=Q2X—Ma〉O,QWl),则下列结论中正确的是()

A.函数/(x)恒有1个极值点

B.当Q=e时，曲线y=/(%)恒在曲线y=lnx+2上方

1

C.若函数/(x)有2个零点，贝也<a<e"

D.若过点尸(0,7)存在2条直线与曲线y=/(x)相切，则0</<1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(41),3=(-1,2),若a与B共线，则1—,=.

14.写出一个同时满足下列两个性质的函数：/(x)=.

①/(七+》2)=/(匹卜/(》2)；②VxeRJ'(x)<0.

15.咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋.冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气

中冷却，如果物体原来的温度是，℃,空气的温度是经过t分钟后物体的温度为满足

，=4+(q-研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65C.现有一杯85℃的热水用来冲咖啡,

经测量室温为25℃,那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待分钟.(结果保留

整数)(参考数据：ln2«0.7,ta3«l.l,lnll«2.4)

16.在平面四边形4SCZ)中，AB=AD=42,BC=CD=1,BCLCD,将四边形沿AD折起,使AC=5

则四面体H-BCD的外接球O的表面积为；若点£在线段AD上，旦BD=3BE,过点E作

球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数/(x)=(1—2sin2"sin2x+；cos4x.

(1)求/(x)的最大值及相应x的取值集合:

(2)设函数g(x)=/(0x)(0〉O),若g(x)在区间上有且仅有1个极值点，求。的取值范围.

18.(12分)在△45C中，内角。所对的边分别为仇。，且tan4+tans=------.

acosB

(1)求角4：

(2)已知。=7,。是边的中点，且求4D的长.

19.(12分)已知数列｛4｝中，%=1,一_%=、/eN*.

I"J1n+\nJ+

(1)求数列｛%｝的通项公式;

4%

(2)设〃=(—1尸—J,求数列也｝的前"项和

a”?.,

20.(12分)已知函数/(x)=ax-a-lux.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

(2)证明：当a=l时，/(x)>0；

，2?、(2"-1、

(3)设加为整数，若对于++1+丁1H-------〈机成立，求庆的最小值.

3

kJ3,3"J

21.(12分)如图，48是半球O的直行，48=4,M,N是底面半圆弧蕊上的两个三等分点，尸是半球面

上一点，且NPON=60°.

(1)证明：PBL^PAM：

(2)若点尸在底面圆内的射影恰在ON上，求直线与平面尸48所成角的正弦值.

22.(12分)已知函数/(x)=L3.

JC

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)设a力为两个不相等的实数，且。犬一床°=e。一e"证明：e"+eO>2.

2024届高三第一学期期中质量监测

数学参考答案及评分建议

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案BDAACBAC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

题号9101112

答案BCBDACDBCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.—^―14.(答案不唯一")15.516.3^r,—

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.

17.【解】(1)/(x)=cos2xsin2x+；cos4x=；sin4x+；cos4x=sin+力,

当4%+工=2左左+工，即％=,上万+工，左eZ时，f(x)=,

42282

此时，x的取值集合为=；左"+(,左ezj>.

⑵g(x)=¥

sinAcox+—(g〉0).

I4

设1/=4妙+一，因为工£0,一，所以ME—,2©rd——

4I2)U4

因为g(x)在区间上有且仅有1个极值点,

所以工<2。万+工三红，

242

解得—<coG—.

88

■\l-3c

18.【解】(1)因为taiL4+tan5=-------,

acosB

,sirUsingV3sinC

由正弦定理得-----+-----=--；--------

cos/cosBsin?lcos5

广…SHL4COS5+COS/SHI5sin(4+5)smCV3smC

所以--------------------=——-------=----------=--；--------

cosAcosBcosAcosBcosAcosBSHL4cos5

因为0<C<兀,所以sinCw0,cosSw0可知taml二一百,

又因为0<N<〃，所以Z=2工.

3

(2)因为。是边8c的中点，所以

]IT1

故一AZQsin—=—,故6=2c.

262

2/rcI—

由余弦定理得/=b2+c2-2bccos——=b~+c2+be=7c2，故。=JTc，

3

因为。=7,所以c=出,b=25.

又因为彳万=4B+4C

2

---(-2----*2-------*--------*、「

—_AB+AC+2AB-AC_c2+b2+2Z)ccosl20°

\力倚z|AD|2—

所以画=/雪旦=孚.

故幺。的长为二一.

2

19.【解】(1)法一：因为上江—2=^——-

n+\nn[n+1)

所以4±L—_L,

〃+1nn〃+1

所以-土1=%±1,

〃+1n

所以是常数列，

所以五±1=&±1=2,

n1

所以%=2〃一1.

法二：因为巴⑷―%=/、

n+\n+

所以“4+1-(〃+1)4=1，①

所以(〃+1)%+2-(〃+2)4+1=1,②

②-①,得(〃+1)。“+2一(2〃+2)。"+1+(〃+l)a“=0,

所以4+2+4=2。用，

所以｛%,｝是等差数列,

由/I、得出=3,

〃+1n+

所以等差数列｛«„｝的公差d=%—%=2,

所以%=2n-l.

40_1\n-l~4r〃i_/_i\n-l11

⑵〃=(—1严-----1-----

aa〃

„„+i(2〃-1)(2〃+1)2//-12+1

当〃为偶数时，S.=(l+g11

+•••+------1-----1+」

142n—32n—\2n-l2n+l

,12n

=1---------=------

奇数时

11112n+2

H-----+-----1-----=1+

2/7-12n—\2〃+12〃+12n+l

2〃+2

，〃为奇数,

2〃+1

所以S,=<

2〃

，〃为偶数.

+1

20.【解】⑴导函数/'(x)==又/⑴=0,

X

所以曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为j=(«-l)(x-l),

即(q_l)x_y_Q+]=0.

(2)当Q=1时，/(x)=x-l-lux,x>0.

r(x)=i--=—

XX

令广(x)=0,解得x=l.

列表如下：

X(o」)1(1,+co)

/'(x)-0+

/(x)极小值/

所以当x=l时，/(x)取最小值/⑴=0,

所以/(x)20.

(3)由(2)可知，ln%<x—1,当且仅当x=l时，等号成立,

'r\n-\、2"T

所以In1+—<----，

3")3"

/2、(22>l(2吟12

In1+-+lnl+-r+ln1+—+••-+In1+----<-+—+•••+----

3jI32JI33JI3"J3323"

1——

_3〔3〃J2n

=1——<1

一,23"

所以+

当〃“时，。+#+力1+3,fi^>ii4——-

1+3"J+3+323"+27

1——

3(3")22"

1+2+=2+---------->2.

27,2273向r

所以对于任意〃+++](r\n-\、

1+—<m成立时，整数m的最小值为3.

I3〃)

21.【解】(1)连接OM,MN,BM,

因为”,N是底面半圆弧蕊上的两个三等分点,

所以有AMON=NNOB=60°,又因为OM=ON=OB=2,

所以AMON,ANOB都为正三角形,

所以MN=NB=BO=OM,

四边形OMNB是菱形，

记ON与切攸的交点为。,

。为ON和8儿f的中点，

因为ZPON=60°,OP=ON,

所以三角形OPN为正三角形，

所以尸。=G=所以「8J.PM,

因为尸是半球面上一点，48是半球O的直径，所以尸8，尸幺，

因为尸旧门尸4=尸，所以尸8,平面尸2/.

(2)因为点尸在底面圆内的射影恰在ON上，

由(1)知。为ON的中点，△OPN为正三角形，所以尸0，ON,

所以尸0，底面4S/,

因为四边形(WNB是菱形，所以MB，ON,

即MB、ON、尸。两两互相垂直，

以｛西,QN,QP\为正交基底建立空间直角坐标系Q-xyz,如图所示,

所以河方=(AO,-V3),Q?=(0,1,73),

设平面尸48的一个法向量为成=(%//),

,mOP=0,-fy+V3z=0,

则_所以厂厂

m-OB=0,[-V3x+y=0,

取X=l,则成=(1,G,—1)

设直线PM与平面PAB的所成角为e,

所以sin8=cos(尸应

故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为叵.