圆锥曲线复习第十六讲：图形问题4（解析版）

第十六讲：图形问题4

3【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊四边形的性质；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中四边形的几何特征，以及几何特征的代数转换；

拓展目标：能够熟练应用菱形，矩形，正方形的向量表示，并在平行四边形的基础上，增加相

关的垂直的向量或斜率表示.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、菱形

①一组邻边相等的平行四边形，是菱形，即可以翻译成等腰三角形，三线合一进行计算.

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以翻译用向量或斜率表示的直角关系.

2、矩形

①有一个角是直角的平行四边形，是矩形，即可以翻译成直角三角形，用向量和斜率进行直角关系的表示.

②对角线相等的平行四边形，是矩形，即可以翻译成两条弦长相等，利用弦长公式求解.

3、正方形

即满足菱形的要求，又满足矩形的要求进行求解.

if⅛【考点剖析】

考点一：菱形

22

、例1.已知椭圆C：=+2r=l(α>0>0),P(l,3),Q(3,l),M(-3,1),N(0,2)这四点中恰有三点

、a-b-

在椭圆C上.F

(1)求椭圆C的方程；

(2)点E是椭圆C上的一个动点，求划'面积的最大值;

⑶过R(0,l)的直线1交椭圆C于A、B两点，设直线1的斜率A〉0,在X轴

上是否存在一点D(m,0),使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在,

求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴二+匚1;(2)3+2√3;(3)W,0

1243

【详解】(I)因为Q(3,1),"(—3,1)关于y轴对称,根据题意以及I用圆的对称性可知，两点都在帽圆上,

Q1

即有/+屏=1成立.

1O

若尸(1,3)在椭圆上,则有力+本=1.

9I

-

+1

2F=1

«

得

可

联立＜I9a2=Z?2=10,不合题意，舍去.

1

-+F=1

2

«

所以，N(0,2)在椭圆上，即有微=1,所以〃=4,代入/+《T，可得"2=12.

f2

所以，椭圆C的方程为土+v二=1.

124

(2)要使一EAW面积最大，则应有点E到直线MN的距离最大.

由M(-3,1),N(0,2),可得直线MN方程为x-3y+6=0.

过点E作直线/,使得〃/脑V,则E到直线MN的距离即等于直线/到直线MN的距离.

显然，当直线/与椭圆相切时，距离为最大或最小.

则设直线/方程为x-3y+w=0,联立直线与椭圆的方程

fχ2∕,

--++----=1CC

«124可得，12y-6my+m~-12=0.

x-3y+m=0

因为，直线/与椭圆相切，贝ijA=(-6m)，-4xl2(相2-12)=-12(m2-48)=0,

解得，/〃=±4石.

则当〃?=-46时，此时直线方程为x-3y-4√5=0，与直线x-3y+6=0距离最大，此时

∣-4√3-62√3O+3√1O

a=.——L=---------------------

♦+(-3)25

又IMM=7(-3-O)2+(1-2)2=Tio,

2+3λ

所以.EMN面积的最大值为"=k√iθχ^ʌθ=3+2√3.

(3)设Aa,χ),B(x2,y2),假设在X轴上存在一点。(〃?,0),使得D4、OB为邻边的平行四边形为菱形.

因为直线/过R(O,1)点，则直线/的方程为y=H+l(A>O),

y=kx+↑

联立直线/的方程与椭圆的方程/√可得，(3⅛2*4+l)x2+6fo-9=0,

1124

Δ=(6⅛)2-4x(3公+1)×(-9)=36(4公+1)>0恒成立，

口6%—9j1j1

且,+W=-%—XIX2=1，yt=kxt+∖,y2=kx2+∖,

JK+I5k+1

Λ

所以X+%=MX∣+2)+2=-^ςT+2=^ςT,

3K+1DKI-1

则AB的中点坐标为J爵7,二一r],

I3Ar+l3⅛-+lJ

所以线段AB的垂直平分线方程为y-二一T=-7∣X+普71，

3K+1k∖3⅛+1√

显然该直线过点。(机0).

3k-2k

令y=0,则-∕n+,即m—

3J12+1k3r+13⅛2+l'

因为A>0,所以巾<0,==2√J,

kkNk

当且仅当弘=?时，即A=立时，等号成立.

k3

所以，411≥25所以-≤击，则/土=子，

所以m≥-正.即实数m的取值范围为-坐,0

33

22

变式训练设椭圆：∣方的左、右焦点分别为耳，椭圆的离心率为连接椭圆

1.cr+=Ig>b>o)F2,

的四个顶点得到菱形面积为4石.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点鸟作斜率为我的直线，与椭圆C交于M、N两点，在y轴上是否存在点P(0,m)使得以PM,

PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出加的取值范围，如果不存在，说明理由.

22Γ/ɜfΛ'

【答案】(1)—+—=1；(2)存在，一~°，TT-

4312JI12

【详解】（1）•・•椭圆离心率为连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4√L

1

e=-

2

.，・‹ɪr∕⅛×4=4>/3,

a1=b1+C2

∙.a=2,b—^∖[^,c=l,

故椭圆C的方程为：-+^=∖.

43

(2)[(1,0),设直线/的方程为y=Z(x—1),

将y=Z(x-l)代入?+：=1,

得：(3+4)t2)x2-8λr2x+4⅛2-12=O,

设Ma,X)，N(七,％),

贝IJXl+X2=y^p∙,乂+%=%(玉+々-2),

PM+PN=(xl+X2,JI+y2-2w),

因为以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,

所以(PM+PN)∙Λ∕N=0,

又MN=Q,k),

：.(xl+x2)∙l+(yl+y2-2m)-k=0,

当Z=O时，m≠0,上式恒成立，

k1

当AHo时，=i=二

QKH--

k

IMr

若火>o,则"一:^一法，当且仅当左=当时取等号，

k

所以0<〃?≤；

12

\、6f

若A<0,则"'一一，小，3「一方,当且仅当k=-正时取等号,

i+hd2

所以...-<m<0>

12

综上，加的取值范围为噜°∣u[0，用•

变式训练2.已知抛物线：尤2=2万(2>0)的顶点为0,焦点为F,准线为1,过点F的直线与抛物线交于

点A、B,且(FA+。尸)∙(FB+O尸)=-3.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线上一点P(非原点)作抛物线的切线，与X轴、y轴分别交于点M、N,PHA.I,垂足为H,求

证：四边形PFNH为菱形，

【答案】⑴f=4y；

(2)证明见解析.

【详解】⑴设直线AB方程为y=H+5,A(xl,y1),B(x2,y2),

f=Ipy

2

由《〃，得f-2kpx-p=0f

I2

2

所以X+x2=2kp,xix2=-p,

(FA+OF)∙(FB+OF)=OA-OB=xlx2+yly2=Λ1x2+(Ax1+-^)(Ax2+-ɛ)

22222

=(l+⅛)x1x2+∙γ(x1+x2)+-^-=-(∖+k)p+kp÷-^-=-3,解得p=2,

所以抛物线方程为d=4y；

⑵焦点为尸(0,1),准线方程是y=-1,设P(%,y°),则H(XO,-1),焉=4几，

y211

由/=4)，，即y=丁，y'=-X,所以AMN=彳*0，

422

切线方程为y-%=gχt)(χ-χo),

-rr-r-j-

令x=0得y*=yo~∙o=~∙o--o=-⅛=Λ，

因此∣∕W∣=l+%=pM,又FNilPH,所以刊WH是平行四边形，

而仍产I=IPM,所以四边形PFM7是菱形.

变式训练3.在平面直角坐标系XOy中，双曲线/-2丁=2的左、右两个焦点为线、F2,动点P满足

IP周+附∣=4.

(1)求动点P的轨迹E的方程;

(2)设过户2且不垂直于坐标轴的动直线1交轨迹E于A、B两点，问：线段。骂上是否存在一点D,使得以

DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)E+V=1;

4-

(2)存在，理由见解析.

2

【详解】⑴由题意得：y-y2=l,所以川-百,0),∕s(√3,θ),而归附+附卜4>2技故动点P的轨

迹E的方程为以点写、心为焦点的椭圆方程，由勿=4得：α=2,"=4-3=1,所以动点P的轨迹E的方

2

程为工r+>2=1；

4-

⑵存在，理由如下：

显然，直线1的斜率存在，设为X=my+ʌ/ɜ(m?0),

联立椭圆方程得∙∙M+4"+2圆…=。，设A(S),5(3),则χ+%=一聋"「上

要想以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，则点D为AB垂直平分线上一点，

其中十=一离’…=Mi)+2层一常+2庠罟‘则空=若’故AB的中

(4招尿1则AB的垂直平分线为：y+∖粤=Fl

点坐标为2

I+4*An+4jI"得:X禹

且无论加为何值,X=0,,点D在线段。5上，满足题意.

考点二：矩形

［、■!例1∙从抛物线C：Y=2py(p>0)外一点作该抛物线的两条切线PA、PB(切点分别为A、B),

分别与X轴相交于C、I),若AB与y轴相交于点Q,点M(Λ0,2)在抛物线C上，且IMFl=3(F为抛物线的焦

点).

(1)求抛物线C的方程;

(2)①求证：四边形PCQ。是平行四边形.

②四边形PCQO能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】⑴x2=4y;(2)①证明见解析；②能，(0,1).

【详解】(1)因为∣MF∣=2+∙^=3,所以。=2,即抛物线C的方程是χ2=4y.

(2)①证明：由Y=4y得y=宁，y=去设A不千)，

则直线PA的方程为y-¥=^(Xf)(i),

则直线PB的方程为y-立=强(x-z)F)，

由(i)和(ii)解得：犬=与三，y=竽，所以PEL芥,竽).

设点Q(0"),则直线AB的方程为y=履+f.

X2=4y

由<得d—4心:一4r=0,则九|+%=4%,4花=-4*

y=κIx+t

所以P(2匕T),所以线段PQ被X轴平分，即被线段CD平分.

在①中，令N=O解得x=5,所以c[5,θ],同理得θ[5,θ),所以线段CD的中点坐标为(三芳∙,θ),即

(«,0),又因为直线PQ的方程为y=-1x+f,所以线段CD的中点(我,0)在直线PQ上，即线段CD被线段PQ

平分.

因此，四边形PCQO是平行四边形.

②由①知，四边形PCQO是平行四边形.

若四边形PC。。是矩形，则IPQl=I3，即

222

y∣4k+4t=Ja；)I=ɪJ(Xl+X2Y-4x∣T=ɪΛ∕16⅛+16Z，

解得f=l,故当点Q为(0,1),即为抛物线的焦点时，四边形PC。。是矩形.

变式训练1.已知抛物线UV=4x,O为坐标原点，过焦点厂的直线/与抛物线C交于不同两点A,B.

⑴记V4F0和VBFO的面积分别为LS?,若邑=2R，求直线/的方程；

(2)判断在X轴上是否存在点M,使得四边形OAMB为矩形，并说明理由.

【答案】⑴4x±√Σy-4=0;

(2)不存在，理由见详解.

【详解】(1)设直线/方程为x="+l,A(Λ1,yl),B(Λ2,y2)

y2_Ay

联立.一',消去X得y2-4(y-4=0,

IX="+1

得y+%=4r①，Xy2=~4②，

又因为$2=21，贝∣J%=-2χ③

由①@③解得f=±变，

4

即直线/的方程为x=±也y+l,BP4x±√2y-4=0

(2)假设存在点M,使得四边形OAMB为矩形，

则。W,AB互相平分

所以线段AB的中点在X上，则AB上X轴，

此时4(1,2),3(1,-2)

Woe=-4≠~1

则OA_LOB不成立.

故在X轴上不存在点M,使得四边形OAMB为矩形

变式训练2.已知抛物线U∕=4y,过点P(0,,")(w>0)的动直线/与C相交于AB两点，抛物线C在点A

和点B处的切线相交于点。，直线AQ，BQ与X轴分别相交于点E,F.小,o∙

(1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；

(2)求证：点。在直线了=一他上；^^^AT^

(3)判断是否存在点P,使得四边形PEQ尸为矩形？若存在，求出点P的坐'

标；若不存在，说明理由.'y

【答案】(1)焦点坐标为(0,1)，准线方程为y=T∙(2)证明见解析(3)P(OJ)

【详解】⑴焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-l；

(2)由题意，知直线/的斜率存在，故设/的方程为y="+"],

y=kx+m

由方程组得x?-4kx-4m-0由题意,得4=16/+16,">0,

X2=4y

设A(χ,y∣),B{X2,%)，则xi+x2=4k,xlx2=-4m,

由导数几何意义得切线斜率

2

所以抛物线在点A处的切线方程为y-→l=→1(ɪ-ɪ,),

化简，得y=g中-%:…①

同理，抛物线在点3处的切线方程丫=3々％-;考…②

联立方程①②，得]χ∣χ-w*∣2=,∙r2X-Z

即；(再-j⅛)x="芭一々)(芭+%)，-ɪi≠⅞∙-∙x=∣(^ι+¾)>

代入①，得y=%R=τ",所以点QyL产,τj,即。(2%,-加)，

所以点。在直线y=-m上；

(3)假设存在点尸，使得四边形PEQ尸为矩形，

由四边形尸EQ尸为矩形，得EQMQ,即AQLBQ,

所以“AQ=-L即万%，万工2=一1,由(2)得ZXIX2=Z(—4m)=一1，

解得机=1,所以P(0,l);

以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可,

在①中，令y=o,得E(gx“o

1-0

同理得p(gx2,θ),所以直线EP的斜率为原户

_0-(-1)_-2

直线FQ的斜率为KFQ~1玉+X,-%

一X)---------二'

2-2

所以%，=跖2,EPHFQ,

同理尸F//EQ,

所以四边形尸EQF为平行四边形.

，存在点尸(0,1),使得四边形PEO尸为矩形.

变式训练3.已知椭圆C：*∙+∕=l("＞人＞0)的左、右顶点分别为A-B,点M是椭圆C的上顶点，且

MA∙MB+3=0,∣M4∣=√5∙

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知08=200,其中O为坐标原点，过点D的直线/与椭圆C交于E,G两点，点H在椭圆C上，探究:

是否存在直线/,使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴《+y2=l

4

⑵不存在，理由见解析

【详解】(1)由于AH,"分别为椭圆的左右顶点以及上顶点，所以A(TZ,θ),8(0θ),M(O/)，

M4=(-6Z,-⅛),Λ∕β==(^-⅛),.∙.M4∙MB+3=-fZ2+⅛2+3=0,

X∣Λ∕A∣=yja2+h2=5/5，

解得:cr=4,Z?2=1,

所以椭圆方程为：—+/=1

4-

(2)由08=200得θ(g,θ),即D(1,O),

当直线/无斜率时，即直线方程为：x=l,

若四边形OEHG为矩形，由椭圆的对称性可知：3=∣OG∣,则四边形OEHG为正方形，则4釜J,即E(l,l)

此时将点E(Ll)代入椭圆方程中得;+1*1,故四边形OEIlG不能构成矩

形，不满足题意，

当直线/有斜率时，则设/方程为：y=Z(xT),

y=⅛(x-l)

2222

联立＜χ2=＞(l+4⅛)x-8⅛x+4⅛-4=0,

14,

设EaMMM'所以%+X?=τ⅛f=去?

设EG的中点为。,则。(詈'岩),即Q[7⅛'1⅛]

I

(XI(-Ok、

若四边形OEHG为矩形，则。也是QH的中点，因此+x,,%+%),即〃--v,7-τ,

v,11+4公1+4A:J

/0122kʌ(8々)

故HTF,三不在椭圆上，故11140(-2kY,化简得：4V+l=0,显然方程无解，故四

11+4《l+4⅛-∖---------^-+--------=I

、74U+4⅛2J

边形OEHG不能构成矩形，

综上可知：不存在直线/,使得四边形OEHG构成矩形，

考点三：正方形

IYl例L已知点(Ol)是椭圆邑5+.=l(α">°)一点，且椭圆的离心率为半∙

(1)求此楠圆E方程；

(2)设椭圆的左顶点为Λ,过点A向上作一射线交椭圆E于点B,以AB为边

作矩形ABCD,使得对边CD经过椭圆中心0.

(i)求矩形ABCD面积的最大值；

(ii)问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，

请说明理由.

【答案】⑴二+《=1;

62

(2)(i)2√3；(ii)y=x+√6.

2c2.b22

e=—=1--7=-

a

【详解】(1)令椭圆半焦距为c,依题意，厂，解得层=6,/=2,

(√3)∖1,,

所以椭圆E的方程为：—+^=1.

62

(2)⑴由⑴知,A(-√6,0),设直线AB的斜率为>0,则直线AB的方程为：y=fc(x+√6),

由消去y并整理得：(3公+11+6向以+18公-6=0,点A的横坐标XA=

则点B的横坐标XB有：XES=喀心，解得_(3f-∣),

3k+13k+1

则有IABl=JiTFlXA-/∣=旭如已，因矩形ABCD的边CD过原点0,则|8Cl=-^τ,

λB3⅛2+l√l+fc2

S=IABIIBCI=^^-=-^~Γ≤-⅛==2√5ɪ

因此，矩形ABCD的面积3Λ2+1,ɪC「二丁，当且仅当弘=丁，即Z=W•时

%2Flk3

取“=”,

所以矩形ABCD面积的最大值是2√L

(ii)假定矩形ABCD能成为正方形，贝"ABI=IBC由(i)知：述事”二善^,

3⅛2+l√i7F

整理得：3∕-2^+k-2=0,即伏一1)(3公+&+2)=0,而3?+k+2∙0,解得/:=1,

所以矩形ABCD能成为正方形，此时，直线AB的方程为y=x+√K.

变式训练1.已知椭圆尸：4+4=1(a>Z?>0)的左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为走,

a2b22

坐标原点。到直线MN的距离为酒.

7

(1)求椭圆户的方程；

(2)已知正方形ABC。的顶点A、C在椭圆P上，顶点8、O在直线7x-7y+l=0上，求该正方形ABC。的

面积.

【答案】(1)《+亡=1

43

⑵巡

49

a2

【详解】(1)由题意，得

ab_2Λ∕21'

√?+y二k

4=2γ-y2

解得b=E即椭圆户的方程为M=L

(2)因为ABCD是正方形，所以对角线AClBD

y=-x+m

设直线AC为y=-χ+”?,联立

3√+4√-12=0'

得7X2—Smx+4W2-12=0»

由A>0得-J7<m<J7,.设A(Λ1,y),C(x2,y2),

,∣864/W2-12

则mX+∙x2=^y，χ]'x2=-----------

X+%=一(％+xz)+2∕%=宁.

4m3m

所以的中点的坐标为

ACM^7~,T^

由于正方形的对角线平分，所以点M在直线上,

变式训练2.已知椭圆6:，3=1(。＞。＞0)过点(0,1),且离心率为弓.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设直线/:y=gx+〃?与椭圆E交于A、C两点，以Ae为对角线作正方形A8C。，记直线/与X轴的交点

为N,问8、N两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

【答案】⑴二+丫2=1；

4'

⑵迎.

2

【详解】(1)设椭圆的半焦距为c,显然点(0,1)在椭圆E上，即6=1,

椭圆E的离心率e=£="，一"=ʃɪH=",解得α=2,

aaNCr2

所以椭圆E的方程为：E+y2=ι.

4

1

y=—χ-∖-m

(2)设A(XI,y∣),C(χ2,y2),由；2消去y并整理得：V+2〃比+2/一2=0,

X2+4y2=4

由A=(2m)2-4(2"∕-2)=8-4"∕＞0,可得-夜＜,〃＜也，

2

则有为+%2=-2m，X1X2=Im-2,弦AC中点为Λ∕(-m,Q∕π),

2222

有IACI=Jl+(∣)∙λ∕(xl+x2)-4x1x2=ɪ■√(-2W)-4(2W-2)=JlO-5疗,

又直线/与X轴的交点N(―2肛0),贝IJlMNI=J(-m+2m)2+(^∕n)2=,

当mwθ时，正方形ABCD中，NBMN=90,则有I8N『=|8M『+∣MNI?=JACi2+|MN『=∣,∣BN|=半,

当Tn=O时，点M,N重合于原点O,IBN∖=,

所以8、N两点间距离为定值叵.

2

变式训练3.已知A,B,C是抛物线W：丁=©上的三个点，D是X轴上一点.

(1)当点B是N的顶点，且四边形ABCD为正方形时，求此正方形的面积;

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形ABCD是否可能为正方形，并说明理由.

【答案】(1)32；(2)不可能，理由见解析.

【详解】(1)当点B是W的顶点时，设4C与80相交于点。，则OC=O3,

假设点C在X轴上方，则C的坐标为(x(∙,x,),

代入抛物线方程得毛=4,此时正方形的边长为βC=4√2,

所以正方形的面积为(4√Σ)2=32.

(2)四边形ABCD不可能为正方形.

当点8不是W的顶点时，直线AC的斜率一定存在，设其方程为)，=丘+〃?,

A、C坐标分别为(占，北)，(工＞y2),

)4*,则22f+(2km-4)x÷AΠ2=O,

联立

y=kxΛ-m

4-2km

ɪ!+%)=一万一

2k24

所以)，y↑+y=K×↑+χ)+2m=-,

m22k

3=Ir

因此，AC的中点M的坐标为(营,j,

IACl=加两…I=叵亚Ξ巫

若四边形ABCO为正方形，则的中点也是M,

,cACK

因为点。在X轴上，所以%=0,所以%=2χ提=。，

KK

代入y2=4x,得XB=1，即3("),

4_2

所以ɪ=τ¾=⅛f

落k

化简得2公+5ι+2=0,①

MTM=2符!叼ψ=产声遐、2,

因为IACI=IBD\,所以(1+公)(16-16攵帆)=4(4+4/勿+攵262+4Λ2),

化简得8+4〃+k〃=0,②

由①@得，二+3=0,k无解,

故四边形ABCo不可能为正方形.

O【当堂小结】

1、知识清单:

(I)椭圆，双曲线，抛物线简单性质；

(2)圆锥曲线中，特殊四边形翻译，即菱形，矩形和正方形的向量，斜率表示:

2、易错点：简单性质的计算，特殊图形的向量的应用：

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

O【过关检测】

γ2Q

1.已知动点C是椭圆C：一+>2=l(α>l)上的任意一点，AB是圆G：/+(y-2)2=:的一条直径(A,B

a4

31

是端点)，C4C8的最大值是一.

4

(1)求椭圆。的方程;

(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点耳,鸟，过点心且与X轴不垂直的直线1交椭圆Ω于P,Q两点.在

线段。入上是否存在点M(m,0),使得以MP,M。为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范

围；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴(→y2=];⑵存在,(θ,∙∣).

【详解】(1)设点C的坐标为(χ,y),则£+丁=1,

a

由C4=CG+GA,C8=CG+GB=CG-GA,又G(0,2),

2、2Q

可得CAlCBCG-GA=x2+(y-2)2--

4

a7

=”(l-y2)+(y-2)2--=-(α-l)y2-4y+a+-,其中ye[T,l].

4

因为。>1,故当y=∙^~-?1,即1<°?3时，

2(1-a)

727

取y=-l,得C4∙CB有最大值-(αT)+4+α+τ=-,与条件矛盾；

44r

44(1—ɑ)liz+-|—16

当~7>-1,即4>3时，CA∙C8的最大值是I4),

2(1-a)----------------------

4(1-a)

4(1—62)1tz÷ɪI—16

由条件得I4J=31,即4-7α+10=0,解得。=5或〃=2(舍去).

4(1-a)-4

综上所述，椭圆。的方程是q+y2=ι.

(2)设点Pa,M),Q(%,必)，PQ的中点坐标为(X0，%)，

则满足鸟+犬=1,g+只=1,两式相减，整理得*5F=-ττE⅛τ=一言，从而直线尸。的方程为

ψ3

55A2-X1ɔV72Zl/ZO

ʃ-ʃoɪ-ɪ(ɪ-ɪo),又右焦点尸2的坐标是(2,0),

将点尸2的坐标代入PQ的方程得一%=-U(2-X。)，

因为直线1与X轴不垂直，故2x0-x；=5y：=0,从而0<x0<2.

假设在线段。工上存在点M(∕∏,0)(0<m<2),使得以MP,M0为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ的垂

直平分线必过点M,而线段P0的垂直平分线方程是y-%=9(χ-χ°),将点M("2,O)代入得

一%=”(加一/),得w=*∙⅞,从而me(°,∙∣].

2.已知椭圆C：5+4=1(〃>6>0)的左、右焦点分别为点片，F2,其离心率为:，短轴长为2后.

ab^Z

(1)求椭圆C的标准方程:

(II)过点K的直线L与桶圆C交于〃，N两点，过点尸2的直线(与椭圆C交于尸，Q两点，且“〃2,证

明：四边形MNP。不可能是菱形.

ɔ2

【答案】⑴—+ɪ-ɪl:(2)见解析.

43

【详解】(1)由已知，得£=!，。=石,

a2

Xc2=α2-⅛2,

故解得a?=4,/=3,

所以椭圆C的标准方程为工+片=1.

43

(2)由(1),知6(-1,0),如图，

易知直线MN不能平行于X轴.

所以令直线MN的方程为χ=∕nyT,

例(大，X)，N(X2,y2).

[3X2+4√-12=0,

联立方程，，

x=my-l,

得(3〃/+4)，_6冲_9=0,

rrιu6"?-9

所以y%=a2〉.

3加+43m+4

此时IMNl=J(]+M)[(y+yj-y%]>

同理，令直线PQ的方程为χ=my+ι,

/玉,%)，Q(X4，”),

,-6m-9

此时为+为=丁771，%%=22”，

3777+4+4

22

此时IP@=^(l+∕ra)[(y3+y4)-4y3γ4].

故IMNl=IP。.

所以四边形MNPQ是平行四边形.

若.MNPQ是菱形，则QM_LON,即OMQN=O，

于是有XIX2+NM=°∙

又平2=(/«>'-l)(wzy2-l),

=加2乂必一帆(弘+)‘2)+1，

所以有(M+ι)χ%-m(y+%)+ι=0,

整理得到二ɪ竺二ɪ=O,

3w^+4

即12/+5=0,上述关于"，的方程显然没有实数解,

故四边形MNPQ不可能是菱形.

3.已知椭圆uW+W=l(">8>0)的左、右顶点分别为A，4,上、下顶点分别为四，B,,四边形4百4B?

Crb-

的面积为46,坐标原点。到直线Aa的距离为5日.

(I)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C上一点尸作两条直线分别与椭圆C相交于点A,B(异于点尸)，试判断以。尸和AB为对角

线的四边形是否为菱形?若是，求出直线AB的方程；若不是，请说明理由.

【答案】(1)—+^=1；(2)四边形OAPB能为菱形，此时直线A3的方程为x=±l,或、=±且.

432

【详解】解：(1)直线ABl的方程为-2+g=l.

ab

2a⅛=4√3,

12/—1〃=2,

由题意可得I=4√ΣT,解得,r-

∏I7[b=y∣3.

,√ςΓ+⅛I

所以椭圆C的方程为工+《=1.

43

(2)当直线AB的斜率不存在时，若平行四边形OAPB为菱形，则尸为左顶点或右顶点，

此时直线AB的方程为x=±L

当直线A3的斜率为O时，若四边形加石为菱形，则点P为上顶点或下顶点，此时A8的方程为y=±*∙

当直线A3的斜率存在时，设A8:y=Ax+n?(AWO),A(Λ,,J∣),β(j⅛,y2),

£12_

联立｛43^=1'可得(4标+3)/+8切吠+4w?-12=0,

y=kx-∖-m,

贝JIA=48(4公-∕√+3)>0,

所以%+W=-^r^,x∕2=4/+3，乂+%=人(4+々)+2〃?=^7^.

若四边形。APB为菱形，

所以O4+O8=OP,所以点P-,,)”，，

I4%-+3Ak-+3J

所以直线OP的斜率后.=-三3.

4k

所以h(-J∙]=-,W-l,这与匕W∙2OP=7矛盾.

I4AJ4

所以四边形。4必不能是菱形.

综上，四边形04PB能为菱形，此时直线A8的方程为x=±l,或y=±乎.

4.已知过椭圆方程1+V=I右焦点F、斜率为&的直线/交椭圆于「、。两点.

(1)求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；

(2)当直线/的斜率为1时，求APOQ的面积；

(3)在线段。尸上是否存在点M(m,0),使得以MP、MQ为邻边的平行四边

形是菱形？若存在，求出用的取值范围；若不存在，说明理由.

71

【答案】(1)2；(2)-；(3)存在，Q<m<-.

【详解】(1)由椭圆方程]+V=l得/=24=1,贝Ue?="-/=1,

所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积

S=-×2b×2c=-×2×2=2;

22

(2)右焦点尸(1,0),直线/的方程为y=χ-ι,

设P(XI,y∣),Q(x2,y2),

y=x-l

由,W得3V+2y-l=0,

—+y-=1

12

解得y=-1,必=g，

2

所以S△/w=g∣»∣∙∣y-

'43

(3)假设在线段QF上是否存在点"(m,0)(0<%<D,

使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形,

因为直线与X轴不垂直,

所以设直线/的方程为y=Mχ-i)(Xwθ),

y=&(X-I)

由,*2，可得(1+2^)/-4尸X+2%2-2=0,

——+y=1

12J

4/2k1-2

所以∣

x+x2=\+2k2'X'X2~↑+2k2

设PQ中点为D(X0,>'0),则MDlPQ,

2k2

，一

2^∖+2k2%=%(XoT)=1+2*2

2k2

即D(

l+2k2,~∖+2k2)，

1+2公ɪ

且一一2/(1-2

l+2⅛2

整理得公(1-2⑼=利，关于k的方程有解,

所以(1-2加)机>0,0<m<-.

2

所以满足条件的点M存在，且用的取值范围是O<，〃<g

5.己知抛物线C:/=4)，的焦点为F,准线为1.设过点F且不与X轴平行的直线m与抛物线C交于A,B两

点，线段AB的中点为M,过M作直线垂直于1,垂足为N,直线MN与抛物线C交于点P.

(1)求证：点P是线段MN的中点.

(2)若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q,问是否存在直线m,使得四边形MPQF是有一个内角为60。

的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，X-石y+√5=0或x+√5y-G=0.

【详解】(1)证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0,故设直线m的方程为y=履+1(4H0),

代入尤2=4y,并整理得x2-4for-4=0.

所以4=16公+16>0，设A(Xl,y∣),β(x2,y2),则x∣+%=4k,xlx2=-4.

设材(不，几)，贝=%=A¾+I=23+I,即M(2k,2^+1).

由MNjJ,得N(2MT),

所以MN中点的坐标为(2七公).

将x=2Z代入f=4y,解得y=&2,则PR%,/),

所以点P是MN的中点.

(2)由f=4y,得y=—,贝∣Jy'=土，

42

所以抛物线C在点P(2A,%2)的切线PQ的斜率为k,

又由直线m的斜率为k,可得利〃P。；

又“v〃y轴，所以四边形MPQF为平行四边形.