2021高考数学一轮复习专项突破 新高考·新题型

专项突破新高考,新题型专练

一、多项选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

1.已知集合/W={0,l,2},/V={x|k-l区1},则（）

A.M=NB.A/9MC.McN=MD.（CRM）UA/=R

2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是（）

A.复数z="的虚部为③

1-i2

B.复数2=绚的共轨复数2=-5-2i

-i

C.复数z=1-工i在复平面内对应的点位于第二象限

22

D.若复数z满足工WR，则ZWR

Z

.采购经理指数（简称PMI）是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监

测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上，通常反映制造业总体扩张，低于50%,通常反

映制造业总体衰退.如图1-1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图，下列

说法正确的是（）

制造业PMI（经季节调整）

图1-1

A.大部分月份制造业总体衰退

B.2019年3月制造业总体扩张最大

C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长

D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点

4.已知函数/仇）=片/?上则下列结论中正确的是（）

A./（-2）=4

B.若/（m）=9,则m=±3

C./（x）是偶函数

D./（x）在R上单调递减

.已知（ax2+，）n（a＞。）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和

为1024,则下列说法正确的是)

A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含xi5项的系数为45

.已知向量a=(i,2),b=(m,i)(m<0),且满足b-(a+b)=3,则()

A.|b|=V2

B.(2a+b)n(a+2b)

c.向量2a-b与a-2b的夹角为工

4

D.向量a在b方向上的投影为它

5

7.已知函数/(x)=sin(2x-4,下列结论正确的是()

6

A./(x)的最小正周期是TI

B/(x)=I是的充分不必要条件

22

C.函数/(x)在区间(今期上单调递增

36

D.函数片|/(x)|的图象向左平移二个单位长度后所得图象的对称轴方程为*=、(卜£2)

124

8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A=｛第一个四面体

向下的一面出现偶数｝，事件B=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝，事件C=｛两个四面体向下

的一面同时出现奇数，或者同时出现偶数｝.则下列说法正确的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)

B.P(AB)=P(AC)=P(BC)

C.P(ABC)=I

8

D.P(4)P(B)P(C)=1

8

匚已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时,/(x)=(x-2)ex,则下列结论正确的是()

A./(x)>0的解集为(-2,0)U(2,+8)

B.当x<0时,/(x)=(x+2)e-x

C./(x)有且只有两个零点

D.W1,X2G[1,2],|/(XI)-/(x2)|<e

10.设圆A：X2+y2-2x-3=0,则下列说法正确的是()

A.圆A的半径为2.

B.圆A截y轴所得的弦长为2后

C.圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为1

D.圆A与圆B：X2+y2-8x-8y+23=0相离

1.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角，且c-b=2bcos4则下列结论中正确的是

()

A.O2=b(b+c)B.A=2BC.0<cos>4<1D.0<sinB<-

22

设/'(x)是函数/(x)的导函数，若/'(x)>0,且以"2£口廿1%),/仪1)+/仪2)<2/”料，则下

列各项中正确的是()

A./(2)</(e)</(n)

B./'⑺寸’(e)寸，⑵

C/'⑵寸⑶-/⑵寸’⑶

D.f'⑶寸⑶-/⑵勺,(2)

3.已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，｛4｝是公差不为0的等差数列，且。2=%，。8=4，则

()

Aq叫B.a<bsC.a<b4Dg泡

［2020山东省统考］如图1-2,正方体ABCD-人力©4的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1

的中点，贝U()

A.直线D±D与直线AF垂直

B.直线A±G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为a

8

D.点C与点、G到平面AEF的距离相等

已知矩形ABCD,AB=1,BC=V3,^AADC沿对角线AC进行翻折，得到三棱锥D-ABC,则在翻折

的过程中，下列结论正确的是()

A.三棱锥。-ABC的体积的最大值为1

3

B.三棱锥D-ABC的外接球的体积不变

C.三棱锥ABC的体积最大时，二面角。-AC-B的大小是60。

D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90°

6.已知椭圆或+还=1上有A,B,C三点，其中B(l,2),C(-l,-2),tanZa4C=Z则下列说法正确的是

362

()

A.直线BC的方程为2x-y=0

8鼠=；或4

C.点A的坐标为(-1㈤

99

D.点A到直线BC的距离为空

9

：11

7.在数列｛4｝中々］=1,£?2=2,。3=3,。“+3+(-)"%+『1(=£^)，数列｛。/的前n项和为S〃则下列结论

正确的是()

A.数列｛。｝为等差数列B.o=10C.a.7=3D.S,=146

过抛物线y2=3x的焦点f的直线与抛物线交于4*必)(丫1>0)乃他％)两点，点A,B在抛物线

准线上的射影分别为直线A0交准线于点M(0为坐标原点)，则下列说法正确的是

()

A.OAOB=0B.ZA.FB=90°C.直线MBllx轴D.|AF|“BF|的最小值是义

114

二、双空题.

9.已知函数g(x)=2sin[3(x+L)](3>0)的图象是由函数/(x)的图象先向左平移■单位长度，再

126

将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若/(x)的最小正周期为兀,

则/(x)=；若函数/(X)在区间[0,可上单调递墙在区间区可上单调递减则实数3的

663

值为.

如图1-3，在平面四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD上的点,△DEf为等边三角形,CE=^,

且NABC=w，AE=VT5AF=3,贝!]AC=,△ABC面积的最大值为.

3

[2020长春市第一次质量监测]已知数列｛4｝的前n项和为S”满足-:，且

a+a=」一("£N*)/ij5=_________,

"n+1n2+2n2n-------

an=--------

[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线X2-必=1的右焦

3

点尸2重合，则抛物线的方程为________________；P为抛物线和双曲线的一个公共点则点P与

双曲线左焦点F]之间的距离为.

设函数/(x)(xeR)的导函数为/'(X)/(0)=2020,且/'(x)=/(x)-2,则/(x)=,/

(x)+4034>2/'(x)的解集是.

如图1-4,在棱长均为3的正四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PB,PC,PD上异于端点的

点,且平面EFGH与平面ABCD平行,S为AC和BD的交点，当四棱锥S-EFGH的体积最大

时产=此时四棱锥S-EFGH外接球的表面积为_______.

PA

答案及解析

1.CD由|x-1区1得。女42,即N=[0,2],又/W={0,l,2},所以/WC/V=M,/WQV,(CR/W)UN=R，故选CD.

2.ABD对于A,Z=3=a+?i)°+D=-1+百，其虚部为当故A正确；

1-i(l-i)(l+i)222

对于B,z=3=(2+5i)i=-5+2i,故5=-5-2i,故B正确；

-i

对于c,z=i-』在复平面内对应的点的坐标为G，n,位于第四象限故c不正确；

2222

对于D,设z=a+bi(a,b£R),则工=」-=，又工WR,则b=0,所以z=a£R,故D正确•

za+bia7+b2z

故选ABD.

3.ABD根据折线图可知，大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最

大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月

的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.

4.AD由于-2<0,所以/(-2)=(-2"=4,故A选项正确;由/(m)=9>0知mVO,且rm=9,因此m=-3,

故B选项错误;由/(x)的图象(图略)可知/(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项错误,D选

项正确.故选AD.

5BCD因为(ax2+4n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C4=C6,解得

\Jxnn

"=10.因为展开式中各项系数之和为1024,所以令x=l,得(a+l)io=l024,解得a=l.故给定的二项

式为(X2+工)io,其展开式中奇数项的二项式系数之和为工X2io=512,故A不正确,由n=10可知二

V%2

项式系数最大的项是展开式的第6项，而(X2+十)1。的展开式的系数与对应的二项式系数相等,

V%

故B正确.展开式的通项公式为小=年科2)10一卜(尹=呼/20一虫卜=0,1,2,...,10),令20-胆0,解得

k=8,即常数项为第9项，故C正确.令20-：=15,得k=2,故展开式中含X15项的系数为Qo=45,故

D正确.故选BCD.

6.AC将a=(l,2),b=(m,l)代入b-(a+b)=3,得(m,l)-(l+m,3)=3,即m2+m=0,解得m=-1或m=0(舍

去)，所以b=(-1,1),所以|b|W(-i)2+12=故A正确;因为2a+b=(i,5),a+2b=(-1,4),1x4-(-

1)x5=930,所以2a+b与a+2b不平行，故B错误;设向量2a-b与a-2b的夹角为仇易知2a-

b=(3,3),a-2b=(3,o),所以cos也-2G=&所以e=%故c正确;向量a在b方向上的投影为

\2a-b\\a-2b\24

心=-L=&故D错误.故选AC.

\b\一22

7.AD对于A,由最小正周期丁=迎=红=rt知A正确；

0)2

对于B,由f(x)i得2x-工=2日+工(keZ)或2x-匕桁+皿卜=),即x=kK+MkeZ)或x=kii+工(k£Z),

2666662

可知/(x)=3是X=n的必要不充分条件,B不正确；

22

对于C,由11Vx<8得n<2x-口<可因为片sinx在(三E)上单调递减，故C不正确；

3626222

对于D,y=|/(x)|的图象向左平移H个单位长度得片|sin［2(xl)-叫=|sin2x|的图象，由片|sin

12126

x|的图象的对称轴为直线x=s(k£Z)得y=|sin2x|的图象的对称轴为直线x=3(k£Z),D正确.

24

故选AD.

8.ABD由古典概型的概率计算公式得P(A)=P(B)=2=i,P(C)="a.=工,所以P(A)=P(B)=P(C)jA

424x422

正确;P(A)P(B)P(C)i，D正确；

8

而事件A,B,C不可能同时发生，故P(ABC)=0,所以C不正确;又p(AB)="=工,(4。=包=

4x444x4

i,P(BC)=z^=J■，所以P(AB)=P(AC)=P(BC),B正确.故选ABD.

44x44

9.ABD当x>0时,/(x)<0的解集为(0,2),/(x)>0的解集为(2,+8),由/&)为奇函数可知选项A正

确;当x<0时/(x)=-/(-x)=-(-x-2)er=(x+2)e.x,选项B正确;当x>0时,x=2为/(x)的零点又/(x)

是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0/(-2)=0,故/(x)有且只有三个零点选项C错误;当x>0时/

,(x)=(x-l)ex,故/(x)在［1,2］上单调递墙所以/(x)m；/⑴二.e,/仪人乂=/⑵割所以1/⑷-f

(X2)l9(x)max-/(x)mm=e，选项D正确.故选ABD.

【易错警示】~求解本题时,一定要注意奇函数在x=0处有定义时/(0)=0.

10.ABC把圆A的方程X2+y2-2x-3=0化成标准方程，为(x-1)2+必=4,所以圆A的圆心坐标为

(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2X皿=26力正确;圆心(1,0)到直线3x-

4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x-4y+12=0的最小距离为3-2=1,C正确;易知圆

B：x2+y2-8x-8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据-(4-1)2+42=5可知，圆A与圆B相切,D错

误.故选ABC.

11.ABD因为c-b=2bcosA,所以由余弦定理得c-b=2b足珥所以c(c-b)=b2+c2-。2,整理得

2bc

Q2=b(b+c),故A选项正确;因为c-b=2bcosA所以由正弦定理得sinC-sinB=2sinBcosA即

sin(Z+B)-sinB=2sinBcosA所以sinAcosB-sinBcos>4=sin8,即sin(Z-B)=sin8,由于C是钝角,

所以A-B=B,即Z=2B,故B选项正确;由于Z=2B,且090。,所以0。<4<60。,0。<8<30。,因此1<cos

2

/A<1,O<sin故C选项错误,D选项正确.故选ABD.

2

12.ABD由/'(x)>0知,/(x)在R上单调递墙则/⑵</(e)</(rt),故A正确;%

恒有/(x)+/(x)<2/(-)，即3i^</(但)，所以y=/(x)的图象是向上凸起的,如图Dl-：L所

222

示，

由导数的几何意义知，随着X的增加J(X)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小，所以f'

(n)</'(e)寸，⑵，故B正确;因为k=3tg=〃3)_

AB3-2八"

/⑵，所以由图易知/'⑶<9寸'⑵，故D正确,C错误.故选ABD.

13.BC解法一设｛4｝的公比为q(q>0),｛"｝的公差为川"0)。5=/获=/瓯力5=沁，由基

本不等式得/瓯Wd,当且仅当为=4时等号成立，易知数列｛"｝不是常数列，故B正确,A错误.

2

因为a2qG=a8=b8=b2+6d=a2+6d,^LU4二.口6山,所以a_b4=a2q2-a2-2d=a2{q2-1-g)=/(3q2-q6

633

-2)=~(92-Q6+2q2-2)=/(l"Q2)(Q4+q2-2)=-~Q2)2(Q2+2)<Oza-b=oq4-a-4d=~(3q4-1-

3333

2qe)=-、(1-<72)2(292+1)<0,所以a<ba<%故C正确,D错误.故选BC.

3

fl

解法_设{oj的公比为q(q>0),{bJ的公差为d(d^.a^a^n-i=r-qn/^=b1+(n-l)d=b1-d+nd,

q

将其分别理解成关于〃的指数函数乘以正数%(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次

q

函数的图象为直线)，则两函数图象分别在n=2,n=8处相交，故当34握7时,％<%从而

BC

。4Vb4，。5Vb5，。6<%故选-

14.BC假设。［DJ_AF,易知DDJAE,所以D］DJL平面AEF,又0尹_1_平面"8,所以平面AEFII

平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接A。］,。/,易知EFUA。1,所以平面AEF即平面

AEF%又&GII。',所以4GII平面AEF%所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为

梯形4£m1斤=&4。1=鱼,梯形的高为/(6)2-(蚣)2=花,所以其面积为2x怎=4故选

2244248

项C正确;连接CG交EF于点儿显然H不是CG的中点，所以C,G到平面AEF的距离不相等，故

选项D不正确.故选BC.

15.BD对于A,三棱锥D-ABC的体积l/n,=!SA-h{h为点D到平面ABC的距

D-ABC3△/MJC

离),$A谢尹XlxV3=0所以当h最大时，三棱锥D-ABC的体积取得最大值，又当平面ADC±

C22

平面ABC时为最大，为&此时U=工x£X区=1■，故A错误;对于B,设AC的中点为。，连接

2D-ABC3224

0B,。。,则0A=。B=。C=。D,所以。为三棱锥。-ABC的外接球的球心，则外接球的半径为弘。=1,

2

所以外接球的体积为％,翻折的过程中，三棱锥D-ABC的外接球的体积不变，故B正确;对于C,

3

三棱锥。-ABC的体积最大时，平面ADC_L平面ABC,所以此时二面角D-AC-B的大小是90°,

故C错误;对于立当4ADC沿对角线AC翻折到点D与点8的距离为VX即BD=V^时，在△BCD

中,BC2=BO2+CD2,所以CD工BD,又CD_LAD,BOCAD=D,所以CD_L平面AB0,所以CDJ_AB,即异面

直线AB与CD所成角的最大值为90。,故D正确.故选BD.

16.AD设4的典),直线AB.AC的倾斜角分别为力,为不妨记内叫，由tanNBAC=2>0,知

NBACe,则数形结合易知当[一内=/BAC时,才能满足题意，故tan0-%）也即=当又

221+kAB*?1C2

k=4

（广二；或

k=上（k=iffc._=4,

4c-2'而当4c-2'时,数形结合易知NBAC^O-力且N8A1,故舍去.当/i时，直

k4

｛AB=-区B=-42一：

线AC、直线AB的方程分别为y+2=4（x+l）,y-2=-1）,可得砥㈤.由椭圆的对称性可知:当

299

9<0时，同理可得P4c=-；Z（一1,-为,故B,C错误.易得直线BC的方程为2x-片0,故当点A

12区B=4,99

为（1,22）时，点A到直线BC的距离为5=一,当点A为（一工，一22）时，点A到直线BC的距离也为

9945999

版.故A,D正确，选AD.

17.BD依题意得，当n是奇数时,a.-%+产,即数列&｝中的偶数项构成以a=2为首项、1为

公差的等差数列，所以%=2+（9-l）xl=10.当n是偶数时,%3+4+户，所以3+5+%+3=L两式相减,

得4+5=%+1，即数列出｝中的奇数项从开始，每间隔一项的两项相等即数列3｝的奇数项呈周

+1a

期变化，所以%=。4、3+5=。5,在°n+3°n+l~中，令"=2,得因为%=3,所以5--2,所以%=-

2.在数列｛%｝中,。3+。5=1，。7+09=1，…，

a27+a29=lqi=a4*7+3=a3=3,偶数项构成以«2=2为首项、1为公差的等差数列，所以

S3I=1+7+3+15X2+KXMT）=146.故选BD.

2

18.BCD由题意可知,抛物线以=3x的焦点F的坐标为（当0）,准线方程为x=-3.易知直线A8的

44

斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+a,代入为=3%得y2-3my-。=0,易知4>0,所以y+y=3m,

44

//XX+A

-%贝【J*,2=（团九+8（团）2+3）=%所以04°8=（*1，））（*2/2）=i2九%=9_一~，所以

4441616416

不正确;因为A（咤%）,。（0,0）,M（-3九）三点共线，所以、=%，所以%》用=-2,又“2=-为所以

34反.344

74

心=力，所以直线MBIIX轴，所以C正确;易知A1,B1的坐标分别为（-吗）,（.3匕），所以

%可=（-3。/）.（.r-吗）=2+%y=^-2=0,所以N&FB]=90。,所以B正确;设直线AB

4444444

33339

的倾斜角为出国0），则MF|=-jBFkr-,所以|AF|"BF|=————=一鸡当且仅当

l-cos6l+cos0l-cos0l+cos0sin204

ABYx轴时取等号，所以D正确.故选BCD.

19.sin(2x-a)6因为函数g(x)=2sin[cu(x+q)](3>0)的图象是由函数/(x)的图象先向左平移口

6126

个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的，所以f

(x)=sin[(j(x-4)].①若/(x)的最小正周期为Ti,则/(x)=sin(2x-口).②若函数/(x)在区间[0产]上

1266

单调递增,在区间F，n]上单调递减，则有〃n)=sinm=1,且2^2%结合3>0,得w=6.

【易错警示】在进行三角函数图象变换时，一般“先平移,后伸缩"，但"先伸缩，后平移”也经常

出现在题目中，所以也必须熟练掌握,但要注意左、右平移时把X前面的系数提取出来.

20.2V33遮在△AEF中，易知NAFE=珥又AF=3,AE=/B,由余弦定理得(/B)2=32+EF2-

2x3x£Fxcos洱可得EF=1•所以CE=DE=DF=

£尸=14。=4(。=2.又//4£^=%所以在44(^。中,由余弦定理得颔2=42+22-2x4x2xcos工=12,得

33

AC=2y/3.

解法一设NACB=&则N&4C=rt-工-氏如-0所以在△ABC中，由正弦定理得口一=

sinA4cB

j—=以=4,所以AB=4sin由BC=4sin(%-切,于是△ABC的面积SAA8C=MB-BCsin"=4V3sin

sin^-BACsin^-ABC323

力sin/-i?)=4V3^sin况6cosi？+^ini?)=2V3(^sin29-，cos2i?+1)=2V3*sin(2i?-4)+VX贝U当29-

3222226

n=n,即加口时,Suge取得最大值，为3Vl

623

解法二在aABC中,COSNA8C二但皿9,结合基本不等式，得工=皿3alz之迎32,化简得

2BC-AB22BC-AB2BC-AB

BGABV12(当且仅当AB=BC时取等号)，所以△ABC的面积^BC-ABsin^ABC<XX12X

22

6二38,即4ABC面积的最大值为3A/3.

21.4(-l)n+^因为4+%+『A

352n-l2n+l2n+l2n+l

因为Q+Q=-2—,所以0=—2---Q,又o=_1=_1__1,所以0=2+1=2=-^1,Q=-2--1-

n+1

"n2+2nn+1n2+2n"121x223262x332x46

-u=q-lq=3+u=4=归纳可得,a=(-1)"+-i-.

123x43x