摆动工况下满装球轴承动态性能分析

满装球轴承具有体积小、质量轻、高承载等特点,在航空发动机的主轴系统,机器人的变速装置以及步进电动机的机械结构中广泛使用。满装球轴承在某些无人平台上通过摆动或低速转动控制平台的运行状态,需不断启停和加速,此时轴承处于非稳定状态,球的转速将在短时间内增加。当球与沟道之间的牵引摩擦力不足以克服滚动阻力、重力、加速度阻力时就会发生打滑。打滑会引起接触区域的表面磨损,破坏轴承接触表面间的润滑状态，降低轴承的可靠性和寿命。因此，研究此类满装球轴承的动态性能具有重要的意义。针对滚动轴承的动态性能,国内外很多学者开展了相关研究,但涉及无保持架满装球轴承的研究较少:基于滚动轴承动力学理论建立了频繁摆动工况下深沟球轴承的动力学微分方程.本文在球轴承动力学和摩擦学的基础上,建立满装球轴承的非线性动力学微分方程,以某无人平台用摆动工况下的高载荷满装球轴承为研究对象,研究结构参数对轴承疲劳寿命的影响,同时采用正交分析法对轴承结构参数进行优化。1满装球轴承的动力学分析模型1.1参考坐标系如图1所示,坐标系{O,x,y,z}在空间固定,称为惯性标架,原点位于内圈中心,径向平面为yOz平面,x轴与轴承轴线重合;内圈坐标系为Si={Oi,xi,yi,zi},初始位置、方向与惯性坐标系重合,随内圈运动;钢球坐标系Sbj={Obj,xbj,ybj,zbj}为动坐标系;接触面的局部坐标系为SHi(e)j={H,ξ,η}i(e)j;下标j代表第j个球;下标i,e分别代表内、外圈。图1轴承坐标系Fig.1Coordinatesystemsofbearing1.2相邻钢球之间的接触模型相邻2个钢球之间的相互作用模型如图2所示,设钢球之间的法向碰撞力为Fb,钢球之间的摩擦力为fb,内圈角速度为ωi,钢球自转角速度为ωb;外圈静止,钢球以公转角速度ωm匀速转动,若将钢球中心固定可将轴承运动等效为内圈角速度ωi-ωm;外圈相对于钢球的角速度为ωm。图2相邻2个钢球之间的相互作用模型Fig.2Interactionmodelbetweentwoadjacentsteelballs根据刚体之间的接触碰撞理论得到钢球之间法向碰撞力Fb的数学表达式[12]。当q≤q1时,Fb1(2)=0;当q>q1时,Fb1(2)为式中:Kn为刚度系数;q1为相邻2个钢球的实际测量距离;q为相邻2个钢球建模时质心之间的距离,q>q1时,2个钢球接触并产生压力,反之不接触;e为力的指数;cmax为最大阻尼系数;为相对速度;step(*)为阶跃函数;d为阻尼达到最大值时的切入量。相邻钢球之间的摩擦力fb为可根据给定的牵引模型确定与钢球之间滑动速度有关的牵引系数μ。1.3钢球动力学微分方程组球与套圈间的作用力如图3所示,

Qi(e)j为球与沟道之间的法向接触力;Tηij,Tηej,Tξij,Tξej为球与沟道接触面之间的拖动力;FRηij,FRηej,FRξij,FRξej为球与沟道之间的流体动压摩擦力。图3钢球受力分析Fig.3Stressanalysisofsteelball钢球的动力学微分方程组为式中:mb为钢球质量;Dw为钢球直径;Gzj为钢球在zbj方向的惯性力矩;FHηi(e)j为流体阻力的水平分量;Fηj,Fτj为钢球运动过程中所受的惯性力分量;Jx,Jy,Jz分别为钢球在xbj,ybj和zbj方向的惯性力矩;分别为钢球质心在xbj,ybj和zbj方向的加速度;

分别为钢球质心在xbj,ybj和zbj方向的角速度;αij,αej为球与沟道之间的工作接触角;Ai(e)为内(外)圈接触面坐标系与钢球质心坐标系间的旋转矩阵。1.4内圈动力学微分方程组内圈主要受外载荷以及钢球、润滑剂在接触区产生的力,内圈的动力学微分方程组为式中:Fx,Fy,Fz为内圈在惯性坐标系下x,y和z方向受到的外载荷;mi为内圈质量;

My,Mz为内圈在惯性坐标系下y和z方向受到的额外力矩;为内沟曲率半径中心轨迹的圆半径;φj为钢球在全局坐标系下的方位角;fi为内沟曲率半径系数;C为在惯性坐标系下内圈接触面坐标系与钢球质心坐标系间的旋转矩阵。1.5动力学方程组计算流程由上述分析可知,轴承动力学模型主要由非线性方程组组成,利用GSTIFF变步长积分算法对方程组进行求解计算,主要计算流程如图4所示。图4非线性方程组的计算流程Fig.4Solutionprocedureofnonlinearequations首先,输入满装球轴承的结构参数和工况参数,因轴承采用脂润滑,还需输入润滑脂基础油参数、轴承零件的材料参数;然后,由初始约束条件(外载荷、内圈转速、接触参数等)计算轴承零件位置和运动向量;最后,根据滚动轴承动力学理论、刚体接触模型,利用GSTIFF变步长积分算法对(1)—(7)式进行求解,并判断求解误差是否满足收敛要求(总误差<10-3),满足要求则输出轴承零件的位置和运动向量,并作为下一步长的初始值求解。求解一个摆动周期内各个时刻的非线性方程组,并改变初始参数可得到轴承的接触载荷、额定寿命、径向刚度和摩擦力矩等动态性能的变化规律。2摆动工况下轴承疲劳寿命计算模型2.1摆动工况摆动指轴承套圈从一个极限位置运转到另一个极限位置的往复运动。即从0°位置开始,到最大摆动角Ai经历的时间是1/4次循环或T/4,T为摆动周期。可以对套圈运动的输入采用余弦形式,如图5所示。图5摆动工况曲线Fig.5Curveofswingcondition内圈转速为式中:fi为摆动频率;t为摆动时间。2.2摆动工况下轴承疲劳寿命的修正套圈额定寿命L10i(e)计算公式为(9)式中:Qc为额定球载荷;Qe为当量球载荷;点接触时ε=3。额定球载荷的计算公式为Qci(e)=(10)γ=(Dwcos

α)/Dpw,式中:对于普通轴承钢,A=98.1;Ri(e)为沟曲率半径;R为球素线的曲率半径;γ为量纲一的参数;Dpw为球组节圆直径;Z为钢球数;内圈取“-”,外圈取“+”。相对载荷方向旋转的套圈的当量球载荷为(11)式中:Qj为第j个钢球与套圈间的接触载荷;点接触时s=3;下标u表示套圈相对载荷方向旋转。相对载荷方向静止套圈的当量球载荷为(12)式中:点接触时w=10/3;下标v表示套圈相对载荷方向静止。轴承的额定寿命为(13)式中:点接触时e=10/9。摆动轴承只在部分圆周上运动,如果摆动频率为每分钟n次,则以频率n摆动的轴承疲劳寿命要比相同载荷下以转速n

r/min旋转轴承的长。为确定摆动轴承的疲劳寿命,需把作用载荷换算成旋转运动时轴承的当量载荷,因此需考虑所减少的应力循环次,即(14)式中:QRE为等效旋转轴承疲劳寿命为L(×106

r)时的接触载荷;Qosc为摆动轴承疲劳寿命为L(×106

r)时的接触载荷;uosc为摆动轴承一个周期的应力循环次数;uR为旋转轴承一个周期的应力循环次数。旋转轴承转动一周的弧长为2πr,r为沟道半径。摆动轴承一个周期的弧长为4Air,摆幅为可得因此(15)对于承受QRE的摆动轴承,相同额定动载荷和当量载荷时摆动轴承的额定寿命Losc与旋转轴承的额定寿命LR关系为(16)2.3验证为验证本文算法、模型以及程序的正确性,在ROMAX分析软件中建立满装球轴承的拟静力学模型(理论模型)进行对比计算。由前文分析可知,轴承动态性能分析主要基于球接触载荷计算,因此可以分别计算轴承最大球接触载荷、最大沟道接触应力和承载钢球数,其中轴承结构参数见表1,轴承径向载荷2500N,恒定转速100r/min,计算结果见表2。表1某型号满装球轴承的主要结构参数Tab.1Mainstructuralparametersoffullcomplementballbearing表2计算结果对比Tab.2Comparisonofcalculationresults由表2可知:本文计算模型与理论计算结果基本一致,计算误差小于5%,在允许范围内,从而验证了本文计算模型的正确性。3满装球轴承疲劳寿命分析以摆动工况下满装球轴承(表1)为例,研究沟底直径、尺寸偏差、沟曲率半径和径向游隙对轴承疲劳寿命的影响。轴承零件材料为G95Cr18轴承钢,采用7014润滑脂。轴承只受径向载荷(2500N),外圈固定,内圈摆动,摆动角度为20°,摆动频率为1Hz。3.1沟底直径对轴承疲劳寿命的影响在满足工程图纸要求的径向游隙范围(12～26μm)内,外圈沟底直径为48.125mm时内圈沟底直径对轴承疲劳寿命的影响和内圈沟底直径为41.775mm时外圈沟底直径对轴承疲劳寿命的影响如图6所示:随内圈沟底直径增大,轴承疲劳寿命提高,这是因为增大内圈沟底直径会使径向游隙减小,增大钢球与套圈之间的接触承载区,提高轴承的承载能力,从而提高疲劳寿命;相反,仅增大外圈沟底直径会使径向游隙增大,从而使疲劳寿命降低。

图6沟底直径对轴承疲劳寿命的影响Fig.6Effectofgroovebottomdiameteronfatiguelifeofbearing3.2内圈沟底直径偏差对轴承疲劳寿命的影响在内、外圈沟底直径分别为41.775,48.125mm,径向游隙为0时,当内圈沟底直径减小δi和外圈沟底直径增加δe时,得到径向游隙Gr=δi+δe(取δi=δe),其中δi(e)在沟底直径公差内选值。定义内圈沟底直径偏差为-δi,则同时改变内、外圈沟底直径,可得到图7所示的内圈沟底直径偏差对轴承疲劳寿命的影响,随内圈沟底直径偏差逐渐增大,轴承疲劳寿命逐渐提高。图7内圈沟底直径偏差对轴承疲劳寿命的影响Fig.7Effectofinnerringgroovebottomdiameterdeviationonfatiguelifeofbearing3.3沟曲率半径对轴承疲劳寿命的影响由ISO281:2010“Rollingbearings—Dynamicloadratingsandratinglife”和ZYB28—1998《轴承设计方法》可知沟曲率半径系数fi(e)推荐值为:内沟曲率半径系数0.512～0.520,外沟曲率半径系数0.523～0.530,由fi(e)和Ri(e)=fi(e)Dw可确定沟曲率半径Ri(e)。外沟曲率半径为1.670mm时内沟曲率半径对轴承疲劳寿命的影响和内沟曲率半径为1.638mm时外沟曲率半径对轴承疲劳寿命的影响如图8所示,轴承疲劳寿命随内、外沟曲率半径的增大呈下降趋势。由轴承密合度计算公式φ=Dw/2Ri(e)可知,在钢球直径不变的情况下,随内、外沟曲率半径增大,钢球与沟道的密合度变小。当轴承受到的载荷一定时,接触面积减小,接触应力升高,从而使轴承承载能力降低,因此轴承疲劳寿命降低。

图8沟曲率半径对轴承疲劳寿命的影响Fig.8Effectofgroovecurvatureradiusonfatiguelifeofbearing3.4径向游隙对轴承疲劳寿命的影响当外沟曲率半径为1.667mm,内沟曲率半径为1.635mm时,径向游隙对轴承疲劳寿命的影响如图9所示,随着径向游隙的增加,轴承疲劳寿命逐渐降低,这是因为径向游隙增加,会使承载区变小,球载荷变大,从而使轴承疲劳寿命降低。图9径向游隙对轴承疲劳寿命的影响Fig.9Effectofradialclearanceonfatiguelifeofbearing4轴承动态性能的正交分析4.1目标函数由以上单因素分析可知,在相关图纸设计尺寸范围内,改变轴承沟底直径、沟曲率半径以及径向游隙对轴承疲劳寿命的影响一般为单调变化。为优化轴承基本参数,以轴承的径向游隙、内外沟曲率半径为优化因素,采用加权组合法将各个目标函数(疲劳寿命、摩擦力矩和径向刚度)按重要性进行加权,建立的优化函数为min

f=λ1Mb+λ2/L10+λ3/Kr

,(17)式中:λ1,λ2,λ3为权重因子;Mb为轴承摩擦力矩;

Kr为轴承径向刚度。4.2因素与水平设置优化因素为径向游隙、外沟曲率半径、内沟曲率半径。因此采用3因素5水平的正交试验,因素水平表见表3。表3正交试验因素水平表Tab.3Factorleveltableoforthogonaltestmm4.3试验组别设置及试验结果正交试验组别设置及试验结果分别见表4。表4正交试验组别设置和试验结果Tab.4Groupsettingandresultsoforthogonaltest主要以轴承疲劳寿命为考核指标,取权重因子λ1,λ2,λ3分别为0.15,0.70,0.15对计算结果进行分析。首先,计算出各个试验下的均值,然后,由疲劳寿命的试验值与其均值的比值得到新的试验结果,代入(17)式得到优化函数值,从而可以得到表5的极差。表中I1,I2,I3,I4,I5表示每个因素下水平数相同时优化函数值的总和;K1,K2,K3,K4,K5表示每个因素下水平数相同时各个试验结果优化函数值之和的平均值;R表示不同水平试验组的最大值与最小值之差,从而可以对影响因素进行排序。表5正交试验结果的极差Tab.5Rangeoforthogonaltestresults通过对R值的分析可知,对优化函数影响的程度从大到小依次为内沟曲率半径、径向游隙、外沟曲率半径。通过对表5的分析可知每个因素中使K最小的水平就是该因素的最优解,主要以轴承疲劳寿命为考核指标时,可得到一组最优解,将其与轴承原始参数进行比较(表6),计算可得轴承疲劳寿命提高13.6%。表6疲劳寿命优化结果对比Tab.6Comparisonofoptimizationresultsforfatiguelife对于其他指标,如当径向刚度为考核指标时,可以采用同样的方法,使径向刚度的权重因子为0.7,其余权重因子为0.15,得到对应的优化值见表7,同理可得到摩擦力矩的优化值(表8),径向刚度提高了4.3%,摩擦力矩变化不大。表7径向刚度优化结果对比Tab.7Comparisonofoptimizationresultsforradialstiffness表8摩擦力矩优化结果对比Tab.8Comparisonofoptimizationresultsforfrictiontorque由正交优化结果可知,在选取的影响因素(径向游隙、内沟曲率半径、外沟曲率半径)和不同水平下设计的正交表中可确定最优结构参数。然而试验过程中结构参数和水平的选取,试验组别的数量都决定最优值的选取,因此,研究结果具有一定的局限性。而优化后的轴承疲劳寿命和径向刚度提高,这对特殊要求的应用场合下轴承加工制造具