高考数学（文）一轮复习课时训练第8章立体几何35

【课时训练】空间几何体的表面积及体积一、选择题1．(2018石家庄调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．4＋eq\f(π,2) B．4＋eq\f(3π,2)C．4＋eq\f(5π,2) D．4＋π【答案】C【解析】由题意可知，几何体的体积为圆柱的体积加长方体的体积再减去与长方体等高的圆柱的体积的eq\f(1,2)，即π·12·3＋2×2×1－eq\f(1,2)π·12×1＝4＋eq\f(5π,2).2．(2018大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为()A．eq\f(4＋π\r(3),3) B．eq\f(8＋π\r(3),6)C．eq\f(8＋π\r(3),3) D．(4＋π)eq\r(3)【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为eq\r(3)，则V＝eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π＋4))·eq\r(3)＝eq\f(8＋π\r(3),6).故选B.3．(2018日照模拟)一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．9 B．10C．11 D．12【答案】C【解析】如图所示，根据三视图，可知几何体为长方体截去三棱锥A1－AED1所剩的几何体，所以几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥A1－AED1＝2×2×3－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))×3＝11.故选C.4．(2018东北三校联考)已知四面体ABCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是()A．60π B．30πC．20π D．15π【答案】A【解析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，设其外接球球心为O，分别取△ABC，△BCD的中心为O1，O2，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD，连接O2D.在Rt△OO2D中，OO2＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝eq\r(3)，O2D＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×6＝2eq\r(3)，所以R＝OD＝eq\r(\r(3)2＋2\r(3)2)＝eq\r(15)，所以S＝4πR2＝60π.故选A.5．(2018广东东莞一中、松山湖学校联考)某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是()A．eq\f(20,3)π B．6πC．eq\f(10,3)π D．eq\f(16,3)π【答案】C【解析】该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝eq\f(1,2)×π×4×1＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×π×4×2＝eq\f(10,3)π.故选C.6．(2018福建三明一中1月月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A．eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．2 D．1【答案】A【解析】由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为eq\r(2).∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1.∴BC为截面圆的直径．∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为eq\r(2)×1＝eq\r(2).故选A.7．(2018广西质检)高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,8)【答案】C【解析】由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为eq\f(1,2)×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为eq\f(1,2)，故选C.8．(2018沈阳模拟)已知四面体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且BC＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为()A．7π B．8πC．9π D．10π【答案】C【解析】依题意，记题中的球的半径是R，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面积为9π，选C.二、填空题9．(2018合肥第二次质量检测)已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为________．【答案】8π【解析】由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，该球的表面积为4πR2＝8π.10．(2018武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2eq\r(2)，则该球的表面积为________．【答案】25π【解析】如图，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2eq\r(2)，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝eq\f(5,2).所以球的表面积S＝4πR2＝25π.11．(2018三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1，则三棱锥P－ABC体积的最大值为________．【答案】eq\f(1,3)【解析】VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值．当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为eq\f(1,2)×2×1＝1，此时VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3).三、解答题12．(2018山东青岛二模)如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：(1)该几何体的体积．(2)截面ABC的面积．【解】(1)过点C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则该几何体的体积V＝VA1B1C1－A2B2C＋VC－ABB2A2＝eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(22＋4－32)＝eq\r(5)，BC＝eq\r(22＋3－22)＝eq\r(5)，AC＝eq\r(2\r(2)2＋4－22)＝2eq\r(3).则S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(\r(5)2－\r(3)2)＝eq\r(6).13．(2018长春一模)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝eq\r(3).(1)求证：DE⊥平面ADC；(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．(1)【证明】∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE.∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC.∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C.∴BC⊥平面ADC.∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.(2)【解】∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝eq\r(3).在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝eq\r(4－x2)(0<x<2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)x·eq