高中数学北师大版必修1学案2-1生活中的变量关系

第二章函数§1生活中的变量关系知识点变量关系[填一填]1．世界是变化的．变量及变量之间的依赖关系在生活中随处可见，我们在初中学习过的函数就描述了因变量随自变量的变化而变化的依赖关系．2．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系．[答一答]1．如何正确理解常量与变量？提示：可结合生活中的实例，用辩证的观点来理解常量与变量，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，所以物动则变．在我们的生活中容易找出众多的实例，如：(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程均为变量，但在实际运动过程中，绝对的匀速是没有的，因为人驾驶汽车在行驶过程中，不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作．(2)电影院里，对某一场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量．但相对于某个较长时间的间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量．由此可以看出，常量具有相对性，而变量是永恒的，是大量存在的．2．如何理解依赖关系和函数关系的联系与区别？提示：函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系．1．绝对的常量是不存在的．常量具有相对性．2．函数关系是特殊的依赖关系，但有依赖关系的不一定是函数关系，而函数关系一定为依赖关系.类型一常量、变量、函数关系的判断【例1】某城市出租车收费标准如下：里程不超过3公里按起步价7元收费，超过3公里的按每公里1.5元加收．乘客乘车后出租车行驶的路程为x公里，乘客该付的车费为y元．(1)当0<x≤3时，x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？(2)当x>0时，x与y分别是什么量？x与y之间的关系是否为函数关系？【思路探究】根据常量与变量的含义来判断所给的量是常量还是变量．函数关系的判断要根据两个量的对应关系来判断．【解】(1)当0<x≤3时，x可变，y＝7不变，所以x是变量，y是常量．在0<x≤3范围内，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以x与y之间的关系是函数关系．(2)当x>0时，x与y都是可变的量，所以x与y都是变量，并且对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以x与y之间的关系是函数关系.规律方法常量是在某个范围内不变的量，不变是相对的．变量一般来说是可变的量，有时也把常量视为变量，所以变量是永恒的．这里指的变量是指一般情况下的变量．“对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应”是判断x与y之间存在函数关系的标准，这里特别注意“唯一确定”的含义．下列变量之间的关系是函数关系的是(A)A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，c是已知常数，b是自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4B．光照时间和果树的亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田的施肥量和粮食亩产量解析：B、C、D都是依赖关系．类型二利用图像反映两个变量之间的关系【例2】如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0℃(3)大约在什么时刻内，气温在0℃【思路探究】此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．【解】(1)上午8时气温是0℃，全天最高气温是9℃，在14时达到．全天最低气温是－(2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t规律方法用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度继续匀速行驶．则行驶路程s(米)关于时间t(分)的函数图像大致是(C)解析：A表示小明行至中途后一直在停下来修车，而没继续向前走；B表示小明没有停下来修车，速度反而比原来的更快；D表示的不是小明修车，而是向回走了一段路后，又加快速度去学校．C符合要求．类型三通过表格反映两个变量之间的关系【例3】口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：次序项目12345678温度(℃)1525303537404550黏附力(N)2.03.13.33.64.64.02.51.4(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？【思路探究】对表格题目，首先要分清自变量与因变量，把所对应的数据利用坐标系描出对应的点，通过图像分析，得出结论．【解】(1)口香糖黏附力F随温度t变化的图像如下．(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减少；②当温度在37℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50规律方法两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量与自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：K数含金量(%)24K99以上22K91.721K87.518K7514K58.512K5010K41.669K37.58K33.346K25饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，K数越大含金量越高．解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数，饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高.——变量关系的分析——【例4】如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像(收支差额＝车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图像：在这些图像中()A．①反映了建议(Ⅱ)；③反映了建议(Ⅰ)B．①反映了建议(Ⅰ)；③反映了建议(Ⅱ)C．②反映了建议(Ⅰ)；④反映了建议(Ⅱ)D．④反映了建议(Ⅰ)；②反映了建议(Ⅱ)【思路点拨】解答本题应从y与x的关系出发，分析出票价与斜率的关系，然后就(Ⅰ)，(Ⅱ)两种建议分别描出图像，与题中①、②、③、④对应便可求解．【解析】由题可知直线与y轴交点的纵坐标的相反数表示支出，斜率表示票价，建议(Ⅰ)中票价不变，即直线的斜率不变；减少支出即直线与y轴交点纵坐标变大，对应①.建议(Ⅱ)中，直线与y轴交点的纵坐标不变，斜率变大，对应③.【答案】B【小结】(1)解答此类题目的关键在于借助变量间的图像分析实际问题中所隐含的东西，然后结合已学知识加以综合分析，从而把问题解决．(2)判断两变量之间是否为函数关系，关键是看变量之间的关系是否为确定的关系，如③中收入与消费支出的关系是一种趋势而非确定关系，而其余均为确定关系．下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长．解：①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．一、选择题1．有以下说法：①商店里某段时间内某种商品的标价是常量②马路上飞驰的汽车行驶的路程是变量③一天内的气温是常量④公历非闰年一年的天数是常量⑤2010年世博会期间每天游客的数量是常量其中正确的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：①②④是正确的，一天内的气温是变化的，2010年世博会期间每天游客的数量也是变化的，都是变量，故③⑤不正确．2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(D)A．实数和它的平方B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和各内角角度之和D．人的年龄和体重解析：在一定年龄段，人的体重随年龄的增加而增加，是有一定的依赖关系，但不是函数关系．3．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则(A)A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数解析：虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．二、填空题4．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②立方体的棱长与它的体积之间的关系；③苹果的产量与气温之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；⑤学生与他(她)的学号之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)②⑤.解析：①③④中的两个变量之间有一定的依赖关系，但不是确定性关系，所以不是函数关系．②⑤中两个变量之间的关系具备函数关系．5．一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是300，－100，变量是s，t.解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.三、解答题6．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆