易错点3 指数函数与对数函数及函数与方程-2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

易错点03指数函数与对数函数及函数与方程

易错题(oil研究对数型函数忽略定义域

研究函数y=log/(x)的性质，或求解与logJ(x)有关的函数与方程及不等式问题，不少

同学常因忽略/(x)>0的隐含条件出现错误。

易错题【02］不会利用中间量比较大小

在比较数与式的大小时常利用指数函数、基函数及对数函数单调性比较大小，若比较指数式

与对数式的大小，或同是指数式(对数式)但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小,

常用的中间量是0,1,7,有时也可借助1,2」等中间量来比较大小.

22

易错题［03］不会构造函数比较大小

比较两个式子的大小，若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常式子的结构构

造函数，然后利用函数单调性比较大小。

易错题【04】确定函数零点所在区间，或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件,

常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，故提醒同学们研究函数与方程问题不

要得“意”忘“形”。

易错题01

若"X)=10g2“［("-2a)x］在(YO.0)上是减函数，则a的取值范围是

【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域，不会由x<0得出/一2〃<0.

【答案】《,2)

【问诊】因为由xvO,所以〃2-2a<0,此时y=一2〃卜在(_QO.0)上是减函数，由复合

函数单调性得2a>l,III［I八，解得，<a<2,所以a的取值范围是(±2〕。

(a2-2a<02<2)

【叮嘱】研究对数型函数的性质，一定不要忽略真数大于零的限制。

支式练习〉〉

1.函数/(x)=ln(x2-ar-3)在(1,内)单调递增，求a的取值范围()

A.a<2B.a<2C.a<-2D.a<-2

【答案】c

【解析】令f（x）=x2-or-3,二次函数抛物线的对称轴方程为x=；"，由复合函数的单调

性可知，又/一办一3>0在（1，+8）上恒成立，所以1—。—320,BR-2-«>0,

id<1

所以《2",解可得，a<-2.故选C

-2-6F>0

2.（2021湖北武汉市第一中学高三月考）函数"x）=log“（3-2公）在区间［L2］上单调递增，

则实数。的取值范围为（）.

A.（0,1）B.（；/）

C.（0,；）D.（M）

【答案】C

【解析】设“(x)=3-2ar(a>0),可得T=log“〃，则“(x)=3-2ax(a>0)是减函数,

要使得函数〃力=log„（3-2ar）为［1,2］上的增函数，只需y=log„u为减函数，且满足

“（力=3-2">0对于》叩,力恒成立，所以［⑴="2）=3-4a>0'解得：

所以实数0的取值范围为（0,；）故选C.

易错题02

（2019全国I卷理T3）已知a=log2（）.2,b=20-2,c=O.203,则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

［警示］比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。

【答案】A

【问诊】由题意,可知a=log52<1,

12

b=log50.2=log,-=log,,5'=log,5>log,4=2,c=0.50-<1,所以匕最大，a,

55

1

c都小于1,因为a=log52=——

log25

log25>log24=2>^2,所以J：5，<，即a<c，所以a<c<b,故选A.

【叮嘱】比较数与式的大小，当不能直接利用函数单调性时，要注意使用中间量。

支式练习，〉

1.(2021新高考2卷T7)已知。=logs2,^=10g83,c=g,则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<h<c

【答案】C

【解析】a=log52<log5石=；=log82>/2<log83=b,即a<cv从故选C.

2

2.(2020全国HI文T10)设。=log32,b=log53,c=-,则0

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

117112

3

【解析】因为a=§log323<§log39=§=c,fe=-log53>-log525=-=C(

所以avcvZ?,故选A.

易错题03

(2021全国卷乙卷理T12)设a=2/m.01,b=lnl.O2,C=VH)4-1,则()

A.a<h<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<h

【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。

【答案】B

【问诊】解法一：«=2//?1.01=/rtl,0201.b=lnl.O2,:.a>b,

令/(x)=2ml+x)-(Jl+4x-1),0cxe1,

----------l/2—1

令Jl+4x=t,则1v/v61.x=--—,

f2+3

・•.g(t)=2bi(----)-t+l=2ln(t2+3)-f+1-2妨4,

4

g'Q)=-1='二「；3=>0,8⑺在(1,逐)上单调递增，

广+3广+3r+3

g(f)>g(1)=2/^4-1+2ln4=0，/.f(x)>0，:.a>c,

同理令h{x}=ln(\+2x)-(Jl+4冗-1),

再令Jl+4x=t,则1</v石x=--—,

*+1

夕Q)=/〃(一—)-r+1=ln(t92+1)—f+1—ln2,

(P\t)=W--1=二尸)<0,叭t)在(1,石)上单调递减，

/+1厂+1

「.夕(，)〈夕(1)=/〃2—1+1—/〃2=0,h(x)<0,:.c>b:.a>c>b.故选：B.

解法二：由a=27nl.01=Znl.0201>ft=Ini.02,则排除AD,结合选项BC,只需判断a,c的

大小，故设/(为=2①(1+8)一/1京+1,；./'(幻=，-----j=^==

1+xVl+4x

2业巴三"&(0<X<1),又；y/i+4x2—(1+x)2=2x-V=x(2-X)>0

(1+X)y/1+4X

Jl+4x>l+x,f'(x)>0,；./(x)在(0,1)上单增，A/(0.01)>/(0)=0,

A21nl.01>VH)4-l)：.a>c,故选B

【叮嘱】比较几个复杂式子的大小，常通过构造函数，利用函数性质求解。

变式练习

1.(2020全国I理T12)若2"+log2a=4"+21og",则()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

【答案】B

2b

【解析】设/(x)=2'+log2%，则f(x)为增函数，：2"+log2a=4&+2log4b=2+log2b,

2ft

A/(«)-fQb)=2"+log,a-(2+log?2。)=22b+log2b_(2^+]Og22b)

=1暇；=-1<°，

A/(a)<f(2b),：.a<2b.

2a22Z,2

•••f(a)-f(b)=2+log2a-(2户+log2b)=2+log2b一(2序+log2b)=

22〃-2户-log2Z?.

当6=1时,/(a)-/(h2)=2>0,此时/3)>/(小),有以>%当。=2时，

/(a)-/(Zj2)=-l<0,此时/(a)</(〃)，有a<〃，，C、D错误,故选B.

2.（2020全国H理T11）若2,-2V<3-*-3r，则0

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x->>|<0

【答案】A

【解析】由2*-2>'<3-*—37得：2X-TX<2v-3-v.令/«)=2'-3一'，

•.•>=2'为/?上的增函数，y=3-*为RI二的减函数，.•・/«)为R上的增函数，

Qy-x>0,/.y-x+l>l,.\ln(^-x+l)>0,则A正确，B错误：(^,一讨与1的大

小不确定，故CD无法确定，故选A.

易错题04

(2018全国卷I)已知函数/(X)=-'g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零

Inx,x>0,

点，则。的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,-Ko)C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

【警示】不会利用图象求解，导致解题失败.

【答案】C

【问诊】函数g(x)=/(x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程/(x)=—x—a有2个

不同的实根，即函数/(x)的图象与直线y=—x—a有2个交点，作出直线y=a与函

数/(x)的图象，如图所示，由图可知，-aWl,解得aNl,故选c.

【叮嘱】求解与零点个数有关问题，常利用函数图象的直观性求解。

变式练习》)

1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数/(x),当xNO时,

〃“)="_卜_3|则关于x的函数/x)=/(x)—a(°<a<l)的所有零点之和为

()

aa

A.2-lB.i-2~C.-log2(l+«)D.log2(l-a)

【答案】C

l-2',xe[0,l)

【解析】当xNO时;/(%)=-x-2,xS[l,3)，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如图

4-X,XG[3,+oo)

由图象可知F(x)=0,即/(x)=a(0<a<l)有5个零点，其中有2个关于直线x=-3对称,

还有2个关于直线x=3对称，所以4个零点的和为零，笫5个零点是立线N=。与函数

y=f1]交点的横坐标，即方程a=-1的解,

解得x=-log2(l+。)，故选C

f2xr<0

2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数f(x)=e,8。)=-/+24其中6

[x,x>0

是自然对数的底数)，若关于x的方程g(/(x))="恰有三个不等实根玉,々,不，且玉<々<三，

则2x,-x2+2X3的最大值为.

【答案】3-ln3

【解析】由题意设/*)=，，根据方程g(f(x))-加=0恰有三个不等实根，

即g(r)7"=-r+2f-/M=0必有两个不相等的实根%,%，不妨设

■-4+芍=2,则芍=2—4,

方程/(X)=f1或/(x)=，2有三个不等实根内,々,工3，且为<七<七，

作出图象如图所示:

那么工2=/"=4，可得冗3=，2=2-。，0<^<1,

所以2%―/+2退=In：—3%+4,

构造新函数g)=lnr-3f+4,(O</<l),则h'(t)=三,

所以人⑴在(o,g)上单调递增，在1)上单调递减，

所以Mr)max==3Tn3,

所以2%-％+2》3的最大值为3-ln3.

易错题通关

a

1.（2021江苏省泰兴中学高三期中）已知“=log32,,b=log52,c=0.5-',则a,b,c的大小

关系为（）

A.a<b<cB.b〈a〈cC.c<a<bD.c<-b<.a

【答案】B

【解析】因为y=log3X在（0，k）匕为增函数，且1<2<3,

所以logal<k）g32<log33,0<log32<1,即0<a<l,

因为y=logs》在（。，用）上为增函数，且1<2<5,

所以logs1〈logs2〈logs5,得。vlogsZcl,即0<匕<1,

因为y=0.5、在R上为减函数，一1<4-1<0,

所以05T>0.5小>。5°,得1<0.51<2,即l<c<2,

[S^）a=^—,b=^^-,:.a>b,:.c>a>b,故选B.

In3In5

2.（2021山东烟台高三期中）设。=logs2,/>=log93,c=logI54,则（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】0<a=log,2=log,V4<log5A/5=^,b=log93=log,3=,

22

c=logl54=log15V16>log15715=p所以a<b<c,故选D.

3.（2020江西省信丰中学高三月考）若函数〃x）=l°g'（一犬2+4*+5）在区间（32,加+2）内

2

单调递增，则实数机的取值范围为（）

-41「4］4

A.-,3B.—,2C.2D.—,+oo

_J」L，-p3

【答案】c

【解析】解不等式-丁+4犬+5>0，即丁-4-5<0,解得—l<x<5,

内层函数“=-V+4x+5在区间（T,2）上单调递增，在区间（2,5）上单调递减，

而外层函数）'=10glu在定义域上为减函数，

2

由复合函数法可知，函数“x）=l°g［（f2+4x+5）的单调递增区间为（2,5）,

2

3加一222

由于函数/（司=1°8］（*+4犬+5）在区间（3加一2,愣+2）上单调递增,所以，■3〃?-2<胆+2,

"7+2W5

422］故选c.

解得;4根<2.因此，实数，〃的取值范围是

4.（2021河南高三月考）设a=lnl.2,b=2\n\.\,c=VL5-i,则（）

A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】b=21nl.l=lnl.21,VIn1.2<In1.21,：.a<b,

11—Y

设f（x）=lnx-x+l,则r（x）=L-l=7,

XX

则在区间（o.i）上，r«>o,f（x）为增函数，在区间（i,+oo）匕尸。）<0,“X）为减函数,

/./（x）</（l）=0,BPlnx<x-l,AIn1.21<1,21-1=0.21,

XV>/L5-1.21>0,AVL5-l>0.21.,二。>方>”.故选D.

5.（2021黑龙江高三期中）已知a=/a,/,=121d+ii0=«!,则（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】令/(x)=e，-x-l(x>0),则/(力=/一1>0,

・•・/(x)在(0,+向上单调递增，.■J(x)>〃0)=0,即，>x+l，.•.严>1.1,

e005>VET,即a>c；令g(x)=lnx-x+l,则g<x)=g-l=l^,

.,.当xe(O,l)时，g'(x)>0；当x«l,”o)时，g'(x)<0；

r.g(x)在(0,1)上单调递增,在(L”)上单调递减，；.g(x)4g⑴=0,

二lnx4x-l(当且仅当x=l时取等号)，,

即野+14«(当且仅当x=i时取等号)，.•.曲>+i<vn,即人<c；

综上所述：a>c>/?.故选D.

6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在R上的函数/(x)满足f(x-3)=f(x+l),且

V1-X2,X€(-1,I]

f(x)=，给出如下四个结论：①的值域为［0,2］；②当xe(-3,-2)

2-2|jc-2|,xe(1,3]

时，/(x)=2x+6；③/(x)图象的对称轴为直线x=4Z(ZeZ)；④方程3/(x)=x恰有5个

实数解，其中正确的结论个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由/(x—3)=/(x+l)可得/(x)=/(x+4),所以“力是周期为4的函数，

由图知：x=l或x=3时，/(xL„=0,当x=2时，f(x)1rax=2,根据周期性可得f(x)的值

域为[0,2],故①正确;

A/1-X2,XG(-1,1]

2X-2,XG(1,2],'I—3<x<—2时，1<x+4<2»

6-2x,xe(2,3]

〃x+4)=2(x+4)-2=2x+6,因为/(力是周期为4的函数,

所以F(X)=〃X+4)=2X+6,故②正确;

由图象以及周期性可知：无=0、x=2为函数“X)的对称轴，所以图象的对称轴为直

线X=2M%EZ),故③不正确；

方程3/(x)=X恰有5个实数解，可得y=/(X)与y=5图象有5个交点，

当x<0时，5<0,而〃x)20,所以当X<()时，方程3/(0=、无实根，

当0W6时，由图知y=/(x)与y=q图象有4个交点，

所以y=/(X)与y=5图象有4个交点，即方程3/(%)=X恰有4个实数解，

当x>6时，y=q>2,此时y=/(x)与y=5图象没有交点，故④不正确；

7.(2⑼吉林.高三月考)已知函数册黑匕°,g(x)…2—,若关于x

的方程/仅3)=4(4€1^)恰有6个不同实数根，则实数2的取值范围为()

【答案】A

【解析】设g(x)=r,可得=因为g(x)=r最多有两个实根，若〃g(x))=2恰有6

个不同实数根，则=恰有三个实根，作出的图象，如图

由'+1|=4或1g/二丸可得：：=4-1或，2=-4-1或/3=1°4，且0</ivl,

由g(x)=，［即x2—2x+24—2=4—1,x2—2x+4—1=0,

由A=4—4x(/1—1)>0可得又<2,

由g(x)=，2即x?—2x+22—2=—A—1fx2—2x+34—1=0，

7

由A2=4_4x(34-l)>0可得％,

由g(x)=，3即f-2工+2；［-2=1(/,x2-2x+22-2-10A=0,

由△3=4—4(22一2—10，)=12—8；1+41(/=4(3-22+10，)>0恒成立，

综上所述：0<2<|,实数4的取值范围为［。,|［,故选A.

8.(多选题)已知函数，(x)=log2(/nF+4x+8),weR,则下列说法正确的是()

A.若函数Ax)的定义域为(-℃,”)，则实数机的取值范围是+8)

B.若函数/(x)的值域为［2,+8),则实数a=2

C.若函数Ax)在区间［-3,+8)上为增函数，则实数机的取值范围是(《I

D.若加=0,则不等式/。)<1的解集为养

【答案】AC

【解析】对于A,由题意知〃>+4x+8>0对xeR恒成立，由于当加=0时，不等式4%+8>0

[m>0,1

不恒成立，所以用工0.当机w0时，由人y八解得〃?>7,所以A正确；

[A=16-32/n<0,2

对于B,若函数一若的值域为的,+8),则于“焉=2,显然加不为0,

2

则函数丁=如？+4x+8的最小值为4,则当x=时，

m

Ymin=〃?(一2]+4x(-2)+8=4,解得"2=1,所以B错误；

ImJVmJ

对于C,若函数/*)在区间[-3,+8)上为增函数，则y=mf+4x+8在[-*也功上为增函数,

m>0,

242

目.在[-3,内)内的函数值为正，所以《——<-3,解得<机4所以c正确;

m93

/nx(-3)2+4x(-3)+8>0,

对于D,若m=0,则不等式/。)<1等价于Iog2(4x+8)<1,

3

贝iJ()<4x+8<2,解得一2<工<一7,所以D不正确.故选AC.

2

x2ex,x<\

9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数/*)=靖，方程

"(x)f-2叭x)=0(aeR)有两个不等实根，则下列选项正确的是()

A.点(0,0)是函数f(x)的零点

B.叫v(0,l),x2G(1,3),使/(玉)>/(々)

C.x=—2是Ax)的极大值点

D.。的取值范围是(2，J)[-,+oo)

e282

【答案】BC

【解析】当x<l时，〃司=//，则f，(x)=(x2+2x)e'=x(x+2)e)

当xe(y),-2),(O,l)时，/(力>0,/(力单调递增，当xe(-2,0)时，f(x)<0,/(x)单调

4

递减，且/(一2)=7,〃0)=0；

当xNl时，/(x)=p-(则:(x)=",(丁),

当xe(l,2)时,/(x)<0,/(x)单调递减，当x«2,饮)时,r(x)>0,“X)单调递增，且

〃l)=ej⑵=