2023-2024学年湖南省新邵县中考四模数学试题含解析

2023-2024学年湖南省新邵县中考四模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤2．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（）A．5 B．6 C．7 D．93．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B． C． D．4．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A． B． C． D．5．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是菱形.其中，正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（）A．70° B．44° C．34° D．24°7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，则可列方程组为（）A． B．C． D．8．下列图形中，可以看作中心对称图形的是()A． B． C． D．9．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，2﹣m）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图所示的工件，其俯视图是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是____________．12．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，则旅客可携带的免费行李的最大质量为kg13．科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为_____．14．如图，点A是直线y=﹣x与反比例函数y=的图象在第二象限内的交点，OA=4，则k的值为_____．15．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是_____16．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记为____________．17．若一次函数y=-2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_________.（写出一个即可）三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=时，求的值；(2)如图2,当tan∠ABC=时,过D作DH⊥AE于H,求的值；(3)如图3,连AD交BC于G,当时,求矩形BCDE的面积19．（5分）已知A=ab(a-b)-ba(a-b)．化简A；如果a、b20．（8分）如图，∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P，使得点P到∠MON的两边的距离相等，且△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）21．（10分）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为______；（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．22．（10分）解方程组：.23．（12分）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，≈1.41，≈1.73）24．（14分）计算：（π﹣3.14）0+|﹣1|﹣2sin45°+（﹣1）1．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．2、B【解析】

直接利用平均数的求法进而得出x的值，再利用中位数的定义求出答案．【详解】∵一组数据1，7，x，9，5的平均数是2x，∴，解得：，则从大到小排列为：3，5，1，7，9，故这组数据的中位数为：1．故选B．【点睛】此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x的值是解题关键．3、B【解析】

由题意可知，当时，；当时，；当时，.∵时，；时，.∴结合函数解析式，可知选项B正确.【点睛】考点：1．动点问题的函数图象;2．三角形的面积．4、B【解析】考点：概率公式．专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为2/6="1/"3．故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）="m"/n．5、D【解析】

先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC=90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD=∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．【详解】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；若∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；若AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又DE∥CA，∴∠EDA=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；若AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，则其中正确的个数有4个．故选D．【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形及菱形的判定与性质是解本题的关键．6、C【解析】

易得△ABD为等腰三角形，根据顶角可算出底角，再用三角形外角性质可求出∠DAC【详解】∵AB=BD，∠B=40°，∴∠ADB=70°，∵∠C=36°，∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．故选C.【点睛】本题考查三角形的角度计算，熟练掌握三角形外角性质是解题的关键.7、B【解析】

设大马有匹，小马有匹，根据题意可得等量关系：大马数+小马数=100，大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设大马有匹，小马有匹，由题意得：，故选：B．【点睛】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．8、B【解析】

根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、A【解析】

分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．【详解】①m-3＞0，即m＞3时，2-m＜0，所以，点P（m-3，2-m）在第四象限；②m-3＜0，即m＜3时，2-m有可能大于0，也有可能小于0，点P（m-3，2-m）可以在第二或三象限，综上所述，点P不可能在第一象限．故选A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．10、B【解析】试题分析：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线，故选B．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、15°【解析】分析：根据等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，根据中垂线的性质得出∠ABD的度数，最后求出∠DBC的度数．详解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=(180°－50°)=65°，∵MN为AB的中垂线，∴∠ABD=∠BAC=50°，∴∠DBC=65°－50°=15°．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的性质以及中垂线的性质定理，属于中等难度的题型．理解中垂线的性质是解决这个问题的关键．412、20【解析】设函数表达式为y=kx+b把（30，300）、（50、900）代入可得：y=30x-600当y=0时x=20所以免费行李的最大质量为20kg13、2.54×1【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2540000的小数点向左移动6位得到2.54，所以，2540000用科学记数法可表示为：2.54×1，故答案为2.54×1．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14、﹣4．【解析】

作AN⊥x轴于N，可设A（x，﹣x），在Rt△OAN中，由勾股定理得出方程，解方程求出x=﹣2，得出A（﹣2，2），即可求出k的值．【详解】解：作AN⊥x轴于N，如图所示：∵点A是直线y=﹣x与反比例函数y=的图象在第二象限内的交点，∴可设A（x，﹣x）（x＜0），在Rt△OAN中，由勾股定理得：x2+（﹣x）2=42，解得：x=﹣2，∴A（﹣2，2），代入y=得：k=﹣2×2=﹣4；故答案为﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法；求出点A的坐标是解决问题的关键．15、（672，2019）【解析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除，就可以得到棋子的位置.详解：解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，∵2018÷3=672…2，∴走完第2018步，为第673个循环组的第2步，所处位置的横坐标为672，纵坐标为672×3+3=2019，∴棋子所处位置的坐标是（672，2019）．故答案为：（672，2019）．点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数（一般是一个很大的数）除以最小正周期，余数是几，就是第几步，特别余数是1，就是第一步，余数是0，就是最后一步.16、3.86×108【解析】根据科学记数法的表示（a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数）形式可得：3.86亿=386000000=3.86×108.故答案是：3.86×108.17、-1【解析】试题分析：根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k＜1，b＜1，随便写出一个小于1的b值即可．∵一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，∴k＜1，b＜1．考点：一次函数图象与系数的关系三、解答题（共7小题，满分69分）18、(1)；（2）80；（3）100.【解析】

(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=得出,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF＝,sin∠FAK＝,∴,设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴，∴,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC＝，cos∠ABC＝，∴BA＝BC·cos∠ABC＝，BK=BA·cos∠ABC＝∴EG=8,另一方面：ED=BC=10,∴EH·EA=80(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,，∴，同理：∵FG2=BF·CG∴，∴ED2=KE·DT∴，又∵△KEB∽△CDT,∴，∴KE·DT＝BE2，∴BE2＝ED2∴BE=ED∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.19、(1)a+bab【解析】

（1）先通分，再进行同分母的减法运算，然后约分得到原式＝a+b（2）利用根与系数的关系得到a+b＝【详解】解：（1）A==(a+b)(a-b)（2）∵a、b是方程x2∴a+b=4，ab=-1∴A=【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝020、详见解析【解析】

作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．21、（1）25π；（2）点B的坐标为或；（3）m≤－5或m≥2【解析】

(1)根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的面积公式，可得答案；(2)根据确定圆,可得l与⊙A相切,根据圆的面积,可得AB的长为3,根据等腰直角三角形的性质,可得，可得答案；(3)根据圆心与直线垂直时圆心到直线的距离最短,根据确定圆的面积,可得PB的长,再根据30°的直角边等于斜边的一半，可得CA的长.【详解】（1）(1)∵A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(3,3)，∴AB==5，根据题意得点A，B的“确定圆”半径为5，∴S圆=π×52=25π．故答案为25π；（2）∵直线y＝x＋b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x＋b与⊙A相切于点B，如图，∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．，①当b＞0时，则点B在第二象限．过点B作BE⊥x轴于点E，∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，∴．∴．②当b＜0时，则点B'在第四象限．同理可得．综上所述，点B的坐标为或．（3）如图2，，直线当y＝0时，x＝3，即C（3，0）．∵tan∠BCP＝，∴∠BCP＝30°，∴PC＝2PB．P到直线的距离最