2024年中考数学复习(全国版)第三讲 特殊三角形及其性质(含解直角三角形)(考点精析+真题精讲)(解析版)_第1页
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备战2024中考数学一轮复习备战2024中考数学一轮复习第3讲特殊三角形及其性质№考向解读第3讲特殊三角形及其性质№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←→➋真题精讲←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3讲特殊三角形及其性质→➊考点精析←一、等腰三角形1.等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角).推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边,即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°.2.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.1.等腰三角形是轴对称图形,它有1条或3条对称轴.2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.3.等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).4.等腰三角形的三边关系:设腰长为a,底边长为b,则<a.5.等腰三角形的三角关系:设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=.二、等边三角形1.定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.3.判定:三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.4.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.5.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.6.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.三、直角三角形与勾股定理1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.性质:(1)直角三角形两锐角互余;(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.判定:(1)两个内角互余的三角形是直角三角形;(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理及逆定理(1)勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即:a2+b2=c2.(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.→➋真题精讲←题型一直角三角形1.(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图,在中,为的中点.若点在边上,且,则的长为(

A.1 B.2 C.1或 D.1或2【答案】D【分析】根据题意易得,然后根据题意可进行求解.【详解】解:∵,∴,∵点D为的中点,∴,∵,∴,①当点E为的中点时,如图,

∴,②当点E为的四等分点时,如图所示:

∴,综上所述:或2;故选D.【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线,熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,若∠B=30°,BD=6,则CD的长为__________.【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.又AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD=6,∴CD=AD=3,故答案为:3.3.(2023·云南初二月考)直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm,则这个直角三角形的周长为__________.【答案】cm【解析】∵直角边长为:cm和cm,∴斜边=(cm),∴周长=(cm).故答案为:cm【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长,面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键4.(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为__________.

【答案】【分析】根据正方形的性质,以及七巧板的特点,求得的长,即可求解.【详解】解:如图所示,

依题意,,∴图中阴影部分的面积为故答案为:.【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理,七巧板,熟练掌握以上知识是解题的关键.5.(2023·河南·统考中考真题)矩形中,M为对角线的中点,点N在边上,且.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,的长为______.【答案】2或【分析】分两种情况:当时和当时,分别进行讨论求解即可.【详解】解:当时,

∵四边形矩形,∴,则,由平行线分线段成比例可得:,又∵M为对角线的中点,∴,∴,即:,∴,当时,

∵M为对角线的中点,∴为的垂直平分线,∴,∵四边形矩形,∴,则,∴∴,综上,的长为2或,故答案为:2或.【点睛】本题考查矩形的性质,平行线分线段成比例,垂直平分线的判定及性质等,画出草图进行分类讨论是解决问题的关键.6.(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中,小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D,E,F分别为,,的中点,G,H分别为,的中点),小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠,不留空隙),则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________,最大值为___________________.

【答案】8【分析】根据题意,可固定四边形,平移或旋转其它图形,组合成四边形,求出周长,判断最小值,最大值.【详解】

如图1,,,∴四边形周长=;

如图2,∴四边形周长为;故答案为:最小值为8,最大值.【点睛】本题考查图形变换及勾股定理,通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键.7.(2023·吉林长春·统考中考真题)如图①.在矩形.,点在边上,且.动点从点出发,沿折线以每秒个单位长度的速度运动,作,交边或边于点,连续.当点与点重合时,点停止运动.设点的运动时间为秒.()

(1)当点和点重合时,线段的长为__________;(2)当点和点重合时,求;(3)当点在边上运动时,的形状始终是等腰直角三角形.如图②.请说明理由;(4)作点关于直线的对称点,连接、,当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时,直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)(3)见解析(4)或或【分析】(1)证明四边形是矩形,进而在中,勾股定理即可求解.(2)证明,得出;(3)过点作于点,证明得出,即可得出结论(4)分三种情况讨论,①如图所示,当点在上时,②当点在上时,当重合时符合题意,此时如图,③当点在上,当重合时,此时与点重合,则是正方形,即可求解.【详解】(1)解:如图所示,连接,

∵四边形是矩形∴∵,∴四边形是矩形,当点和点重合时,∴,在中,,故答案为:.(2)如图所示,

∵,,∴,∴∴,∴,∵,,∴;(3)如图所示,过点作于点,

∵,,∴,则四边形是矩形,∴又∵∴,∴∴∴是等腰直角三角形;(4)①如图所示,当点在上时,

∵,在中,,则,∵,则,,在中,,∴解得:当时,点在矩形内部,符合题意,∴符合题意,②当点在上时,当重合时符合题意,此时如图,

则,,在中,,解得:,③当点在上,当重合时,此时与点重合,则是正方形,此时

综上所述,或或.【点睛】本题考查了矩形的性质,正方形的性质与判定,勾股定理,求正切,轴对称的性质,分类讨论,分别画出图形,数形结合是解题的关键.题型二等腰三角形8.下列推理中,错误的是A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形【答案】B【解析】A,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形,故正确;B,条件重复且条件不足,故不正确;C,∵∠A=60°,∠B=60°,∴∠C=60°,∴△ABC是等边三角形60°,故正确;D,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到,故正确.故选B.9.(2023·四川省武胜县万善初级中学初二月考)等腰三角形的一个内角为40°,则其余两个内角的度数分别为A.40°,100° B.70°,70° C.60°,80° D.40°,100°或70°,70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时,另外两个内角=(180°–40°)÷2=70°;②若等腰三角形的底角为40°时,它的另外一个底角为40°,顶角为180°–40°–40°=100°.所以另外两个内角的度数分别为:40°、100°或70°、70°.故选D.【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o,解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时;②已知角为底角时.10.(2023·延安市实验中学初二期末)如图,在中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论不正确的是A.ADBC B.∠B=∠CC.AB=2BD D.AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中,AB=AC,D是BC中点,根据等腰三角形的三线合一性质可得,A.AD⊥BC,故A选项正确;B.∠B=∠C,故B选项正确;C.无法得到AB=2BD,故C选项错误;D.AD平分∠BAC,故D选项正确.故选C.【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质,本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.11.(2023·四川眉山·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为,过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点C、点A,直线与交于点D.与y轴交于点E.动点M在线段上,动点N在直线上,若是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,则点M的坐标为________

【答案】或【分析】如图,由是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,可得在以为直径的圆上,,可得是圆与直线的交点,当重合时,符合题意,可得,当N在的上方时,如图,过作轴于,延长交于,则,,证明,设,可得,,而,则,再解方程可得答案.【详解】解:如图,∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形,∴在以为直径的圆上,,∴是圆与直线的交点,

当重合时,∵,则,∴,符合题意,∴,当N在的上方时,如图,过作轴于,延长交于,则,,∴,

∵,,∴,∴,∴,设,∴,,而,∴,解得:,则,∴,∴;综上:或.故答案为:或.【点睛】本题考查的是坐标与图形,一次函数的性质,等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理的应用,本题属于填空题里面的压轴题,难度较大,清晰的分类讨论是解本题的关键.12.(2023·山东初二期末)如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D为AB边的中点,DE⊥BC于E,若BE=1,则AC的长为__________.【答案】4【解析】∵DE⊥BC,∠B=∠C=60°,∴∠BDE=30°,∴BD=2BE=2,∵点D为AB边的中点,∴AB=2BD=4,∵∠B=∠C=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=4,故答案为:4.【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质,利用直角三角形的性质求得AB=2BD是解题的关键.13.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,.过点作,延长到,使,连接.若,则________________.(结果保留根号)

【答案】/【分析】如图,过作于,设,可得,证明,,为等腰直角三角形,,,由勾股定理可得:,再解方程组可得答案.【详解】解:如图,过作于,

设,∵,,∴,∵,∴,,为等腰直角三角形,∴,∴,由勾股定理可得:,整理得:,解得:,经检验不符合题意;∴;故答案为:.【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质,勾股定理的应用,一元二次方程的解法,作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键.14.(2023·北京·统考中考真题)在中、,于点M,D是线段上的动点(不与点M,C重合),将线段绕点D顺时针旋转得到线段.

(1)如图1,当点E在线段上时,求证:D是的中点;(2)如图2,若在线段上存在点F(不与点B,M重合)满足,连接,,直接写出的大小,并证明.【答案】(1)见解析(2),证明见解析【分析】(1)由旋转的性质得,,利用三角形外角的性质求出,可得,等量代换得到即可;(2)延长到H使,连接,,可得是的中位线,然后求出,设,,求出,证明,得到,再根据等腰三角形三线合一证明即可.【详解】(1)证明:由旋转的性质得:,,∵,∴,∴,∴,∴,即D是的中点;(2);证明:如图2,延长到H使,连接,,∵,∴是的中位线,∴,,由旋转的性质得:,,∴,∵,∴,是等腰三角形,∴,,设,,则,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,在和中,,∴,∴,∵,∴,即.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,旋转的性质,三角形外角的性质,三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识,作出合适的辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.15.(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①,和是等边三角形,连接,点F,G,H分别是和的中点,连接.易证:.若和都是等腰直角三角形,且,如图②:若和都是等腰三角形,且,如图③:其他条件不变,判断和之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.

【答案】图②中,图③中,证明见解析【分析】图②:如图②所示,连接,先由三角形中位线定理得到,,再证明得到,则,进一步证明,即可证明是等腰直角三角形,则;图③:仿照图②证明是等边三角形,则.【详解】解:图②中,图③中,图②证明如下:如图②所示,连接,∵点F,G分别是的中点,∴是的中位线,∴,同理可得,∵和都是等腰直角三角形,且,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴是等腰直角三角形,∴;

图③证明如下:如图③所示,连接,∵点F,G分别是的中点,∴是的中位线,∴,同理可得,∵和都是等腰三角形,且,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴是等边三角形,∴.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,三角形中位线定理,等边三角形的性质与判定,勾股定理等等,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.16.(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在中,,D是边上一点,且(n为正整数),E是边上的动点,过点D作的垂线交直线于点F.【初步感知】(1)如图1,当时,兴趣小组探究得出结论:,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当,且点F在线段上时,试探究线段之间的数量关系,请写出结论并证明;②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明)【拓展运用】(3)如图3,连接,设的中点为M.若,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n的代数式表示).【答案】(1)见解析(2)①,证明过程略;②当点F在射线上时,,当点F在延长线上时,(3)【分析】(1)连接,当时,,即,证明,从而得到即可解答;(2)①过的中点作的平行线,交于点,交于点,当时,,根据,可得是等腰直角三角形,,根据(1)中结论可得,再根据,,即可得到;②分类讨论,即当点F在射线上时;当点F在延长线上时,画出图形,根据①中的原理即可解答;(3)如图,当与重合时,取的中点,当与重合时,取的中点,可得的轨迹长度即为的长度,可利用建系的方法表示出的坐标,再利用中点公式求出,最后利用勾股定理即可求出的长度.【详解】(1)证明:如图,连接,

当时,,即,,,,,,,即,,,在与中,,,,;(2)①证明:如图,过的中点作的平行线,交于点,交于点,

当时,,即,是的中点,,,,,,,是等腰直角三角形,且,,根据(1)中的结论可得,;故线段之间的数量关系为;②解:当点F在射线上时,如图,在上取一点使得,过作的平行线,交于点,交于点,

同①,可得,,,,,同①可得,,即线段之间数量关系为;当点F在延长线上时,如图,在上取一点使得,过作的平行线,交于点,交于点,连接

同(1)中原理,可证明,可得,,,,,同①可得,即线段之间数量关系为,综上所述,当点F在射线上时,;当点F在延长线上时,;(3)解:如图,当与重合时,取的中点,当与重合时,取的中点,可得的轨迹长度即为的长度,

如图,以点为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,过点作的垂线段,交于点,过点作的垂线段,交于点,

,,,,,,,是的中点,,,,,根据(2)中的结论,,,,,,.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定及性质,相似三角形的判定及性质,平行线的性质,正确地画出图形,作出辅助线,找对边之间的关系是解题的关键.17.(2023·重庆·统考

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