备考2024年中考数学专题突破（全国通用）专题1-1 一网打尽全等三角形模型 ·十个模型（解析版）

专题1-1一网打尽全等三角形模型（10个模型）导语：熟悉模型，补全结构条件不足另外凑，凑不出来挠挠头，下次考试再来秀目录模型梳理 2题型一倍长中线模型 14题型二一线三等角模型 16题型三半角模型 232022·山东日照真题 24题型四手拉手模型 312022·张家界真题 342022·贵阳中考 35题型五对角互补+邻边相等模型 44题型六平行线夹中点模型 47题型七截长补短模型 49题型八绝配角模型 592023·深圳宝安区二模 622023·深圳中学联考二模 63题型九婆罗摩笈模型 692022武汉·中考真题 702020·宿迁中考真题 75题型十脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 86

模型梳理模型1倍长中线模型（一）基本模型AABDCE已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE．结论1：△ACD≌△EBD．AABDCFE已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF．结论2：△BDE≌△CDF．已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS）（二）结论推导结论1：△ACD≌△EBD．证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．结论2：△BDE≌△CDF．证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．（三）解题技巧遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形．

模型2一线三等角模型（一）基本模型AABDPC123已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．结论1：△CAP≌△PBD．1123DPCBA已知：点P在AB的延长线上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．结论2：△APC≌△BDP．（二）结论推导结论1：△CAP≌△PBD．证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．结论2：△APC≌△BDP．证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．（三）解题技巧在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查．

模型3半角模型（一）基本模型ABABCDEF已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．ADADBECF已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．ABABCED已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE2＝BD2＋CE2．（二）结论推导结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．ABCDEFG∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠ABCDEFG∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．ADBECFG∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90ADBECFG∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．结论3：DE2＝BD2＋CE2．证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF．ABCEDF∵△ABCABCEDF∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠ECF＝90°，∴EF2＝CF2＋CE2＝BD2＋CE2，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．（三）解题技巧对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论．模型4手拉手模型（一）基本模型AADEBCO已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA．结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，结论2：∠BOC＝∠BAC，结论3：OA平分∠BOE．（二）结论推导结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，ADEBCOADEBCOF结论2：∠BOC＝∠BAC．证明：设OB与AC相交于点F．∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．ADEBCOADEBCOGH证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H．∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD＝S△ACE，∴＝．∵BD＝CE，∴AG＝AH，∴OA平分∠BOE．（三）解题技巧如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等．模型5 对角互补+邻边相等模型模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。如图，，作垂线 旋转 模型6平行线夹中点模型如图，AB//CD，点E是BC的中点． 【模型分析】如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS）口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行模型7截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长:指在长线段中截取一段等于已知线

段:补短:指将短线段延长,延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等服三角形、角平分线等关键词

句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等)。

①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型8绝配角模型（一）基本模型AABCDE已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE．结论：AC＝EC．（二）结论推导结论：AC＝EC．证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．（三）解题技巧如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法．模型9婆罗摩笈模型如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN．【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q，易证：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM∴AP＝DQ易证：△APN≌△DQN∴AN＝DN②如图，由①知，S＝S，S＝S，S＝S∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得证.③如图，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证.【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE．【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA∴BC＝PD，BE=PA∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，易证：△CBE≌△PAB，∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90°模型10脚蹬脚模型（海盗埋宝藏）模型成立条件：等腰三角形顶角互补已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点，则△BFD是等腰直角三角形.ABCABCEDABCEDF【证明】法一：倍长中线延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）；所以CG=ED=AD，∠2=∠7；又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和），∠4=∠6=90°；所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS），所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF。法二：构造手拉手模型将△ABC沿AB对称，将△ADE沿AD对称连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 题型一倍长中线模型如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F，求证：AF＝EF．AABCDFE证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．AABCDFEG∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED．∵∠AEF＝∠BED，∴∠DAC＝∠AEF，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E是BC的中点，过点E作EF∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G，求证：BG＝CF．AAGBEDCF证明：延长GE到点H，使EH＝EG，连接CH．AAGBEDCFH∵点E是BC的中点，∴BE＝CE．∵∠BEG＝∠CEH，∴△BEG≌△CEH，∴BG＝CH，∠G＝∠H．∵EF∥AD，∴∠G＝∠BAD，∠CFE＝∠DAC．∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠DAC，∴∠H＝∠CFE，∴CF＝CH，∴BG＝CF．如图，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，连接EC并延长，交BD于点F，求证：F为BD的中点．AABCDEF证明：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．AABCDEFG则∠G＝∠DEF，∠GBF＝∠EDF．∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，∴∠ACE＝∠AEC．∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BCF＝∠DEF，∴∠G＝∠BCF，∴BG＝BC，∴BG＝DE，∴△BGF≌△DEF，∴BF＝DF，即F为BD的中点．考点分析：全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．思路点拨：过点B作BG∥DE，交EF的延长线于点G．先根据△ABC≌△ADE，得AC＝AE，BC＝DE，再证BG＝BC，最后证△BGF≌△DEF即可．题型二一线三等角模型基础篇如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，求证：CE＝BD．BBCADE证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBC＝90°．∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠EBC．∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴CE＝BD．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E，若BE＝6，DE＝4，则△ACE的面积为_________．AABCDE【答案】2【解析】∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠D＝∠BEC＝90°，∴∠EBC＋∠ECB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90°∴∠DCA＝∠EBC．∵AC＝BC，∴△CDA≌△BEC，∴AD＝CE，CD＝BE＝6．∵DE＝4，∴AD＝CE＝2，∴S△ACE＝CE·AD＝×2×2＝2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，以AC为直角边向外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为_________．AABCD【答案】【解析】过点D作DE⊥BC于点E．AABECD∵∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝，∴AB＝＝2，∠BAC＋∠ACB＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠ECD＋∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠ECD．∵∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD，∴△ABC＝△CED，∴DE＝BC＝1，CE＝AB＝2，∴BE＝3，∴BD＝＝．考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．思路点拨：过点D作DE⊥BC于点E，先证△ABC≌△CED，再在Rt△BDE中用勾股定理求解．如图，在中，，过点B作，延长到点D，使得，连接，，若，，则的长为________．

【答案】【详解】解：过D点分别作于点G，交的延长线于点F，勾股即可

如图，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求证：CD＝AB．BBCAD证明：过点C作CE⊥BD于点E．BBCADE∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBE＝90°．∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE．∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE．∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴BE＝DE，∴BC＝CD，∴CD＝AB．提高篇如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，点E在BC上，点F是CE的中点，连接AF，DF，求证：AF＝DF且AF⊥DF．AABCEDF【解析】证明：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．AABCGEHDF∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴AG＝BC，BH＝BE．∵点F是CE的中点，∴CF＝CE，∴FH＝BC－BH－CF＝BC－BE－CE＝EQ\F(1,2)BC，∴AG＝FH，∴FG＝FH－GH＝AG－GH＝BG－GH＝BH＝DH．∵∠AGF＝∠FHD＝90°，∴△AFG≌△FDH，∴AF＝DF，∠AFG＝∠FDH．∵∠DFH＋∠FDH＝90°，∴∠DFH＋∠AFG＝90°，∴∠AFD＝90°，∴AF⊥DF．考点分析：等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．思路点拨：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H．先根据等腰直角三角形的性质推导等线段，再证△AFG≌△FDH，即可得到结论．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________．AAEDBC【答案】8【解析】过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F．AAEDBCF∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°，∴∠FCA＝∠EBC．∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE，∴AF＝CE＝4，∴S△ACE＝CE·AF＝×4×4＝8．如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，点A在边DE上，连接BE交CD于点F，求证：AE＝2DF．BBCADEF【答案】证明：过点B作BG⊥CD于点G．则∠BGC＝∠CDA＝90°，BCADEFG∴∠BCADEFG∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠GCB＝90°，∴∠DCA＝∠GBC．∵AC＝BC，∴△CAD≌△BCG，∴AD＝CG，CD＝BG．∵CD＝DE，∴AE＝DG，BG＝DE．∵∠BFG＝∠EFD，∠BGF＝∠EDF＝90°，∴△BFG≌△EFD，∴FG＝DF，∴AE＝DG＝2DF．如图，把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，过点D作DE⊥AC于点E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的长．AABCDE解：过点B作BF⊥AC于点F．AABCDEF∵∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°．∵∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝8．∵BE＝BC，BF⊥AC，∴EF＝CF．设EF＝CF＝x，则AE＝8－x，AD＝AC＝8＋x．在Rt△AED中，82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，∴AE＝8－x＝6．如图，E为正方形ABCD外一点，连接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于点F，连接CF．（1）求∠AFD的度数；（2）求证：AF⊥CF．AADBCFE【答案】解：（1）过点A作AG⊥AF交DE于点G．AADBCFGNEM∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠FAG＝∠BAD，∴∠FAB＝∠GAD．∵AF平分∠BAE，∴∠FAB＝∠FAE，∴∠FAE＝∠GAD．∵AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADG．∴△AEF≌△ADG，∴AF＝AG，∴∠AFD＝∠AGF＝45°．（2）分别过点A，C作DE的垂线，垂足为M，N．则∠AMD＝∠DNC＝90°，∴∠ADM＋∠DAM＝90°．∵正方形ABCD，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADM＋∠CDN＝90°，∴∠DAM＝∠CDN，∴△ADM≌△DCN，∴AM＝DN，DM＝CN．∵∠AMF＝90°，∠AFD＝45°，∴AM＝FM，∴DN＝FM，∴DM＝FN，∴CN＝FN，∴∠CFN＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CF．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，DE⊥AB，交AC于点E，交BC的延长线于点F，若DF＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．AABCFDE解：过点A作AG⊥AB，过点B作BG⊥BC，AG与BG交于点G，连接GF与AC交于点O，则∠GAB＝∠BDF＝90°．∴∠GBA＋∠AGB＝∠GBA＋∠DBF＝90°，AABCFDOEG∴∠AGB＝∠DBF．∵AB＝AC＝DF，∴△AGB≌△DBF，∴∠AGB＝∠ABC，AG＝DB，∴∠BGF＝∠BFG＝45°．设∠BAC＝2x，则∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∠GAO＝90°＋2x，∴∠AGB＝∠ABC＝90°－x，∴∠AGO＝45°－x，∴∠AOG＝45°－x，∴∠AGO＝∠AOG，∴AG＝AO，∴DB＝AO．∵AG⊥AB，DF⊥AB，∴AG∥DF，∠AGO＝∠EFO．∵∠AOG＝∠EOF，∴∠EFO＝∠EOF，EF＝EO，∴AD＋DE＝AB－DB－DF－EF＝m－AO－m－OE＝2m－AE＝2m－n．题型三半角模型例题例1如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D为△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长为_________．AAEFBCD考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质．思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2．【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝2．例2如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周长为2，则正方形ABCD的边长为_________．AADBECF【答案】1【解析】由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．思路点拨：由半角模型可知EF＝BE＋DF，则△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的边长为1．例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，则BF的长为_________．CCAEBF【答案】【解析】由半角模型可知EF2＝AE2＋BF2，则BF＝＝＝．思路点拨：由半角模型可知EF2＝AE2＋BF2，则BF＝＝．2022·山东日照真题例4如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．AACBMEPFN图1ACBMEPFN图2思路点拨：（1）由条件可得S矩形PMCN＝S△ABC，则S△PEF＝S△AEM＋S△BFN，＝，由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形；（2）①过点C作CH⊥EF于点H．当a＝b时，可得CM＝CN＝CH，△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，则∠ECM＝∠ECH，∠FCN＝∠FCH，∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°；②将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．可证△CEF≌△CGF，则①中的结论成立．【解析】（1）由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形，理由如下：∵S△ABC＝＝8，S矩形PMCN＝ab＝8，∴S△ABC＝S矩形PMCN，∴S△PEF＝S△AEM＋S△BFN，∴＝，∴＝，∴由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形．（2）①当a＝b时，＝8，∴CM＝CN＝a＝．如图1，过点C作CH⊥EF于点H．∵AC＝BC＝4，∴CH＝，∴CM＝CN＝CH，∴△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，∴∠ECM＝∠ECH，∠ECN＝∠FCH，∴∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°．②当a≠b时，①中的结论仍然成立，理由如下：如图2，将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．则∠FBG＝90°，∴＝＝．∵＝，∴EF＝FG．∵CE＝CG，CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴∠ECF＝∠GCF＝∠ECG＝∠ACB＝45°．AACBMEPFN图1HACBMEPFNG图2基础如图，D为等边△ABC外一点，BD＝CD，∠BDC＝120°，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝60°，若BE＝1，△AEF的周长为4，则AE的长为_________．AAEFBCD【答案】1【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，则△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝2AB＝4，∴AB＝2．∵BE＝1，∴AE＝1．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，且EF＝BE＋DF．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）作∠EFC的平分线FG交AE的延长线于G，连接CG．探究BC，CF与CG的数量关系，并证明．AADBECFG【解析】解：（1）延长CB到点P，使BP＝DF，连接AP．∵正方形ABCD，∴∠ABP＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABP≌△ADF，∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF．∴∠PAF＝∠BAD＝90°．∵EF＝BE＋DF，EP＝BE＋BP，∴EF＝EP．∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEP，∴∠EAF＝∠EAP＝45°．（2）过点G作GH⊥DC于点H．ADBECFPGH∵△ADBECFPGH∵△AEF≌△AEP，∠AEF＝∠P，∴∠AEF＝∠AFD．∵FG平分∠EFC，∴∠EFG＝∠GFH，∴∠AFE＋∠EFG＝∠AFD＋∠GFH＝90．∵∠EAF＝45°，∴AF＝FG，∴△ADF≌△FHG，∴AD＝FH，DF＝GH．∵AD＝DC，∴FH＝DC，∴CH＝DF，CH＝GH＝，∴FH－CF＝，∴BC－CF＝．提高如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EPF＝45°，则△CEF的周长为_________．CCABEFP【答案】4【解析】过点P作AC，BC，AB的垂线，垂足为M，N，H．CCABHEFPMN∵两锐角的角平分线交于点P，∴PM＝PH＝PN，∴四边形PMCN是正方形，∴CM＝CN＝PM＝PN．∵∠EPF＝45°，∴EF＝EM＋FN．∵S△ABC＝＝，∴PM(AC＋BC＋AB)＝，∴PM(6＋8＋10)＝6×8，∴PM＝2，CM＝CN＝2，∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EM＋FN＝CM＋CN＝2＋2＝4．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F，连接EF，AC，DE，EF分别与AC交于点P，Q，则PQ＝_________．FFBACDEPQ【答案】【解答】连接DQ，过点F作FG⊥FB，交CA的延长线于点G．FFBACDEPQG∵正方形ABCD，∴DA＝DC，∠DAF＝∠DCE＝∠ADC＝∠B＝90°，∠QCE＝45°，∴FG∥BC，∴∠G＝∠QCE＝45°，∴AF＝FG．∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE，DF＝DE，∴FG＝CE，∴△FQG≌△EQC，∴QE＝QF，QG＝QC，∴∠QDE＝45°，∴AQ2＋CP2＝PQ2．∵正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，∴AC＝，AF＝CE＝2，∴AG＝，∴CG＝，∴QG＝QC＝，∴AQ＝，∴＝，解得PQ＝．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为边AC上一点，将△BCD沿BD翻折得到△BED，延长DE到点F，使∠DBF＝45°，若S△ADF＝S△BEF，则CD2＋EF2的值是_________．FFBCADE【答案】33【解析】将四边形AFBC补成矩形GHBC，使点F在GH上．FFGHBCADE∵∠DBF＝45°，∴∠HBF＋∠DBC＝∠EBF＋∠DBE．∵∠DBC＝∠DBE，∴∠HBF＝∠EBF．∵∠H＝∠BEF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，∴BH＝BE＝BC＝8，∴HF＝EF，四边形GHBC是正方形，∴DF＝DE＋EF＝CD＋HF．设CD＝a，HF＝b，则DF＝a＋b，DG＝8－a，FG＝8－b，在Rt△DFG中，(8－a)2＋(8－b)2＝(a＋b)2，整理得64－8a－8b＝ab． ①∵S△ADF＝S△BEF，∴S△BHF＝S△BEF＝4S△ADF，∴8b＝4(6－a)(8－b)，整理得8a＋8b－48＝ab． ②由①②解得a＋b＝7，ab＝8，∴CD2＋EF2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝72－2×8＝33．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且∠EAF＝45°．（1）探究EF，BE，DF之间的数量关系，并证明；（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的边长．AADBECF【解析】（1）证明：在BC上截取BG＝DF，连接AG．AADBECGF∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF．∵∠BAD＝90°，∴∠BAG＋∠DAG＝90°，∴∠DAF＋∠DAG＝90°，∴∠GAF＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠EAF＝45°，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF，∴EF＝EG＝BE－BG＝BE－DF．（2）设正方形ABCD的边长为x．则CF＝x＋2，EF＝BE－DF＝BC＋CE－DF＝x＋5－2＝x＋3．在Rt△CEF中，52＋(x＋2)2＝(x＋3)2，解得x＝10，即ABCD的边长为10．（1）问题背景：如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E、F在线段BC上，∠EAF＝45°，用等式表示线段BE，EF与CF的数量关系，并证明；（2）拓展应用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，点F在BC的延长线上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的长．BBCEFABCFAE图1图2【答案】（1）BE2＋CF2＝EF2．证明：如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ACD，连接DF．BBCFAE图1DDBCEFA图2∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠DCF＝90°，∴CD2＋CF2＝DF2，∴BE2＋CF2＝DF2．∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠CAF＝45°，∴∠CAD＋∠CAF＝45°，∴∠EAF＝∠DAF＝45°．∵AE＝AD，AF＝AF，∴△AEF≌△ADF，∴DF＝EF，∴BE2＋CF2＝EF2．（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ACD，连接DF．则∠ACD＝∠B＝45°，∠DAE＝90°．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠BCD＝90°，∴∠DCF＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠DAF，∵AE＝AD，AF＝AF，∴△AEF≌△ADF，∴DF＝EF＝EC＋CF＝1＋2＝3，∴BE＝CD＝＝＝．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，∠ABF的平分线与EF的延长线交于点G．（1）如图1，当点F落在AD边上时，求DF的长；（2）如图2，若＝，求CE的长；（3）当点E从点C运动到点D时，直接写出点G运动的路径长．BBC图1ADEFGGBC图2ADF解：（1）由题意，AD＝BF＝BC＝5，∴AF＝＝＝4，∴DF＝AD－AF＝5－4＝1．（2）过点G作BC的平行线MN，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．GGMNBCADF则∠BMG＝∠BFG＝90°．∵∠MBG＝∠FBG，BG＝BG，∴△BMG≌△BFG，∴MG＝FG，BM＝BF＝BC，∴四边形BCNM为正方形．由＝，可设EF＝3x，则CE＝3x，MG＝FG＝10x，GE＝13x，GN＝5－10x，EN＝5－3x．在Rt△GEN中，(5－10x)2＋(5－3x)2＝(13x)2，解得x＝－（舍去）或x＝，∴CE＝3x＝1．（3）点G运动的路径长为．提示：当点E与点C重合时，EF＝CE＝0，EN＝5，GE＝FG＝MG＝5－GN．在Rt△GEN中，52＋GN2＝(5－GN)2，解得GN＝0．当点E与点D重合时，EF＝CE＝CD＝3，EN＝2，FG＝MG＝5－GN，GE＝EF＋FG＝8－GN．在Rt△GEN中，22＋GN2＝(8－GN)2，解得GN＝，点G运动的路径长为．题型四手拉手模型例题例1在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，探究且BD与CE的数量关系和位置关系，并证明．AADEBC例2如图，P为正方形ABCD外一点，∠APD＝45°，求证：∠BPC＝45°．AADPBC例3已知△ABC为等边三角形．（1）如图1，P为△ABC外一点，∠BPC＝120°，连接PA，PB，PC，求证：PA＝PB＋PC；（2）如图2，P为△ABC内一点，PB＞PC，∠BPC＝150°，若PA＝4，△PBC的面积为，求△ABC的面积．AABCPABCP图1图2思路点拨：（1）将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ；（2）将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACQ，连接PQ，证△ACQ和△PCQ都是直角三角形，△PCQ的面积为△PBC的面积的两倍，△ABC的面积＝△APQ的面积＋△PCQ的面积＋△PBC的面积．基础篇1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BAC＝90°，D，E，C三点在一条直线上，BD＝1，BC＝，求DE的长．AABCDE【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝1，∠ABD＝∠ACE，∴∠BDC＝∠BAC＝90°，∴DC＝＝3，∴DE＝DC－CE＝3－1＝2．2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在△ABC内，BD的延长线与CE交于点F，若点F为CE的中点，AD＝3，BD＝，求DF的长．AABCDEF【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝，∠ABD＝∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC＝90°．∵点F为CE的中点，∴EF＝．∵∠DAE＝90°，AD＝3，∴DE＝．∴DF＝＝43．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为．【答案】16【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，过点A1作于点D∴∴×8×4=16，又∵，，∴=16．提高篇4．如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________．AABCD【答案】【解析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，连接DE．AABCDE则BD＝AE，△CDE为等边三角形，DE＝CD＝2，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°，∴BD＝AE＝＝＝2022·张家界真题5．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）．A．B．C．D．AABCO【答案】C【解析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△CDB，连接OD．AABCDO则CD＝OA＝2，△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1．∵OC＝，∴OC2＋OD2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴S△COD＝＝，S△BOD＝＝，∴S△AOB＋S△BOC＝S△CDB＋S△BOC＝S△BOD＋S△COD＝．2022·贵阳中考6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________．CCABDE【答案】【解析】过点C作CF⊥CD，交BE于点F．CCABDEFG则△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°．∵BE＝2AD，∴BE＝2BF，∴BF＝EF，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF＝22.5°，∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°．过点E作EG⊥AB于点G．∴EG＝EC，∴AE＝＝，∴S△ABE＝S△ABC＝＝．7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，AB⊥AC，若∠ABD＝30°，求∠ACD的度数．BBCAD解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，连接BE，CE，DE，CE交BD于点O．BBCADEO∵AB＝AC，AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°．∵AD∥BC，∴∠BAD＝135°，∴∠CAE＝135°，∴∠BAE＝135°，∴∠BAD＝∠BAE．∵AB＝AB，AD＝AE，∴△ABD≌△ABE，∴BD＝BE，∠ABE＝∠ABD＝30°，∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形．∵∠ADB＝∠AEC，∴∠EOD＝∠EAD＝90°，∴OB＝OD，∴BC＝CD，∴∠BDC＝∠DBC．∵∠ABC＝45°，∠ABD＝30°，∴∠DBC＝15°∴∠BDC＝15°，∴∠BCD＝150°，∴∠ACD＝105°．8．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为．【答案】【详解】过点作交延长线于点，连接，如图，

根据旋转有：，，∵，，∴，∵，∴，即，∴，即，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，又，∴为等腰直角三角形，

∴，∴，∴，∴9．如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为．【答案】【详解】延长至，使得，连接，如图∵∴为等边三角形∵绕着点逆时针旋转60°得到∴为等边三角形∴，∵即在和中∴（）∴过点作于点∴∴∴，∴∴10．已知△ABC是等边三角形，PA＝5，PB＝3．（1）如图1，点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数；（2）如图2，点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．BBC图1PABC图2PA【解答】（1）如图1，将△BPC绕点C顺时针旋转60°到△AQC，连接PQ．则△PQC是等边三角形，AQ＝PB＝3，∴∠PQC＝60°，PQ＝PC＝4．∵PA＝5，∴AQ2＋PQ2＝PA2，∴∠AQP＝90°，∴∠BPC＝∠AQC＝∠AQP＋∠PQC＝90°＋60°＝150°．（2）如图2，将△BPC绕点C顺时针旋转60°到△AQC，连接PQ．则△PQC是等边三角形，AQ＝PB＝3，∠PAQ＝360°－∠PAC－∠QAC＝360°－∠PAC－∠PBC＝∠APB＋∠ACB＝60°＋60°＝120°．AABC图2PQHABC图1PQ过点Q作QH⊥PA交PA的延长线于点H．则∠QAH＝60°，∴AH＝＝，QH＝＝，∴PH＝，PC＝QC＝＝7．11．△ABC和△DEC是等腰直角三角形，，，．(1)【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．(2)【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在△ACD中，，，，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．【答案】(1)，；(2)成立，理由见解析；(3)【详解】（1），，证明如下：在和中，，，，，，，，，，；（2）成立，理由如下：∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）如图，过点C作，垂足为C，交AD于点H，由旋转性质可得：，，∵，∴，∵，且，∴，

∴，∴，在中：，∵，∴，即，在和中，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，∴是直角三角形，在中，．

12．如图，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14【详解】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴BC=AC，EC=DC，∴BC-EC=AC-DC，∴BE=AD，∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故答案为BE=AD，BE⊥AD；（2）（1）中结论仍然成立，理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，∵BC=AC，EC=DC，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，如图2，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠BHC=90°，∵∠BHC=∠AHG，∴∠CAD+∠AHG=90°，∴∠AGH=90°，∴BE⊥AD；（3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，∴EM=CM=DE=10，在Rt△AMC中，AC=26，根据勾股定理得，，∴AE=AM-EM=24-10=14；②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N，∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，∴EN=CN=DE=10，在Rt△ANC中，AC=26，根据勾股定理得，∴AE=AN+EN=24+10=34；综上，AE的长为14或34题型五对角互补+邻边相等模型如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于．【答案】【详解】解：∵，，将绕点逆时针旋转，得，如图所示，∴，，∴，∵，则，∴点在的延长线上，且，，∴是等边三角形，过点作于，，∴，，∴，∴如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】如图，结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为．

【答案】【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，

四边形为正方形，，，，由，，，在和中，，，，，又，四边形为矩形，，，，为等腰直角三角形，，，解得：，，则如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【解答】如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG，

可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS），∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α题型六平行线夹中点模型如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，AE⊥BE，求证：AB＝AD＋BC．AADBCE证明：延长AE交BC的延长线于点F．AADBCFE∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，AE＝EF．∵AE⊥BE，∴AB＝BF＝BC＋CF＝AD＋BC．如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________．AABDCE【答案】3【解析】延长BE交CD于点F．AABFDCE∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE．∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DFE，∴BE＝EF，DF＝AB＝2．∵CD＝8，∴CD＝6．∵BC＝6，∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BF＝BC＝6，∴BE＝3．深圳中考如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且，，作AE⊥AF交BC于F，则BF＝（）A．1 B．EQ3－\R(,3) C．EQ\R(,5)－1 D．EQ4－2\R(,2)【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE＝DE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G＝30°，在△ADE和△GCE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠DAE＝∠G,∠AED＝∠GEC,CE＝DE))，∴△ADE≌△GCE(AAS)，∴CG＝AD＝EQ\R(,2),AE＝EG＝∴AG＝AE＋EG＝EQ2\R(,3)＋2\R(,3)＝EQ4\R(,3),∵AE⊥AF，∴AF＝AG＝EQ4\R(,3)×\F(\R(,3),3)＝4，GF＝AG÷cos30°＝EQ4\R(,3)÷\F(\R(,3),2)＝8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN＝AD＝EQ\R(,2),∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM＝CN，∵MG＝AG＝EQ4\R(,3)×\F(\R(,3),2)＝6，∴CN＝MG－MN－CG＝EQ6－\R(,2)－\R(,2)＝EQ6－2\R(,2),∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM＝∠G＝30°，∴FM＝AF＝EQ4×\F(1,2)＝2，∴BF＝BM－MF＝EQ6－2\R(,2)－2＝EQ4－2\R(,2)．题型七截长补短模型如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为________【答案】7【详解】解：如图，在CA上截取CN=CB,连接DN,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠NCD,∵CD=CD,∴△CBD≌△CND(SAS),∴BD=ND,∠B=∠CND,CB=CN,∵BC=9,AC=16,∴CN=9,AN=AC−CN=7,∵∠CND=∠NDA+∠A,∴∠B=∠NDA+∠A,∵∠B=2∠A,∴∠A=∠NDA,∴ND=NA,∴BD=AN=7.如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．

（1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；是正方形，；，，，∴，又∵，，在和中，，；（2）解：成立．在上取，连接，如图，为正方形，，，，，又∵，∴，在和中，，．如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．【答案】）EF=FC-BE．【分析】在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠ACB=50°，∠DBC=∠DCB=40°，进而证明△BED≅△CGD(SAS)得到DG=DE，据此方法再证明△EDF≅△GDF(SAS)，最后根据全等三角形的性质解题即可．【详解】在CA上截取CG=BE,连接DG∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=80°∴∠ABC=∠ACB=50°∵∠BDC=100°，BD=CD∴∠DBC=∠DCB=40°∴∠EBD=∠GCD=90°∵CG=BE，BD=CD在△BED和△CGD中，∵CG=BE，∠EBD=∠GCD，BD=CD∴△BED≅△CGD(SAS)∴DG=DE在△EDF和△GDF中，∵FD=FD，∠GDF=∠EDF，ED=GD∴△EDF≅△GDF(SAS)∴EF=FG=FC−CG=FC−BE如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴S△ECD＝•CD•CE＝×4×4＝8．（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，∴△ECM≌△DCF，∴CM＝CF，∵∠ADC＝60°，∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴△CFM是等边三角形，∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【详解】解：（1）∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∴∠FBC+∠FCB=1∴∠BFC=180°−(∠FBC+∠FCB)=180°−(90°−1∴∠BFC=90°+1（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得∠BFC=90°+1∵∠BAC=60°，∴∠BFC=120°，∴∠BFD=∠EFC=180°−∠BFC=60°，在△BFG与△BFD中，BF=BF∠FBG=∠FBD∴△BFG≅△BFD（SAS）∴∠BFD=∠BFG，∴∠BFD=∠BFG=60°，∴∠CFG=120°−∠BFG=60°，∴∠CFG=∠CFE=60°在△FEC与△FGC中，∠CFE=∠CFGCF=CF∴△FEC≅△FGC(ASA)，∴CE=CG，∵BC=BG+CG，∴BC=BD+CE；∵BD=4，BC=6.5，∴CE=2.5（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，∵∠BAC=60°，∴∠PAC=180°−∠BAC=120°，在△BFC与△CAP中，BF=AC∠BFC=∠CAP=120°∴△BFC≅△CAP（SAS）∴∠P=∠BCF，BC=PC，∴∠P=∠ABC，又∵∠P=∠BCF=1∴∠ACB=2∠ABC，又∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°，∴3∠ABC+60°=180°，∴∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠ABE=12课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．【解析】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案为：．（2）证明：如图3，在上截取，使，连接∵分别平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．

题型八绝配角模型例题【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长．AADBC解：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE．AAEDBC∵∠BAC＝90°，∴BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∠ABE＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EBD．∵∠ABD＝∠C，∴∠EBD＝∠C，∴∠EBC＝∠BDE，∴∠E＝∠EBC，∴EC＝BC＝＝＝5，∴AD＝AE＝EC－AC＝5－4＝1．考点分析：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理．思路点拨：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE，证∠E＝∠EBC．【例2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是BC上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交AC于点F．（1）求证：BE＝CF；（2）如图2，点M为AC上一点，且∠EMC＝2∠BDE，BE＝2，CE＝5，求EM的长．AADEFMBC图1ADEMBC图2解：（1）如图1，连接CD．AADEFMBC图1ADEFMBCG图2∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴BD＝CD，∠B＝∠DCF＝45°，∠BDC＝90°．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∴△BDE≌△CDF，∴BE＝CF．（2）如图2，在AC上取点F，使CF＝BE，延长AC到点G，使CG＝CF，连接EF，EG．则EF＝EG，∴∠G＝∠EFG，∠CEF＝∠CEG，∴∠FEG＝2∠CEF．连接CD，DF．则△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠DFE＝∠DCE，∴∠CDF＝∠CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠FEG＝2∠BDE．∵∠EMC＝2∠BDE，∴∠FEG＝∠EMC，∴∠MEG＝∠EFG＝∠G，∴EM＝MG．设EM＝MG＝x，则MC＝x－2．在Rt△EMC中，52＋(x－2)2＝x2，解得x＝，即EM的长为．考点分析：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理．思路点拨：（1）连接CD，△BDE≌△CDF；（2）在AC上取点F，使CF＝BE，延长AC到点G，使CG＝CF，连接EF，EG，导角证EM＝MG，在Rt△EMC中用勾股定理列方程求出EM的长．基础篇如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝6，BD＝1，则CD的长为_________．AACDB【答案】4【解析】延长CB到点E，使BE＝BD，连接AE．AAECDB∵∠ABC＝90°，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EAD．∵∠BAD＝∠C，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE，∴∠E＝∠CAE，∴EC＝AC＝6，∴CD＝EC－2BD＝6－2×1＝4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________．AABCDE【答案】2【解析】在BA上截取BF＝BD，连接DF．AABCDEF则∠BFD＝∠BDF＝90°－∠B＝90°－∠CDE＝∠CED，∴∠AFD＝∠AED，∠BDF＋∠CDE＝90°，∴∠EDF＝90°，∠ADF＝∠ADE＝45°．∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE＝3，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－3＝2．2023·深圳宝安区二模如图，在中，，点为中点，，则的值为．（后续计算用到相似）【答案】【详解】解：延长至E，使，连接，设，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，又，∴，故答案为：．2023·深圳中学联考二模如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则．【答案】【详解】解：如图所示，延长至使，作交于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，提高篇如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC＝2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF＝1，DE＝2，则CD的长为_________．AABCDFE【答案】3【解析】在AD上截取DG＝DC，连接CG．AABCDFEG设∠DBE＝x，则∠DAC＝2x，∠BAD＝60°＋2x，∠ABE＝∠AEB＝60°－x，∠D＝60°－2x，∠DGC＝∠EFC＝60°＋x，∴AE＝AB＝AC，∠AGC＝∠AFE．∵∠CAG＝∠EAF，∴△ACG≌△AEF，∴AG＝AF，∴EG＝CF＝1，∴CD＝DG＝DE＋EG＝2＋1＝3如图，在△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD⊥BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC的长为_________．BBECAD【答案】【解析】过点C作CF∥AB交BD的延长线于点F．BBEGCADF则∠ECF＝∠A，∠F＝∠ABE．∵EB＝EA，∴∠A＝∠ABE，∴∠ECF＝∠F，∴EF＝EC，∴BF＝AC＝11，∴DF＝BF－BD＝11－8＝3．在BD上取点G，使DG＝DF，连接CG．则CF＝CG，∴∠CGF＝∠F＝∠ECF＝∠A＝2∠CBE，∴∠CBG＝∠BCG，∴CG＝BG＝BD－DG＝5，∴CD＝＝＝4，∴BC＝＝＝．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，点E在AC边上，AE＝BC＝2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，CE的长为_________．AADEC′BC【答案】【解析】延长AC到点F，使CF＝CE，连接BF．AABCDEFC′∵∠ACB＝90°，∴BE＝BF，∴∠F＝∠BEF．∵点D为AB中点，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵C′E∥CD，∴∠AEC'＝∠ACD，∴∠A＝∠AEC'＝180°－2∠BEF＝180°－2∠F，∴∠ABF＝∠F，∴AB＝AF．设CE＝CF＝x，则AC＝x＋2，AB＝AF＝2x＋2．在Rt△ABC中，22＋(x＋2)2＝(2x＋2)2，解得x＝－2（舍去）或x＝，∴CE的长为．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边BC上一点，BD＝2CD，∠DAC＝2∠ABC，若AD＝，求AB的长．BBDCA【答案】3解：延长BC到点E，使CE＝CD，连接AE，过点B作AE的垂线，垂足为F．FFBDCEA∵∠ACB＝90°，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC＝2∠ABC．∵∠FBE＝∠EAC＝90°－∠E，∴∠FBE＝2∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC，∴AF＝AC，∴BF＝BC．设CD＝a，则BD＝2a，BF＝BC＝3a，BE＝4a，在△ABE中，由面积法得BE·AC＝AE·BF，∴4a·AC＝AE·3a，∴＝．设AC＝3m，则AD＝AE＝4m，CD＝，BC＝，AB＝＝＝3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，点D是AB的中点，点E是AC上一点，∠EBC＝2∠ADE，求AE的长．AABCDE【答案】2【解析】解：过点D作DF⊥DE，交BC于点F，延长BC到点G，使CG＝CF，连接CD，EF，EG．AABFCDGE∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD，CD⊥AB，∠DAE＝∠DCE＝∠DCF＝45°，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DCE＝∠DFE，∴∠CEF＝∠CDF＝∠ADE．∵∠EBC＝2∠ADE，∴∠EBC＝2∠CEF．∵∠ACB＝90°，CG＝CF，∴EG＝EF，∴∠CEG＝∠CEF，∠G＝∠EFG，∴∠EBC＝∠GEF，∴∠BEG＝∠EFG＝∠G，∴BG＝BE．设AE＝x，则CG＝CF＝x，BE＝BG＝8＋x，EC＝8－x，在Rt△EBC中，82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，即AE的长为2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在AC，BC上，∠BDE＝2∠ABD，EF⊥BD于点G，交AB于点F，用等式表示线段BF与AD的数量关系，并证明．AABECDGF【答案】BF＝2AD【解析】证明：延长DA到点D'，使AD'＝AD，连接D'B．AAF′D′BECDGF∵∠BAC＝90°，∴BD＝BD'，∴∠ABD＝∠ABD'，∴∠D'BD＝2∠ABD．∵∠BDE＝2∠ABD，∴∠D'BD＝∠BDE，∴D'B∥DE．过点B作BF'∥AC交DE的延长线于点F'．则∠F'BE＝∠C＝∠FBE，四边形D'BF'D为平行四边形，∴BF'＝D'D＝2AD，∠F'＝∠D'＝∠BDD'．∵∠FAD＝∠FGD＝90°，∴∠BDD'＝∠BFE，∴∠F'＝∠BFE．∵BE＝BE，∴△BEF'≌△BEF，∴BF'＝BF，∴BF＝2AD．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，∠ACD＝2∠ABD，延长BA到点E，使AE＝AB，连接DE，过点D作DH⊥AE于点H．（1）求证：△ADE≌△ADC；（2）用等式表示线段AH与CD的数量关系，并证明；（3）若AD＝，CD＝6，求AB的长．EEDAHBC【解析】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠ABC，∠CAD＝∠ACB．∵AB＝AC，∴AE＝AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠CAD．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC．（2）CD＝2AH．在HB上截取HF＝HE，连接DF．EEDAFHBC则DF＝DE，∴∠E＝∠DFA．∵△ADE≌△ADC，∴∠E＝∠ACD，ED＝CD，∴∠DFA＝∠ACD．∵∠ACD＝2∠ABD，∴∠DFA＝2∠ABD，∴∠ABD＝∠BDF，∴BF＝DF＝DE＝CD，∴AF＋BF＝AH＋HE＝AH＋AF＋AH，∴BF＝2AH，∴CD＝2AH．（3）∵CD＝6，∴AH＝3，ED＝6，∴DH2＝AD2－AH2＝()2－32＝11，∴EH2＝ED2－DH2＝62－11＝25，∴EH＝5，∴AB＝AH＋EH＝3＋5＝8．题型九婆罗摩笈模型如图，△ABE和△ACF都是等腰直角三角形，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接BC，EF，AD是BC边上的中线，猜想AD与EF的数量关系与位置关系，并证明．CCBDEAF【答案】猜想：AD＝EF，AD⊥EF．【解析】证明：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG．CCBDEAFHG∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，∴AC∥BG，∴∠BAC＋∠ABG＝180°．∵AC＝AF，∴BG＝AF．∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAC＋∠EAF＝180°，∴∠ABG＝∠EAF．∵AB＝AE，∴△ABG≌△EAF，∴AG＝EF，∠G＝∠AFE，∴AD＝AG＝EF，∠DAC＝∠AFE．延长DA交EF于点H．∵∠CAF＝90°，∴∠DAC＋∠HAF＝90°，∴∠AFE＋∠HAF＝90°，∴∠AHF＝90°，∴AD⊥EF．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.【答案】见解析.【详解】延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴CM=BM，在△AMC和△NMB中∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC=BN，∠C=∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB=∠DAC=90°，∴∠EAD+∠BAC=180°，∴∠ABN=∠ABC+∠C=180゜-∠BAC=∠EAD，在△EAD和△ABN中∵，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE=AN=2MN．2022武汉·中考真题如图，在中，，，分别以