2024年广东中考数学综合题突破

年广东中考数学综合题突破解答题难题突破一(四边形综合题)在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，正方形的边长为2．如图，连接AE，若BA＝BE，则BE的长为

，BD的长为

，∠AEB的度数为

；

(2)如图，连接AE，CE，求证：∠AEB＝∠CEB；(3)如图，连接AE，CE，延长AE交CD边于点F，若∠AEC＝140°，求∠AFD的度数；(4)如图，F也是对角线BD上的一点，且BF＝DE，求证：四边形AECF是菱形；如图，过点E分别作EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，则四边形EFCG的周长为

；

(6)如图，F是边CD上的一点，将△BCF沿BF折叠，点C刚好与点E重合，求线段DE的长；(7)如图，点O是对角线BD的中点，点E为线段OD上一个动点(不包括两个端点)，F为AB边上一点，若∠AFE＝∠BCE，求证：EF＝EC．(8)如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A，D重合)，点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM，①求证：∠AMB＝∠BMP；②若DP＝，求MD的长．2．(2023广东节选，23，12分)综合运用．如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜45°)，AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．(1)当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF(直接写出结果，不要求写解答过程)；(2)若点A(4，3)，求FC的长．3．(2021广东，23，8分)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长．5．(2023深圳节选)(1)如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F．①求证：△ABE≌△FCB；②若S矩形ABCD＝20时，则BE·CF＝

；

(2)如图2，在菱形ABCD中，cosA＝，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF·BC的值．6．(2023衡阳)［问题探究］(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，直接写出结果；［迁移探究］(2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．解答题难题突破二(圆的综合题)第1课时点在圆内的圆的综合题1．如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且CD⊥AB于点E．(1)如图，求证：△ADE∽△CBE；如图，连接OC，求证：∠BCO＝∠D；如图，连接OC，若∠B＝30°，OE＝1，求CD的长；如图，连接CO并延长交☉O于点F，连接DF，求证：EO∥DF；如图，连接AC，若∠D＝30°，☉O的半径长为，求∠CAB的度数和AC的长；(6)如图，连接OC，若CD＝，OE＝1，求☉O的半径．2．☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，过(BC)̂的中点P作☉O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB．(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．3．(2023菏泽)如图，AB为☉O的直径，C是圆上一点，D是(BC)̂的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F．(1)求证：BC＝DE；(2)P是(AE)̂上一点，AC＝6，BF＝2，求tan∠BPC的值；(3)在(2)的条件下，当CP是∠ACB的平分线时，求CP的长．第2课时点在圆外的圆的综合题1．如图，BD是☉O的直径，点A在☉O上，过点A作☉O的切线，交BD的延长线于点C，连接AB．(1)若∠B＝25°，则∠C的度数为______；(2)如图，连接OA，若AC＝4，CD＝2，求☉O的半径；如图，连接AD，求证：△ACD∽△BCA；(4)如图，连接AD，E是BA延长线上一点，且∠ADE＝∠B，求证：ED是☉O的切线；(5)如图，E是☉O下半圆上一点，连接AE，DE，AD，若☉O的半径为5，且tan∠E＝，求AD的长；如图，CA的延长线和BE互相垂直，垂足为E，BE交☉O于点F，连接AD，求证：BA平分∠DBF．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD．(1)求证：直线CD与☉O相切；(2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧AE上一点，AD＝1，BC＝2，求tan∠APE的值．3．综合探究．如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'．连接AA'交BD于点E，连接CA'．(1)求证：AA'⊥CA'；(2)以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，☉O与CD相切，求证：AA'＝CA'；②如图3，☉O与CA'相切，AD＝1，求☉O的面积．(2023大庆)综合运用：如图，AB是☉O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交☉O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．(1)求证：CD是☉O的切线；(2)求证：AF·AC＝AE·AH；(3)若sin∠DEA＝，求的值．5．(人教9上P98改编)如图1，在△ABC中，AB＝AC，O是底边BC的中点，☉O与腰AB相切于点D．(1)求证：AC与☉O相切；(2)若cos∠B＝，AB＝12，求☉O的半径长；(3)如图2，设☉O与BC的交点为G，H，求证：△BDG∽△BHD．第3课时隐圆的综合题1．(2021广东，24，10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF．(1)求证：CF⊥FB；(2)求证：以AD为直径的圆与BC相切；(3)若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积．2．综合运用：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，过点D作DE⊥AB于点E．(1)求∠ADC的度数；(2)求证：以AC为直径的☉O与DE相切；(3)在(2)的条件下，☉O与AB交于点F，若cos∠BAC＝3/5，BE＝1，求线段AF的长．几何思维模型(拓展)第1课时相似(得相似者得几何)类型一：破解相似三角形中的“A”和“8”模型1．(角平分线定理证明)如图，AD是△ABC的角平分线，求证：．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．(1)求证：△BDG∽△DEG；(2)若EG·BG＝4，求BE的长．类型二：破解相似三角形中的共边共角模型如图，AB是圆O的直径，C是圆上一点，过点C作CD⊥AB于点D，AC＝，AD∶BD＝4∶1，求CD的长．2．如图，在圆O中，AB为直径，△ABC内接于圆，CD是高，AE＝AC，连接BE交圆于点F．求证：∠ACF＝∠AED．类型三：破解相似三角形中的一线三等角模型1．如图，等边△ABC的边长为2，D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且BD＝1，BE＝，∠DEF＝60°，求CF的长．2．如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(2，0)，第一象限内的点C满足AC⊥AB，且AC＝3，求点C的坐标．3．如图，在矩形ABCD中，AD＝mAB．E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH＝∠C，探索线段EF与线段GH之间的长度关系并证明．类型四：破解相似三角形中的翻折与旋转1．如图，以平面上一点O为直角顶点作出两个直角三角形，分别记为△AOB和△COD，使∠ABO＝∠DCO＝30°．(1)连接AD，BC，证明△AOD∽△BOC；(2)记AC，CD，BD的中点分别为E，F，M，连接EM，FM，求的值．2．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM∶MD＝1∶2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，求DN的长．3．(2023广东节选)综合运用．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图1，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜45°)，AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F．(2)若点A(4，3)，求FC的长；(3)如图2，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN．将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2．设S＝S1－S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式．第2课时巧用弦图(三垂直)简化计算和证明1．如图，已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(与点A，C不重合)，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．(1)求证：PB＝PE；(2)在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．2．综合探究：已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上(不与点B，C重合)，FM⊥AD，交射线AD于点M．(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB＋BE＝AM；(2)当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②，请直接写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；(3)当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，若BE＝√3，∠AFM＝15°，求AM的长．解答题难题突破三（反比例函数综合题）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D(－2，0)，且OD＝2OC，点A的横坐标是2．点C的坐标为_______；

(2)求一次函数的解析式；(3)求反比例函数的解析式；(4)如图，连接AO，BO，求△AOB的面积；(5)如图，观察图象，分别写出ax＋b＞和ax＋b≤时x的取值范围；(6)如图，过点A作AE∥y轴，过点B作BE∥x轴，它们交于点E，求AB的长和△ABE的面积；(7)如图，连接OA，若P为x轴上一动点，且△OAP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，m)．(1)求m的值；(2)若PA＝2AB，求k的值．3．如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n)．(1)根据图象，直接写出满足x＋b＞的x的取值范围；(2)求这两个函数的解析式；(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标．(2023遂宁)如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－4，1)，B(m，4)两点(，，b为常数)．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式x＋b＞的解集．5．(2023青岛二模)如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．(1)求k的值及线段BC的长；(2)点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，求出点P的坐标．6．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数y＝，当y＜－1时，写出x的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．反比例函数与几何图形综合类(2条曲线)1．如图，点P(3，2)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点P作PM∥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，作PN∥y轴交反比例函数y＝的图象于点N．(1)k的值为_______；如图，延长PM交y轴于A，延长PN交x轴于B，求AM，BN的值；如图，在(2)中，过N作NC∥x轴交y轴于C，求四边形ACNP的面积；(4)如图，在(2)中，连接MN，求直线MN的解析式；(5)如图，在(2)中，连接MN，求△PMN的面积；(6)如图，在(2)中，连接OM，ON，MN，求△MON的面积．2．(2020广东，24，10分)如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．(1)填空：k＝_______；

(2)求△BDF的面积；(3)求证：四边形BDFG为平行四边形．(2023山东二模)综合运用：如图，点A(a，2)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝(x＜0)于点B，已知AC＝2BC．(1)求直线OA的解析式；(2)求反比例函数y＝的解析式；(3)点D为反比例函数y＝(x＜0)上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD的中点时，求△OAD的面积．解答题难题突破四 (二次函数综合题)方法突破1.【母题】如图，已知抛物线y＝－2x－3与y轴交于点B，与x轴交于C，D(C在D点的左侧)，点A为顶点．(1)判定△ABD的形状，并说明理由．

(2)在对称轴x＝1上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若平行于x轴的动直线l与直线BD交于点F，与抛物线交于点P，若△ODF为等腰三角形，求出点P的坐标．(4)△ABD与△BOD是否相似？说明理由．(5)若Q是线段CD上的一个动点(不与C，D重合)，QE∥BD交BC于点E，当△QBE的面积最大时，求动点Q的坐标．(6)若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，使B，D，E，F构成平行四边形时，求出点E的坐标．(7)在x轴上是否存在点P，使PB＋PA最短？若存在求出点P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．(8)在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．(9)在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P，使点P到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由．(10)若点P在抛物线上，且∠PBD＝90°，求点P的坐标．(11)在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由(13)在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△ABD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2课时二次函数核心母题类型一：二次函数与线段1．如图，已知二次函数(m≠0)的图象过点(1，0)，该抛物线与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D．求二次函数的解析式；(2)求C，D两点的坐标；(3)如图，连接CD，求线段CD的长；

(4)如图，求直线BC的函数解析式；(5)直接写出线段AB的长为_____，线段BC的长为_____；

(6)如图，直线BC与抛物线的对称轴交于点E，求线段DE的长；(7)如图，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2017广东，23，9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．(1)求抛物线y＝－＋ax＋b的解析式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．3．(2023聊城三模)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝a＋bx＋c(a≠0)的图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．类型二：二次函数与角度如图，抛物线y＝a＋bx＋4(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)直接写出点C的坐标为_______；

(2)直接写出OA＝_______，OB＝_______，OC＝_______；

(3)求抛物线的解析式；(4)如图，点P是抛物线上的一动点，且点P在BC上方，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标；(5)如图，将△ABC沿AC所在直线折叠，得到△ADC，点B的对应点为D，D，C，B三点在一条直线上，求点D的坐标．2．(2018广东，23，9分)如图，顶点为C(0，－3)的抛物线y＝a＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B．(1)求m的值；(2)求函数y＝a＋b(a≠0)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(2023常德节选)如图，二次函数的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，tan∠ACO＝．(1)求二次函数的解析式；(2)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．类型三：二次函数与特殊三角形1．如图，抛物线y＝＋bx－1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝－，连接AC，BC．(1)求抛物线的解析式；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积；如图，连接CD，求点D的坐标以及CD的长；(5)如图，在抛物线的对称轴上存在点E，使得△CDE为等腰三角形，请求出点E的坐标．2．(2023新疆一模)如图，已知抛物线y＝－＋2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．(1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______；

(2)如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；(3)抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．类型四：二次函数与相似、全等1．如图，已知二次函数y＝－＋2x＋3的图象交x轴于A，D两点，交y轴于B点，顶点为C．(1)抛物线的对称轴为直线_______；

(2)直接写出各点的坐标：A______，B______，C______，D______；

(3)如图，连接BD，点M是y轴上一点，连接DM，若△DOB与△DOM相似(不含全等)，求点M的坐标；(4)如图，连接BD，点N是y轴上一点，若△DON与△BDN相似，求点N的坐标；(5)如图，连接BC，AC，AB，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，求BC，AB的长和tan∠BAC的值；(6)如图，连接BC，AC，AB，BD，在y轴上是否存在一点P，使得以P，B，D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2．(2020广东，25，10分)如图，抛物线y＝＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．(1)求b，c的值；(2)求直线BD的函数解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝a＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．(1)求这条抛物线的解析式；(2)连接OM，求∠AOM的大小；(3)如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．类型五：二次函数与特殊四边形1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－－4x＋c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－5，0)，D为顶点．(1)求点C的坐标；(2)直接写出点D的坐标为_______，对称轴为直线_______；

(3)连接CB，求tan∠CBO的值；(4)如图，点E为平面内一动点，若以A，O，D，E为顶点的四边形是以AO为边的平行四边形，求点E的坐标；(5)如图，点F为平面内一动点，若以A，B，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；(6)如图，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(解题思路：分三种情况讨论，即AC为对角线、AM为对角线、AN为对角线)2．(2023沈阳模拟)综合探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a＋2x＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是_______；

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；(4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．类型六：二次函数与方程、不等式已知抛物线C1：y＝－2x的图象如图所示．(1)求抛物线C1顶点A的坐标；(2)若直线y＝kx＋b与抛物线y＝a＋bx＋c(a≠0)有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，若直线y＝x＋b与抛物线C1相切，求b的值；(3)如图，抛物线y＝－2x与直线y＝－x＋2相交于D，B两点，请结合图象，求出不等式－x＋2≥－2x的解集；若方程－2x＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(5)如图，把C1的图象沿y轴翻折，得到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3，求C2的函数解析式；(6)结合(2)回答，当直线y＝x＋b与图象C3有两个交点时，求b的取值范围．2．(2021广东，25，10分)已知二次函数y＝a＋bx＋c的图象过点(－1，0)，且对任意实数x，都有4x－12≤a＋bx＋c≤2－8x＋6．(1)求该二次函数的解析式；(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是(1)中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．(2023厦门模拟)已知抛物线y＝＋(2m－1)x－2m(－＜m≤)，直线l的解析式为y＝(k－1)x＋2m－k＋2．(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，试求抛物线的顶点坐标；(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；(3)若抛物线经过点(x0，－4)，且对于任意实数x，不等式＋(2m－1)x－2m≥－4都成立；当k－2≤x≤k时，抛物线的最小值为2k＋1，求直线l的解析式．类型七：二次函数与面积1．如图，抛物线y＝＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点F是抛物线的顶点．(1)求该抛物线的解析式；抛物线的顶点F的坐标是_______，抛物线的对称轴为直线_______如图，连接CF，BF，求四边形OCFB的面积；

(4)如图，若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，求EF的长；(5)在(4)中，求△CBF的面积；(6)如图，设点P是抛物线上的一个动点，在x轴下方是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；如图，在直线BC下方的抛物线上存在一点P，使△BCP面积最大，求出点P的坐标．2．(2022广东，23，12分)如图，抛物线y＝＋bx＋c(b，c是常数)的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A(1，0)，AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．如图1，已知抛物线y＝a＋bx＋3经过点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点，连接OP交BC于点D，连接PC，PB．(1)试确定抛物线的表达式；(2)当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0＜m＜3)，当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P的坐标．类型八：二次函数与动点如图，已知抛物线y＝a＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求点D的坐标；(3)如图，若四边形BCEF为矩形，CE＝3，点M以每秒1个单位长度的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位长度的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M，E，N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值．2．(2019广东，25，9分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝＋x－与x轴交于点A，B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．(1)求点A，B，D的坐标；(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；(3)如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似(不含全等)．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？3．综合运用：如图1，抛物线y＝＋bx＋c的图象过B(3，0)，C(0，－3√3)两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．(1)求抛物线y＝＋bx＋c的表达式；(2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t＝1时，求点E的坐标；如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF．当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是矩形？将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线的图象上时，求此时点F的坐标．解答题难题突破五 (动点题)1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．(1)直接写出AB的长为_______，AB边上的高为_______；

(2)如图，点D在线段AB上，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t秒，用含t的代数式表示：BD＝_______，AD＝_______；

(3)如图，在(2)的基础上，连接CD，设△BCD的面积为S1，求S1与t之间的函数关系式；(4)如图，在(2)的基础上，当BC＝BD时，求t的值；(5)如图，在(2)的基础上，连接CD，当CB＝CD时，求t的值；(6)如图，在(2)的基础上，当△BCD是直角三角形时，求t的值；(7)如图，动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA向终点A运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，点P到