预习16讲复数的几何意义2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习16讲复数的几何意义（精讲+精练）①复平面内的点同复数的对应关系②复数与复平面内向量的关系③复数的模及其几何意义④共轭复数一、复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面①轴——实轴②轴——虚轴③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数二、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1：复数复平面内的点（2）复数的几何意义——与向量对应复数的几何意义2：复数平面向量三、复数的模向量的模叫做复数)的模，记为或公式：，其中复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).四、共轭复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.（2）表示方法表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.题型一：题型一：复平面内的点同复数的对应关系策略方法利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的横、纵坐标.(2)根据已知条件,建立实部与虚部满足的关系,通过解方程(组)或不等式(组)求解.【题型精练】一、单选题1．复数与复平面内的点一一对应，则复平面内的点对应的复数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复数的几何意义得到复平面内的点对应的复数.【详解】复平面内的点对应的复数为.故选：A2．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的几何意义进行求解.【详解】根据复数的几何意义，对应复平面的点是，关于轴对称得到的点是，对应的复数是.故选：B3．已知复平面中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点所对应的复数为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由为平行四边形，可得，即可求出点的坐标，进而可得出答案.【详解】∵四边形为平行四边形，∴．而，，∴，∴点的坐标为，∴顶点所对应的复数为.故选：B．4．已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围.【详解】将整理化简可得，所以复数在复平面内对应的点坐标为，由点位于第四象限可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：A二、填空题5．已知复数z满足实部为，虚部为，则复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数是．【答案】【分析】由题可得，结合条件即得.【详解】由题可得，∴复数z在复平面上对应的点关于虚轴对称的点所对应的复数为.故答案为：.6．i为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则．【答案】【分析】根据复数的几何意义，得到对应点的坐标，根据对称性得到对应点的坐标，由此写出.【详解】因为复数，在复平面内对应的点关于原点对称，对应点的坐标为,∴对应点的坐标为,故．故答案为：.三、解答题7．如图，设每个小方格的边长是1，指出点A，B，C，D，E所表示的复数．【答案】【分析】根据复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可知：，所以点A，B，C，D，E所表示的复数分别为.题型二：题型二：复数与复平面内向量的关系策略方法(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应的关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.【题型精练】一、单选题1．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点，推出点的坐标，进而可得出结果.【详解】由题意可知，点的坐标为，则点的坐标为，故向量对应的复数为.故选：D.2．在复平面内，点对应的复数为（为虚数单位），且向量，则点对应复数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由复数的几何意义知，结合向量的坐标运算求得，即可求得答案.【详解】设，由题意知，则由可得，则，即，则点对应复数为，故选：A.二、填空题3．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是坐标原点，则向量对应的复数为．【答案】【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.【详解】由题意可知：，可得，所以向量对应的复数为.故答案为：.4．在复平面内，若，，点C所对应的复数为.【答案】【分析】设，由向量相等得出点的坐标，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由题意，设，则由，则，解得，则点所以点C所对应的复数为故答案为：三、解答题5．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i．求：(1)对应的复数；(2)对应的复数；(3)对应的复数及的长度．【答案】(1)－3－2i(2)5－2i(3)【分析】（1）根据平面向量坐标表示公式，结合复数在复平面的特征进行求解即可；（2）根据平面向量减法的运算性质，结合复数在复平面的特征进行求解即可；（3）根据平面加法的运算性质，结合平行四边形的性质、平面向量模的公式、复数在复平面的特征进行求解即可.【详解】（1）因为，所以对应的复数为32i.（2）因为，所以对应的复数为(3＋2i)(2＋4i)＝52i.（3）因为，所以对应的复数为(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i.所以6．已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，.（1）求表示的复数；（2）求表示的复数；（3）求点所对应的复数；（4）求对角线，的交点对应的复数.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）求得，由此求得对应的复数.（2）求得，由此求得对应的复数.（3）利用向量加法求得，由此求得对应的复数.（4）利用中点坐标公式求得点坐标，由此求得对应的复数.【详解】依题意，（1）由于，所以对应复数为.（2）由于，所以对应复数为.（3）由于，所以点对应的复数为.（4）根据中点坐标公式可知，即，对应复数为.题型三：题型三：复数的模及其几何意义策略方法(1)两个复数不全为实数时不能比较大小,而任意两个复数的模均可比较大小.(2)复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解.【题型精练】一、单选题1．已知，则（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】根据复数的模长计算公式，可得答案.【详解】因为，所以.故选：C.2．若，其中a，，是虚数单位，则（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【分析】利用复数相等的条件，求出，由复数模的公式计算.【详解】若，即，得，解得，所以．故选：B3．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（

）.A．点 B．圆 C．线段 D．圆环【答案】B【分析】根据复数模的知识求得正确答案.【详解】由于，故对应点到原点的距离为，所以复平面内点Z的轨迹是单位圆.故选：B4．若复数的模为5，虚部为，则复数（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】设，，根据复数的虚部和模，可得求，写出复数即可.【详解】设，，∴，解得，∴.故选：C5．设，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，则，因为，所以，则，所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点），所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积.故选：C6．复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，如图，最小值为.故选：B二、填空题7．若（为虚数单位），则．【答案】【分析】根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：8．写出一个模为的非纯虚数．【答案】（答案不唯一，只要满足实部和虚部的平方和为的非纯虚数即可）【分析】根据非纯虚数的定义，结合复数模的运算公式进行求解即可.【详解】设，由题意可知，，取，故答案为：9．已知纯虚数满足，则．【答案】2【分析】设，根据复数模的定义得，解出值即可得到答案.【详解】设，则，则，即舍去或，所以．故答案为：．10．已知复数z满足，且，则．【答案】3【分析】由题意得，从而可求出【详解】因为，，所以，得，因为，所以，故答案为：311．设复数满足，在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为.【答案】【分析】由题意，由根据复数模的运算可得.【详解】因为在复平面内对应的点为，所以，由得，所以，即，所以点的轨迹方程为，故答案为：三、解答题12．分别求出复数，，，，4i，的模．【答案】5，，13，，4，6.【分析】根据复数的模长公式即可求解.【详解】解：，，，，，.13．设，，，求的最小值．【答案】【分析】结合已知条件表示出，利用二次函数性质求解即可.【详解】，因为，所以由二次函数性质可知，当时，有最小值10，即的最小值为.14．设：，点对应复数，在复平面内满足下列条件的点的集合是什么图形？(1)；(2)．【答案】(1)满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆(2)以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界【分析】（1）根据复数模长的几何意义求解即可.（2）根据复数模长的几何意义求解即可.【详解】（1）复数的模等于2，这表明，复数对应的向量之的长度等于2，即点到原点的距离等于2，因此满足条件点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．（2）不等式可以化为不等式组不等式的解集是圆和该圆内部所有的点构成的集合，不等式的解集是圆和该圆外部所有的点构成的集合，这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合．所求的集合是以原点为圆心，以2和3为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.题型四：题型四：向量共轭复数策略方法复数的共轭复数用表示，即如果，则.【题型精练】一、单选题1．计算的共轭复数为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出原复数，然后根据共轭复数的定义即可得出答案.【详解】，所以其共轭复数为，故选：D.2．设，，是虚数单位，若复数与互为共轭复数，则实数复数，的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由共轭复数的概念直接求解即可.【详解】因为复数与互为共轭复数，所以，故选：B.3．在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据复数的几何意义写出复数；再根据共轭复数的定义即可得出结果.【详解】因为复数对应的点的坐标是所以则故选：B二、填空题4．已知复数，则.【答案】【分析】根据共轭复数的知识求得正确答案.【详解】由于复数，所以.故答案为：5．已知复数，则．【答案】【分析】分别求解，求和即可.【详解】因为，所以，，所以.故答案为：三、解答题6．求下列复数的模和共轭复数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案