重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本大题8个小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．1．已知，且，则（）A． B． C．0 D．2．已知复数满足，则复数的虚部为（）A． B． C． D．13．在中，角，，所对的边分别为，则“”是“是等边三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件4．在中，，是的中点，是的中点，则（）A． B． C． D．5．在中，面积，则（）A． B． C． D．6．是空间中两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（）A．有且只有一个 B．至多有一个C．至少有一个 D．有无数个7．平面向量，，已知，则（）A． B． C． D．8．如图所示在四边形ABCD中，是边长为4的等边三角形，，则（）A．B．C．3D．二、多选题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．每小题有多个选项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是A．若，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形10．已知直线和平面，下列说法中不正确的有A．若，，，则 B．若，，则 C．若与为异面直线，且，则D．若，，则 11．已知直角三角形ABC斜边，直角边，动点满足，下列说法正确的是（）A．的最大值为10B．的最大值为6C．的最大值为24D．存在D点满足12．已知面积为12，，则下列说法正确的是（）A．若，则B．的最大值为C．的值可以为D．的值可以为第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．13．已知、，点是线段上的点，且，则点的坐标为．14．多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为．15．在中，角所对的边分别为，已知，，则．16．如图所示四棱锥，底面为直角梯形，，在梯形内（含边界），，则点轨迹长度为．四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．17．（10分）三棱锥PABC，PA=4，BC=6．（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．18．（12分）已知夹角为，．（1）求实数的值；（2）求．19．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，分别是棱DD1、AB的中点．（1）平面与直线交于点，求的值；（2）为线段上靠近点的四等分点，求证：．20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有．在下列条件中选择一个条件完成该题目：=1\*GB3①；=2\*GB3②（1）求A的大小；（2）求的取值范围．21．（12分）如图所示，在中，BD=AC=2AD，CD=2，E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．（1）若，求长度；（2）求AF长度范围．22．（12分）有一鱼池，其中有两条边成定角，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使得内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边上．（1）若，求面积的最小值；（2）若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得的面积不低于，求的取值范围．重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试答案一、单选题14：BDBA58:BCDC二、多选题9.ACD10.BD11.ABC12.AD三、填空题13.14.15.16.四、解答题17.(1)3对；，，.(2)取的中点，连接、为中点，为中点为△中位线，∥且同理，∥且为异面直线与所成角或其补角又在△中，异面直线与所成角的余弦值为.18.(1)(2).19.(1)延长、交于点，连接交于点是中点，∥是△中位线，是中点又∥是△中位线，又为中点(2)连接、，，又为线段上靠近点的四等分点，，四边形是平行四边形∥又，∥平面20.(1)①，②即,(2)设△