2022-2023学年北京市牛栏山一中实验学校九年级上学期期中考试数学试卷 含详解

2022.11初三上学期牛一实验数学期中试卷

一、选择题（共8题，每题2分，合计16分）

1.2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水.京杭大运河是中国古代劳动人民创造一项伟大工程，它南起余

杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约1800000也将1800000用科学记数法表示应为（）

A.0.18xl07B.18OOxlO3C.18xl05D.1.8xl06

2.在同一条数轴上分别用点表示实数一1.5,0,-而，|-4],则其中最左边的点表示的实数是（）

A.-THB.oC.-1.5D.|-4|

3.如图，43//8,44=10()。,/白”>=5()。,/4。？的度数为()

A.25°B.30°C.45°D.50°

4.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好

落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m,与树距15m,那么这颗树的高度为（）

5.把抛物线y=5/向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）

A.y=5（x-2>+3B.y=5（x+2）2-3

C.y=5（x+2f+3D.y=5（x-2）2-3

6.点A（i,y）,8（3,%）是反比例函数y图象上的两点，那么,，%的大小关系是（）.

x

A.%>必B.乂=y2C.M<%D.不能确定

7.如图，点尸在AABC的边4c上，要判断△ABPs^ACB,添加一个条件，不正确的是（）

B

A.NABP=NCB.NAPB=NABC

AP_ABABAC

D.--------

°丽=就BPCB

x与纵坐标y的对应值如下表:

①抛物线+Zu+c的开口向上;

②抛物线y="2+》x+c的对称轴为直线为=-2；

③关于x的方程以2+bx+c=0的根为—3和-1；

④当y<0时，X的取值范围是—3<XV-1.

其中正确的是()

A①④B.②④C.②③D.③④

二、填空题(共8题，每题2分，合计16分)

9.写出一个比一起大且比血小的整数—.

10.五边形的内角和是度.

11.将二次函数y=/-6无+5用配方法化成,=(%一»2+左的形式为

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P(x,y)与点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上,

PC0y轴于点C,PD0x轴于点。，那么矩形。DPC的面积等于.

13.如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板。跖来测量操场旗杆的高度，他们通过调整

测量位置，使斜边。咒与地面保持平行，并使边OE与旗杆顶点A在同一直线上，已知。£=0.5米，防=0.25

米，目测点。到地面的距离OG=L5米，到旗杆水平的距离。C=20米，则旗杆的高度为米.

An

14.如图，平行于BC的直线OE把△ABC分成的两部分面积相等.则——

AB

15.如果二次函数丁=(加一1)》2+2g：+加+3的最小值是正数，则加的取值范围是.

16.如图，抛物线y=G?+汝+c(awO)与y轴交于点C,与X轴交于A,B两点，其中点8的坐标为8(4,

0),抛物线的对称轴交x轴于点。，CE//AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①。>0；②6>0；

③4a+2b+cy0；@AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(共68分，17—22题每题5分，23—26题每题6分，27,28每题7分)

17.计算：V12+(^-V3)n-|3-V3l+f-

18.己知•是x2-2x-3=0的一个根，求代数式(a—2))+(a+l)(a—l)的值.

19.下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.

已知：如图，ZAOB.

D

作法：如图，

①在射线04上任取点C；

②作NACD=NAO3；

③以点。为圆心CO长为半径画圆，交射线CO于点P；

④作射线0P；所以射线0P即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务.

(1)补全图形；

(2)完成下面证明：

证明：VZACD=ZAOB,

：.()(填推理的依据).

:•NBOP=.

又•：OC=CP,

:•NCOP=/CPO()(填推理的依据).

ZCOP=ZBOP.

•••OP平分NAOB.

20.已知1：抛物线y=-X2+4%-3

q

4

|2345x

(1)求出它的对称轴，顶点坐标，并画出它的图象;

（2）当x取何值时，y<0.

21.如图，在一ABC中，。为BC上一点,E为AO上一点，如果ND4C=ZB,CD=CE.

（2）若CE=3,BD=4,AE=2,求EO的长.

22.己知关于x的一元二次方程依2一仕+4）x+4=0

（1）求证：该方程总有两个实数根.

（2）若该方程有一个根是负整数，且Z也是整数，求化的值.

23.如图：在菱形ABC。中，对角线AC、BD交于点0,过点A作AEL3c于点E,延长8c至点F,使

（1）求证：四边形AEED是矩形；

（2）若BF=16,DF=8,求CO的长.

24.某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生体育测试成绩为样本，按A、B、C、。四个

等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图.

（说明：A级：90分~100分；8级：75分~89分；C级:60分~74分；。级：60分以下；

A级成绩为优秀，8级成绩为良好，。级成绩为合格，。级成绩为不合格）

其中8级成绩（单位：分）为：75,75,76,77,78,78,79,79,79,80,80,81,81,82,82,83,83,

84,86,87,87,88,89

请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)请把条形统计图补充完整；

(2)样本中。级的学生人数占全班学生人数的百分比是；

(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是;

(4)九年级(1)班学生的体育测试成绩的中位数是；

(5)若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人？

25.已知直线/|：丫="+。过点4(0,3),且与双曲线6：y=3相交于点3(m,4).

X

「一「一

宝5二-3-如。

(1)求阳值及直线4的解析式;

4

(2)画出小4的图象，结合图象直接写出不等式代+。＞—的解集

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线产蛆2-2"a+〃(〃/0)与》轴交于点4B,点A的坐标为(-2,0).

(1)写出抛物线的对称轴；

(2)直线丁=5%-4m-〃过点B,且与抛物线的另一个交点为C.

①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；

②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线小y=x+“和'y=-x+b组成图形G.当图形G与线段BC

有公共点时，直接写出点尸的纵坐标r的取值范围.

歹八

6■

5-

4-

3-

2-

1-

1111A

1234x

27.城市许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行

走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xQy,对两点A（与,y）和3（乙,%），用以下方式定义

两点间距离:

d[A,B)=\xx-x2\+\yt-y2|.

(I)①已知点A(—2,1),则d(O,A)=

②函数y=-2x+4（OWxW2）的图象如图①所示，8是图象上一点，或0,3）=3,求点8的坐标.

（2）函数）=%2-5》+7（》》0）的图象如图②所示，。是图象上一点，求4（0,。）的最小值及对应的点。的坐

标.

28.已知：如图1,正方形ABC。中，E为对角线8。上一点，过E点作防，BD交3C于F,连接。尸，G

为。尸中点，连接EG,CG.

（1）请问EG与CG的有什么关系？（不必证明）

（2）将图1中△出户绕8点旋转任意角度，如图2所示，再连接相应的线段，请在图2中完成图形，请问（1）

中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

s2022.ll初三上学期牛一实验数学期中试卷

一、选择题（共8题，每题2分，合计16分）

1.2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水.京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余

杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约1800000〃?.将1800000用科学记数法表示应为（）

A.0.18xl07B.1800x1（）3C.18x10$D.1.8xl06

【答案】D

【分析】科学记数法的表示形式为axia的形式，其中l<|a|<10,〃为整数.确定〃的值时，看小数点移动了多少

位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.小数点向左移动时，〃是正整数；小数点向右移动时，〃是负整数.

【详解】解：1800000=1.8X106,

故选：D.

【点睛】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中上同<10,“为整数，解题关键

是正确确定a的值以及n的值.

2.在同一条数轴上分别用点表示实数一1.5,0,-7TT.H,则其中最左边的点表示的实数是（）

A.一而B.OC.-1.5D.|-4|

【答案】A

【分析】根据数轴上的数右边的总比左边的大，找出最左边的点即可.

【详解】解：3<Vn<4.则-4V-VTT<-3,

•■•-VFT<-l-5<0<|-4|,

...最左边的点表示的实数是-而，

故选：A.

【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键.

3.如图，43//8,44=16）。,/8。。=5（）。,44。8的度数为（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，求得NACD=80。，根据NBC£>=50。，确定NACB的度数即可

【详解】；A5//C£),ZA=100°,

NA+NACO=180°,

ZACD=80°,

,/NBCD=50。,

：.ZACB=ZACD-ZBCD=80°-50°

=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用性质是解题的关键.

4.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好

落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m,与树距15m,那么这颗树的高度为（）

【答案】B

【分析】先判定AOAB和AOCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：如图，

:.AB//CD,

:.j\OAB^AOCD,

,ABOB

••—,

CDOD

AB=2m>OB=6m,OD=6+\5=2\m,

26

,,一，

CD21

解得CD=7加.

这颗树的高度为7n7,

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键.

5.把抛物线y=5/向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()

A.y——5(x-2)~+3B.y——5(x+2)_—3

C.y-5(x+2)~+3D.y-5(x—2)~—3

【答案】C

【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题.

【详解】解：将抛物线y=5Y向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到函数解析式是：y=5(x+2)2+3.

故选：C.

【点睛】此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减.解题的关键是掌握抛物线的平移规律.

6.点A(l,y),3(3,%)是反比例函数=图象上的两点，那么%，力的大小关系是()•

x

A.x>%B.y,=y2c.y<y2D.不能确定

【答案】c

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把A点和B点坐标代入反比例函数解析式可计算出yi,y2,从而

可判断它们的大小.

A

【详解】解：TA(1,yi),B(3,y2)是反比例函数y二-一图象上的两点，

Ayi<y2.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=&(k为常数，k/0)的图象是双曲线，图

x

象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k：双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点

对称.

7.如图，点尸在AA8C的边4c上，要判断△ABPs/vlCB,添加一个条件，不正确的是()

B

A.NABP=NCB.ZAPB=ZABC

APABABAC

C.----=-----D.----------

ABACBPCB

【答案】D

【详解】解：A.当/A8P=/C时,

又；NA=NA,

故此选项错误;

B.当NAPB=/ABC时,

又：NA=/A,

/XABP^/^ACB,

故此选项错误;

、,，"AB

C.当一=——时,

ABAC

又：N4=NA,

...△ABPSA4CB,

故此选项错误;

D.无法得到△A8Ps/\AC3,故此选项正确.

故选：D.

8.已知抛物线丁=依2+法+。上部分点的横坐标*与纵坐标丫的对应值如下表：

X-4-3-2-10

y-310-3

m

有以下几个结论:

①抛物线y=G?+bx+c的开口向上;

②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线X=—2；

③关于x的方程tzx?+法+c=0的根为—3和T；

④当y<0时，x的取值范围是-3<x<-i.

其中正确的是（）

A.①④B.②④C.②③D.③④

【答案】C

【分析】根据表格信息，可得抛物线经过(T,-3),(0,-3)两点，结合抛物线的对称性，解得抛物线的对称轴，再

由表格信息知抛物线与x轴的其中一个交点为结合对称性解得抛物线与x轴的另一个交点，即可判断抛

物线的开口方向及关于x的方程以2+法+c=o的两个根，结合图象可得当yvo时，x的取值范围.

【详解】由表格信息得，抛物线经过(-4,-3),(0,-3),结合抛物线的对称性可得

-4+0

抛物线对称轴为x=-------=-2,

2

故②正确；

因为抛物线经过点(-1,0),即抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),根据抛物线的对称性可得，

抛物线与x轴的另一个交点为(-3,0),

•••抛物线开口向下，

故①错误；

，故关于x的方程g?+法+c=0的根为一3和-1,

故③正确；

当y<0时，抛物线在x轴的下方的图象有两部分，即x<—3或x>—l,

故④错误，

因此正确的有：②③，

故选：C.

V

2-

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

二、填空题(共8题，每题2分，合计16分)

9.写出一个比一8大且比小的整数—.

【答案】答案不唯一，如：1

【分析】先对血进行估值，在找出范围中的整数即可.

【详解】解：

•••-2<x<2,(x为整数)

故答案为：-1,0』(答案不唯一)

【点睛】本题考查算术平方根的估值.理解算术平方根的定义是关键.

10.五边形的内角和是度.

【答案】540

【分析】根据〃边形内角和为(〃-2)x180°求解即可.

【详解】五边形的内角和是(5-2)x180°=540°.

故答案为：540.

【点睛】本题考查求多边形的内角和.掌握〃边形内角和为("-2)x180。是解题关键.

11.将二次函数y=f—6x+5用配方法化成y=(x—A)?+%的形式为.

【答案】y=(x-3尸一4

【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可得答案.

【详解】y^x2-6x+5

~—6x+9—9+5

—(x—3)~—4,

故答案为：y=(x—3尸一4

【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：y^a^+bx+c(@0,a、b、c为常数)；(2)顶点

式：)="(x-/i)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x-xi)(x-及).

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P(x,y)与点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上,

PC0y轴于点C,PD0x轴于点。，那么矩形。DPC的面积等于.

【分析】根据点A的坐标可得出k的值，进而得出矩形ODPC的面积.

kk

【详解】解：设点4（2,2）在反比例函数y=—的图象上，可得：2=一，

x2

解得：&=4,

因为第一象限内的点尸（X，y）与点A（2,2）在同一个反比例函数的图象上，

所以矩形0npe的面积等于4,

故答案为4

【点睛】此题考查反比例函数系数左的几何意义，关键是根据点A的坐标可得出”的值.

13.如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板。所来测量操场旗杆的高度，他们通过调整

测量位置，使斜边OR与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，己知。E=0.5米，EF=0.25

米，目测点。到地面的距离OG=1.5米，到旗杆水平的距离。C=20米，则旗杆的高度为米.

【答案】11.5

【分析】根据题意可得：_DEFs_DCA,进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案.

DEEF

【详解】由题意可得：.DEFS_DCA,则-------，

DCAC

；DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m,DC=20m,

崇嚏'解得:AC"

故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）,

答：旗杆的高度为11.5m.

【点睛】此题重点考查学生对相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

An

14.如图，平行于8c的直线。石把△ABC分成的两部分面积相等.则——=

AB

A

【答案】史

2

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得答案.

【详解】:DE//BC,

:./\ADE^/\ABC.

故答案为：也

2

15.如果二次函数>=（加一1）%2+2/加+加+3的最小值是正数，则加的取值范围是.

3

【答案】m>-

2

【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，根据函数有最小值，可知二次函数图象开口向上，最小值为正数，可知

其顶点的纵坐标为正数，据此列不等式组即可求解.

【详解】将）=（帆-1）/+2皿+机+3化为顶点式为：y=（根_1）卜；+个）+冽彳，

•••二次函数的最小值为正数，

m-1>0

•一会>0

解得：m>-,

2

3

故答案为：m>-.

2

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式等知识，掌握二次函数的图象与

性质是解答本题的关键.

16.如图，抛物线丁=飨？+法+c（a。。）与>轴交于点c,与x轴交于A,B两点，其中点8坐标为8（4,

0）,抛物线的对称轴交x轴于点。，CE//AB,并与抛物线的对称轴交于点E.现有下列结论：①a>0；②匕>0；

③4a+2Hc<0；@AD+CE=4.其中所有正确结论的序号是.

【详解】①根据抛物线开口方向即可判断；

②根据对称轴在y轴右侧即可判断b的取值范围；

③根据抛物线与x轴的交点坐标与对称轴即可判断；

④根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴可得AO=B。，再根据CE〃A8,即可得结论.

【解答】解：①观察图象开口向下，«<0,

所以①错误；

②对称轴在y轴右侧，b>0,

所以②正确；

③因为抛物线与x轴的一个交点B的坐标为（4,0）,

对称轴在），轴右侧，

所以当x=2时，y>0,B|J4a+2b+c>0,

所以③错误；

④：抛物线ynor2+陵+c（aw0）与x轴交于A,两点，

：.AD=BD,

\'CE//AB,

...四边形or»EC为矩形，

:.CE=OD,

：.AD+CE=BD+OD=OB=4,

所以④正确.

综上：②④正确.

故答案为：②④

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系.根据二次函数丁=斯2+笈+，(“关0)系数符号判断抛物线开口

方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数.

三、解答题(共68分，17—22题每题5分，23—26题每题6分，27,28每题7分)

/、一］

17.计算：VT2+(^-V3)°-|3-V3|+-

【答案】38+1

【分析】先将二次根式化为最简，同时计算零指数幕及负整数指数幕、绝对值，然后合并同类二次根式即可.

详解】解：屈+(万一6)。一|3—6

=26+1-(3-@+3

=26+1-3+6+3

=3>/3+1.

【点睛】本题考查了二次根式化简、绝对值、零指数累等实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握相关的运算法

贝U.

18.已知。是/一2%-3=0的一个根，求代数式(a—2『+(a+D(a—l)的值.

【答案】9

【分析】根据方程的根的概念可得/一2"=3,将所求代数式变形为

(a-2)2+(a+1)(。—1)=4_4。+4+a?-1=2(/_2。)+3,然后利用整体代入的方法进行求解即可得.

【详解】•••。是方程/一2》一3=0的一个根

Aa2-2a-3=0.即a?-2a=3

(a-2)-+(a+l)(a-l)

=。2-4。+4+。2-1

=2年—2a)+3

=2x3+3

=9

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解能使方程左右两边同时成立的未知数的值是

方程的解是解题的关键.

19.下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程.

己知：如图，ZAOB.

求作：/AOB的角平分线0P.

作法：如图，

①在射线Q4上任取点C；

②作ZACD=ZAOB；

③以点C为圆心CO长为半径画圆，交射线CO于点尸；

④作射线OP；所以射线OP即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务.

（1）补全图形；

（2）完成下面的证明：

证明：VZACD^ZAOB,

•••（）（填推理的依据）.

二ZBOP=.

又,：OC=CP,

:.NCOP=NCPO（）（填推理的依据）.

二ZCOP=ZBOP.

•••OP平分/AOB.

【答案】（1）见解析（2）CD//OB-,同位角相等，两直线平行；“PC；等边对等角

【分析】（1）在CO上截取CP=CO即可；

（2）利用平行线的判定方法可先判断CD〃QB,则NBQP=NOPC.再利用等边对等角NCOP=NCPO,

从而得到即可.

【小问1详解】

解：如图，OP为所作；

A

【小问2详解】

证明：VZACD=ZAOB,

.,.CD//OB（同位角相等，两直线平行）.

AZBOP=ZOPC（两直线平行，内错角相等）.

又：OC=CP,

：.ZCOP=ZCPO（等边对等角）.

...ZCOP=ZBOP.

平分/AOB.

故答案为：CD//OB-,同位角相等，两直线平行；NOPC；等边对等角.

【点睛】本题考查了作图一一复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形

的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图

拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的判定与性质.

20.已知：抛物线丁=一/+48-3

45x

-4[

-5[

“I

（1）求出它的对称轴，顶点坐标，并画出它的图象;

（2）当x取何值时，y<0.

【答案】（1）对称轴为直线x=2,顶点坐标为（2,1）,图像见解析;

(2)x<l或无>3

【分析】（1）利用配方法得到y=-（x-2y+l,则根据二次函数的得到抛物线的对称轴和顶点坐标，最后利用描

点法画出二次函数图象；

(2)结合函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可.

【小问1详解】

y=_J+4x_3——(x—2)-+[,

所以抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1),

图像如下：

由图象可知，当或x>3时，y<0.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解

析式整理成顶点式形式求解更简便.

21.如图，在一ABC中，。为BC上一点，E为AD上一点、,如果ND4c=/B,CD=CE.

（1）求证：AACEs^BAD

（2）若CE=3,BD=4,AE=2，求的长.

【答案】（1）见详解（2）4

【分析】（1）根据CD=CE,可得NCDE=NCED,即有NADB=NAEC,结合〃4C=NB,可得

△ACEs/\BAD；

(2)根据△ACESA^BA。，可得出=处，即问题随之得解.

CEADAE

【小问1详解】

CD=CE,

:.ZCDE=ZCED,

VZADB=ISO°-ZCDE,ZAECISQ°-ZCED,

：.ZADB=ZAEC,

•••ZDAC=ZB,

：./\ACE^/\BAD-,

【小问2详解】

：在(1)中已证明△ACE/△BAD,

AEBD—BDxCE

：.——=,AD=-------,

CEADAE

VCE=3,50=4，AE=2,

.-BDxCE4x3.

..AD=-------=----=6,

AE2

££)=A。-AE=6—2=4.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

22.已知关于X的一元二次方程西+

(1)求证：该方程总有两个实数根.

(2)若该方程有一个根是负整数，且A也是整数，求上的值.

【答案】(1)见详解(2)左的值可以为：T,-21-4.

【分析】(1)证明方程的判别式ANO即可；

(2)将丘2—(%+4)X+4=0的左边因式分解，变形为：(辰—4)(x—1)=0,即可得出方程的两个根，再根据一

个根是负整数，且我也是整数即可求解.

【小问1详解】

解：•••小一化+4卜+4=0是关于x的一元二次方程，

・二%w0,

即方程的判别式为：△=[一住+4)]2-4ZX4,

整理，得：A=(左一4)220,

即收一伙+4)%+4=0总有两个实数根；

【小问2详解】

解：将"2—(A+4)x+4=0的左边因式分解，变形为：(履—4)(x-l)=0,

：Z。0,

4

二方程的两个根为：玉=1,x=—

-2k

•.•方程有一个根是负整数，

4

二:为负整数，

K

也是整数，

二女的值可以为：-1,—2,-4.

【点睛】本题主要考查根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式

的关系是解题的关键.

23.如图：在菱形ABC。中，对角线AC、8。交于点0,过点A作AELBC于点E,延长至点尸，使

CF=BE,连接DE.

BE（I

（1）求证：四边形AEED是矩形；

（2）若BF=16,DF=8,求CO的长.

【答案】（1）见解析（2）CD=10

【分析】（1）证明△A6E=△£>€/■，得出AE=Db，NCFD=ZAEB=90。,证明说明四边形

AEED为平行四边形，根据NA£3=90。，得出四边形AEED为矩形.

（2）设BC=C£>=x,则。尸=3/一3。=16—%,根据勾股定理得：CD2=CF2+DF2,即

x2=（16-X）2+82,得出x=10,即CE>=10.

【小问1详解】

证明：

ZAEB=90°,

•••四边形ABC。为菱形，

/.AB=CD,ABCD,

：.ZABE=NDCF,

'：CF=BE,

：.AABE义LDCF，

：.AE=DF，NCFD=ZAEB=90°,

：.AEDF,

•••四边形AEFD为平行四边形,

*•,NA£3=90°,

四边形AEED为矩形.

【小问2详解】

解：...四边形ABC。为菱形，

BC-CD，

设BC=CO=x,则。r=8/一3C=16—x,

在Rt^COb中，根据勾股定理得：CD?=CF?+DF?,

即》2=（16-4+82,

解得：x=10,

•••CD=10.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题

的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明△ABE也△0b.

24.某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、。四个

等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图.

（说明：A级：90分~100分；B级:75分~89分；C级：60分~74分；。级：60分以下；

A级成绩为优秀，B级成绩为良好，C级成绩为合格，。级成绩为不合格）

其中B级成绩（单位：分）为：75,75,76,77,78,78,79,79,79,80,80,81,81,82,82,83,83,

84,86,87,87,88,89

请你结合图中所给信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整；

（2）样本中。级的学生人数占全班学生人数的百分比是；

（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；

（4）九年级（1）班学生的体育测试成绩的中位数是；

（5）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人？

【答案】（1）见详解(2)10%

(3)72°

(4)79

(5)330人

【分析】(1)8级的人数除以其所占比例求出总样本数，进而求出。级的人数，据此补全图形即可;

(2)根据(1)中。级的人数除以样本总人数即可求解；

(3)用360。乘以4级所占比例，即可求解；

(4)先判断出中位数落在B级的范围内，再在8级中找到第25、26个数，进而即可求出中位数；

(5)用九年级总人数乘以样本中良好及良好以上人数所占比例即可求解.

【小问1详解】

解：总人数为：23^46%=50(人)，

。级的人数为：50=10-23-12=5(人),

补全条形图，如下：

解：5+50=10%,

故答案为：10%；

【小问3详解】

解：360°x20%=72°,

故答案为：72。；

【小问4详解】

解：C级和。级人数为：5+12=17(人)，

8级有23人，

则可知50名学生的成绩的中位数为从小到大排列的第25、26个数的平均值为所求的中位数,

79+79”

即nn：-------=79,

2

故答案为：79；

【小问5详解】

解：500x(46%+20%)=330(人),

答：九年级再体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为330多少人.

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，解答本题的关键是注重数形结合思想，并联合条

形统计图和扇形统计图得出有用信息.

25.已知直线（：丫=履+6过点4（0,3）,且与双曲线&：y=:相交于点6（根，4）.

-T-J--1-----1

r-rr~rrr-rT

r-rr-r「以rr-rT-T

FTT-TT-T

r[3

■

厂：i

一2一1。123456

L

L-LL_L

L_LLL

(■..I__L_L_L_Li_J._x_x

（1）求加值及直线4的解析式；

4

（2）画出/一/,的图象，结合图象直接写出不等式"+b>—的解集

x

【答案】（1）m=l；y=x+3

（2）图象见解析，T<x<0或x〉l

【分析】⑴把3（肛4）代入:：y=/可得到点8（1,4）,再把点A（0,3）,3（1,4）代入《：y=H+b,即可求解;

X

4

（2）根据题意画出图象，再结合图象，即可求得不等式自+。>—的解集.

x

【小问1详解】

解：把3（加,4）代入4：y=3得：

X

4

4=一,解得：m=1,

m

.♦.点8（1,4）,

把点A（0,3）,3（1,4）代入4：y=l+6,得:

k+b=4k=l

,解得:

b=3b=3

直线/,的解析式为y=x+3；

【小问2详解】

解：列表如下:

_32

X..........-4-2-1124..........

~22

4_88

>=一..........-1-2-4421..........

X~33

画出图象如下:

观察图象得：期4的图象的交点为（TT），（1，4），

4

当~4vxvO或x>l时，直线《：y=H+匕的图象在双曲线［：y=一的上方，

x

4

・••不等式履+〃>一的解集为一4vxvO或x>l.

x

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思

想，综合性较强.

26.在平面直角坐标系X。）；中，抛物线丁=32-2m（相翔）与x轴交于点4,8,点A的坐标为（-2,0）.

（1）写出抛物线的对称轴；

（2）直线y=；x—4,〃—〃过点B,且与抛物线的另一个交点为C.

①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；

②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线ky=x+a和'y=-x+6组成图形G.当图形G与线段BC

有公共点时，直接写出点尸的纵坐标f的取值范围.

【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x=l；（2）①直线所对应的函数表达式为y=g尤-2,抛物线所对应的函数表

达式为>=-；/+》+4；（2）-^</<3

【分析】（1）由给定的抛物线的表达式，利用二次函数的性质即可找出抛物线的对称轴；

（2）①根据抛物线的对称性可得出点8的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标

特征，即可求出，〃、〃的值，此问得解；

②联立直线及抛物线的函数关系式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特

征求出直线/2过点8、C时6的值，进而可得出点P的坐标，再结合函数图象即可找出当图形G与线段BC有公共

点时，点尸的纵坐标r的取值范围.

2

【详解】（1）,・,抛物线所对应的函数表达式为y=/7ix-2nvc+n9

.•.抛物线的对称轴为直线x=-二期=1.

2m

（2）①;抛物线是轴对称图形，

.•.点A、8关于直线x=l对称.

•・•点A的坐标为（-2,0）,

・,•点8的坐标为（4,0）.

•.,抛物线y=nvc2-2nvc+n过点B,直线y=^x-4m-n过点B,

|16/7:-8m+n=0

2—4"：一〃=0

1

1TL=------

解得：\2,

n=4

119

・・・直线所对应的函数表达式为y=-x-2,抛物线所对应的函数表达式为y=--X2+X+4.

②联立两函数表达式成方程组，；，

y=—x2+x+4

I2

（A（X）=-3

x.=42

解得：\八，〈7.

[y=o[%=-5

•.,点B的坐标为（4,0）,

7

，点C的坐标为（-3,--）.

2

当直线，2：y=-x+〃i过点8时，0=-4+6”

解得：仇=4,

・•・此时直线/2所对应的函数表达式为y=-x+4,

当x=l时，y=-x+4=3,

・••点Pi的坐标为（1,3）；

7

当直线h：y=-x+历过点C时，-5=3+岳，

13

解得：历=--»

2

13

・••此时直