2022-2023学年高二数学上学期练习卷（人教A版2019浙江）期中测试卷02 含解析

2022-2023学年高二数学上学期期中测试卷02

一、单选题

1.已知双曲线Y-E=I的渐近线方程为y=±&,则该双曲线的离心率为()

m

A.IB.2C.叵D.

2310

【答案】B

【分析】由渐近线判断〃与b的关系，进而得到C与〃的关系，从而得到离心率e.

【解析】由双曲线方程得知：双曲线的焦点在X轴上，由渐近线方程知：±2=±K

Cl

即：⅛=3,即：b2=3a2,又/=/+22=44,・・・/=二=4,

a'a"

e>l,∙.e=2.

故选：B.

2.关于空间向量，以下说法不正确的是()

A.若两个不同平面α,β的法向量分别是〃，V,且"=(1,2,—2),V=(2,1,2),则

B.若直线/的方向向量为e=(1,0,3),平面a的法向量为〃=12,0,|),则直线〃∕ct

C.若对空间中任意一点O,^OP=∖θA+∖θB+∖θC,则P,A,B,C四点共面

442

D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的•一个基底，则这两个向量共线

【答案】B

【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断

C；由空间向量基底的表示可判断D.

【解析】对于A,M∙V=2+2+(-2)×2=0,所以A正确；

对于B,en=-2+0+2=0,所以e_L”,B错误

对于C,对空间中任意一点O,^OP=~OA+-OB+^-OC,满足!+!+:=1，则P，A,B,C四点共面,

442442

可知C正确；

对于D,两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.

故选：B.

3.若直线x-y-2=0与圆(χ-ap+y2=4所截得的弦长为2近，则实数〃为().

A.-1或√5B.1或3C.3或6D.0或4

【答案】D

【分析】根据直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用垂径定理即可

求解.

【解析】解：圆（x-4Y+y2=4的圆心坐标为30）,半径为2,

圆心（«,（））到直线X-y-2=0的距离为d=嚼1,

又直线xe2=0被圆/=4所截的弦长为2夜,

故2卜2_9丁=2亚,即（α-2）2=4,解得。=0或〃=4

故选：D.

4.已知直线斜率为3且T≤∕≤√5,那么倾斜角。的取值范围是（）.

八兀］「K3兀、「八π］「3KA

A.0,-uB.0,-u—,π

L3」|_24JL3」4J

「兀3π∖「八兀］「3兀、

C.θ,ɪD不丁D.0,——,π

L6」［24JL6」［4J

【答案】B

【分析】由-1≤%≤W,得到-l≤tanα≤√L结合正切函数的性质，即可求解.

【解析】由题意，直线/的倾斜角为"，则0∈［0,兀），

因为-1≤Z≤G,即-1≤tana≤√3,

结合正切函数的性质，可得CG0,jUIE,兀）.

故选：B.

5.若圆G/2+y2-2χ-,"=0与圆C∕χ2+y2+4y+m=0恰有2条公切线，则机的取值范围为（）

A.（0,4）B.（-1,4）C.（-1,0）D.［0,4）

【答案】B

【分析】由两圆相交可得参数范围.

【解析】因为圆C∣Xx-a+y2=l+机与圆G*+（y+2）2=4-“恰有2条公切线，所以

1+Wi>0,

<4-w>0,

∣J1++-14<∖∣5<∖∕l+m+14-加,

解得T<mv4.

故选：B.

6.已知.ABC的三个顶点都在抛物线V=6)，上，且尸为抛物线的焦点，若AF=g(AB+AC),则

IAFI+1BFI+1CFI=()

A.12B.10C.9D.6

【答案】C

【分析】设A,B,C的纵坐标分别是％%，为，由AF=1AB+AC),得三点纵坐标之和，再结合抛物线

的定义即可求出IAFl+∣BF∣+∣CF∣的值.

【解析】由χ2=6y,得p=3.设4,B,C的纵坐标分别是如以，%，由AF=g(AB+4C),有

319

5-%=§(丫2-X+%-y)，即X+%+%=5.

由抛物线的定义可得：|A"+|8F|+|b|=x+%+%+¥=3p=9.

故选：C

22

7.已知椭圆C:二+与=l(α>0>0),P是椭圆C上的点，耳(-GO).耳(GO)是椭圆C的左右焦点，若

Crb~

∕YJ∙PE≤〃'恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是()

A.[与ɪ,(B∙(θ-√2-l]C.1,存ɪ]D-[√2-l,l)

【答案】A

【分析】设出P点坐标后将P/=;∙Pg用坐标表示，结合尸在椭圆上，将尸点坐标代入椭圆方程，二者联立

后化简即可得出离心率的取值范围.

2

【解析】设P(飞,％),」.网=(c-¾,-y0),Pfj=(-c-xct,-y0),.∙.PFcPF2=x^-c+yθ<ac,

尸在椭圆上，；.£+4=1,%e[-a,a]y；="**,

a~b~a~

.∙.考一¢2+),：=*一¢2+空F≤ac,两边都乘以/化简后得：c2xl-2a2c2+a4≤a3c,

a

34

≤-+202-∙^-,xθ∈[θ,α2],

1J+2—二,

Cc2ee1{e2J4

e≥421,又因为椭圆离心率e∈(0,l),r.e∈[Y^—,1).

故选：A.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方

法：

①求出4,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,b,C的齐次式，结合〃=02—d转化为“，C的齐次式，然后等式（不

等式）两边分别除以a或廿转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

8.在正四面体D-ABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E在棱AB上，满足AE=2EB,点产为线段AC

上的动点.设直线。E与平面Z）M所成的角为α,则（）

A.存在某个位置，使得DELBFB.存在某个位置，使得NFDB=T

C.存在某个位置，使得平面。EF_L平面D4CD.存在某个位置，使得α=g

【答案】C

【分析】设正四面体。—ABC的底面中心为点。，连接。。，则/）O_L平面ABC,以点。为坐标原点，OB、

。。所在直线分别为X、Z轴建立空间直角坐标系，设正四面体O-ABC的棱长为2,然后利用空间向量法

逐一分析求解可得结果.

【解析】如下图所示，设正四面体D-ABC的底面中心为点。，连接。。，则。O-L平面ABC,

以点。为坐标原点，OB、Oo所在直线分别为X、Z轴建立空间直角坐标系，

设正四面体ABC的棱长为2,

nMGmlCGnn）（√3,√√3In）

则IA——1,0、BC,0,0、C——,1,0、D0,0,--—、E,0

333333

设尸-#,X,θ],其中一1≤241,

对于A选项，若存在某个位置使得DEYBF,DE=

--1

.∙.DE∙BF=-1--Λ=O,解得4=—3,不合乎题意，A选项错误;

对于B选项，若存在某个位置使得NFDB=J,DF=--,DB=二。，。，一二富

4(33)133

八c2DFDB21√2

8SR">=网网=kVE='该方程无解'B选项错误；

对于C选项，设平面ZMC的一个法向量为“7=α,y∣,z∣),

G

*A=-T2√6_

χ↑~y∖——Z]=0

G取z∣=T,得根=(2夜,0,-。，

Cɪ2√6八

力=-T

χι+y>—γ^ZI=O

设平面DEF的一个法向量为〃=(W,%，z?)，

门口612√6_

D0

nE=~x2--y2一一-Z2=

由-,¾y=4√6,K∣J∏=(2√2+6√2Λ4√6,3Λ-1),

nc,√3,2√6n

n∙DF=一一-x2+λy2-z2=0

若存在某个位置，使得平面力£F_L平面ZMC,则m∙"=21∕l+9=0,解得2=-，e[-1,1],合乎题意，C

选项正确;

对于D选项，设平面08尸的一个法向量为"=(j⅞,%,Z3)，

C2√32√6

U∙DBlJ=-----X.--------Za=On

3333

l⅛-令z=,则U=,

nc.√332√6_

u∙DF=——-x3+Ay3----—Z3=()

若存在某个位置，使得即工=∣I∖u-DE∖W+I)∣

α=9,Sin∙1=cos<w,DE>=∙j~~；—J----r

66211H-IDEI2√7×√Λ2+2

整理得5纪-4∕l+12=0,Δ=16-240<0,该方程无解，D选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.

二、多选题

9.下列说法中，正确的是()

A.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B.过α,y),(z,%)两点的直线方程为T=T

必一Λ2-Λ1

C.过点(1,1)且与直线2x+y+l=0相互平行的直线方程是y=-2x+3

D.经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0

【答案】AC

【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【解析】对A,直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是gx4x4=8,故A正确；

对B,当X2=x∕或”=)，/时，式子一—=L无意义，故B不正确；

对C,与直线2x+y+l=0平行，所求直线设为2x+y+C=0,将点(1,1)代入得C=-3,所以所求直线为

2χ+y-3=0,即y=-2x+3,故C正确；

对D,经过点(1,2)且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x,故D错误,

故选：AC.

10.如图，..ABC和C所在平面垂直，S.AB^BC=BD,ΛCBA=ZDBC=UOo,则()

A.直线AC与直线BC所成角的大小为90。

B.直线A8与直线CO所成角的余弦值为正

4

C.直线AO与平面BCD所成角的大小为45。

D.直线AO与平面BC。所成角的大小为60。

【答案】ABC

【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.

【解析】以8为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-Λ>Z,

设AB=2,则A(0,-1,K),C(0,2,0),D(√3-1,0),

所以AO=(√5,O,-√5),潴=(0,2,0),AB=(θ,l-√3),CD=(√3,-3,θ).

因为AE>∙8C=0,所以4DJ-BC,

即直线A。与直线BC所成角的大小为90。，A正确..

ABCDG

因为CoS(AB,8)=—π—==,

'/AB^CD4

所以直线AB与直线CQ所成角的余弦值为正，B正确..

4

设AD与平面BCO所成的角为〃，因为"=(0,0,1)是平面BCQ的一个法向量,

AD•7?=等，所以。=45。，

AD,n^=

AD^n

即直线AO与平面BCZ)所成角的大小为45。，C正确，D错.

故选：ABC.

11.若椭圆的焦点为耳(-c,0),巴(GO)(c>0),长轴长为2α,则椭圆上的点(x,y)满足()

2222

A.1J(χ+c)+y+ʌʃ(ɪ-e)+y=2aB.~^=4-1

，(…『+y2=C--------_——

2ax

C.aaD∙J(x-c)÷y^~~^

c

【答案】ACD

【分析】根据椭圆的两个定义可判断AC；根据分母不能为O可判断B；直接化简可判断D.

【解析】由椭圆定义可知，A正确；由椭圆第二定义可知C正确；B中显然x≠±α,即椭圆上的长轴端点

不满足B中方程，故B错误；由J(X-C)2+y?=a竟X两边平方可得(x—c『+-=(叱∕>,整理得

^Lχ2+2=a2_c2t即=+3=],故D正确.

a2a2b2

故选：ACD

则I耳刀-ErI=山S∣-EW="S∣+∣PS∣-(内国+∣PAI)=I尸用Tp闾=2α,又⑶刀+后刀=勿，可得

∖Fj∖=c-a,

则T(4,0)和4重合，即APKK的内切圆圆心Cl的横坐标为。，同理可得,S透的内切圆圆心G横坐标也

为。，

则GC2,χ轴，且|C£卜4+4,作G2∙LP。于2,则打即为切点，作c?GJ∙G。于G,则∣G4∣=/

IeG=ICQITGW=ri-r2,IGq=IGWTA闾+0闯=2∣77⅛∣=2(c-α),在λC1C2G中，

2

可得ICGI2=∣GG∣2+∣C2G∣2,即α+4)2=6-4)2+[2(c-α)],整理得∕i∕=(c-α)2,D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.已知双曲线C:报-(=1(。＞0,。＞0)的左、右焦点分别为"、F1,过”的直线/与C的左、右支分

别交于A,B两点.若86，3外，且片鸟的面积为AAK居面积的4倍，则C的离心率为_____.

【答案】返

3

【分析】由条件可得忸耳∣=4∣A可，设IA用=x,然后由双曲线定义可得IA周=2α+x,忸闻=4x-2α,然

后在AB居中由勾股定理可求得X=,ɑ,然后在大名中由勾股定理可得答案.

O

【解析】因为48"鸟的面积为△的K面积的4倍，所以忸制=4∣A"∣,

设IA用=x,则∣%∣=4x,

由双曲线定义可得IMHA用=2α,∖BFl∖-∖BF2∖=2a,

所以IAEl=2α+x,∖BF2∖=4x-2a,

在，AB8中，由勾股定理可得M周2=忸用2+|A8「，B|J(2«+X)2=(4X-2«)2+9X2,解得x=∙∣α,

所以IM=争,IBBl=%

所以在△引济中，由勾股定理可得恒/ʧ=忸勾2+忸联即府=蜘2+等

所以可得e=乌

故答案为：4变

3

14.己知光线从点A(6,1)射出，到X轴上的点B后，被X轴反射到y轴上的点c,再被y轴反射，这时反

射光线恰好经过点。(4,4),则Co所在直线的方程为________.

【答案】x-2.y÷4=0

【分析】由题意可知直线BC一定过A(6,l)关于X轴的对称点(6,-1),且一定过0(4,4)关于y轴的对称点

(T,4),从而可求出直线BC的方程，即可得到C点坐标，进而得到直线CO的方程.

【解析】如图，由题设点B在原点。的右侧，直线BC一定过A(6,l)关于X轴的对称点(6,-1),且一定过

0(4,4)关于y轴的对称点(T,4),

令X=0,则y=2,所以C为(0,2),

所以的方程为y=gx+2,即x-2y+4=0,

4-0

故答案为：x-2y+4=0

15.设空间向量i,j"是一组单位正交基底，若空间向量〃满足对任意的χ,y,∣α-χ"x∕∣的最小值是2,则

卜+3%|的最小值是_________.

【答案】1

【分析】以i,j方向为MN轴，垂直于i,j方向为Z轴建立空间直角坐标系，根据条件求得α坐标，由卜+3W

的表达式即可求得最小值.

【解析】以方向为χ,y,z轴建立空间直角坐标系，则i=(l,0,0),/=(0,1,0),%=(0,0,l)

设α=(r,sJ)贝”4_xi_>>y∣=J(T-Xy+(s-yf+/,

当r=x,s=y时,-H->7-|的最小值是2,

.∙.∕=±2

取α=(x,y,2)贝!∣α+3无=(x,y,5)

222

.∙.∣<2+3⅛∣=y∣x+γ+5

又因为x,y是任意值，所以∣α+3k∣的最小值是5.

取“=(x,y,-2)贝!∣a+3左=(x,y,l)

222

.∙.p+3⅛∣=y∣x+J+1

又因为χ,y是任意值，所以卜+3耳的最小值是1.

故答案为：1.

16.已知尸为抛物线C:y2=4x的焦点，过点F的直线/与抛物线C交于不同的两点A,B,抛物线在点

A,8处的切线分别为4和/2,若《和4交于点P，则”+黑的最小值为______.

4IABl

【答案】4

【分析】设直线/：x=my+∖,利用韦达定理求得∣AB∣,设∕l:y-y=MX-玉)(ZX0),利用判别式求得直

2

线的方程，进而得到户的坐标，从而可得IPF一I+ri⅛6=竺4«?士+4+二1一67,再利用基本不等式即得.

4IABl44m2+4

【解析】由题可知尸(1,0),设直线/：x=my+∖,

直线/:X=冲+1与y2=4x联立消X,得y2-4∕wy-4=0,

4

设A(X∣,y∣),B(x2,y2),则y+%=4-,Xy2=-,

Λ∣Aδ∣=xx+电+2=M(X+%)+4=4，/+4,

设4：。一。=MX—XJ(ZWo),

由黄”2，可…»=。，

∙*∙ʌ—(―z)-4(5y∣—4九1)=0'又y；=4X1,

2,

%

x-x

Λl∖∙y-y↑=—(ι),即yly=2x+2xl,

同理可得4:J2y=2x+2x2,

所以可得XP=；,KM=T，力=；(x+%)=2加，即P(T2m),

.∙.∖PF∖=√W+4，

.∙.四L+4=%上+-J^=Z√+]+J-24,当且仅当z√+ι=Y-,即加=土]取等号.

4∖AB∖44m-+4m+1次+1

故答案为：4.

四、解答题

17.已知几何体ABeDEr中，平面ABCZ)J_平面CDER四边形A5C。是边长为4的菱形.N3C£>=60。，四

边形CDEb是直角梯形，EFCD,EDLCD,fiEF=ED=2.

EF

/,方——W》

//一F/

................

AB

⑴求证：ACA.BE：

(2)求平面A。E与平面BC尸所成角的余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析

⑵也

7

【分析】(1)作出辅助线，由线线垂直得到线面垂直，进而证明出ACi∙B2(2)建立空间直角坐标系,

利用空间向量求解二面角的余弦.

(1)

连接8。，

因为四边形ABC。是菱形，

所以AULB。，

因为平面ABCD_L平面Cr)E凡交线为CD,EDVCD,EOU平面CZ)E凡

所以Ez)J_平面ABCZ),

因为ACU平面ABC£>,

所以EDlAC,

因为Br)ED=D,

所以AuL平面BDE,

因为BEu平面BDE,

所以AC_LB。

(2)

取BC的中点G,连接£)G,BD,

因为NBCz>60。，四边形ABCD是边长为4的菱形，

所以。GLBC,因为A。〃BC,所以QGLAQ,

以。为坐标原点，D4所在直线为X轴，OG所在直线为y轴，OE所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系,

则β(2,2^,θ),c(-2,2√3,θ),F(-l,√3,2),

设平面BCZ7的法向量为机=(x,y,z),

m∙BC=-4x=O解得：X=O,令y=l,z=^^,

则

m∙BF=-3x->∣3y+2z=O

平面ADE的法向量为A?=(0,1,0),

m`n2√7

cosm,n=-~~7-r—r

设平面4。E与平面BCF所成角为6,显然。为锐角,

则cosθ=cos卜乳,〃)=2,

18.已知点M(1,3),圆C(x-2)2+(γ+l)2=4,/：x+y+4=0.

(1)若直线过点M,且被圆C截得的弦长为26，求该直线的方程;

(2)设P为已知直线/上的动点，过点尸向圆C作一条切线，切点为Q,求∣P0∣的最小值.

【答案】⑴龙=1或15x+8y-39=0

【分析】(1)求出圆C的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；

(2)由题意可知当IPQI最小时，C尸连线与已知直线/垂直，求出ICPI,再利用IPQl=JlCPF"计算即

可.

(1)

由题意可知圆C的圆心到直线的距离为后二至=1

①当直线斜率不存在时，圆C的圆心到直线距离为1,满足题意；

②当直线斜率存在时，设过“(1,3)的直线方程为：γ-3=⅛(x-l),即履-y+3-A=。

解得T

由点到直线距离公式列方程得:

综上，过M(l,3)的直线方程为X=I或15x+8y-39=O.

⑵

由题意可知当IPQl最小时，CP连线与己知直线/垂直,

=|2-1+4|5√2

由勾股定理知：∖PQ∖=y∣∖CP∖2-22==ɪ,

所以IPQl的最小值为画.

2

19.若两个椭圆的离心率相等,则称它们为“相似椭圆”.如图,在直角坐标系Xoy中，已知椭圆C/：4+4=1,

63

Al,42分别为椭圆C/的左，右顶点.椭圆C2以线段A*2为短轴且与椭圆C/为“相似椭圆”.

⑴求椭圆C2的方程；

⑵设P为椭圆C2上异于4,A2的任意一点，过尸作PQLX轴，垂足为Q,线段PQ交椭圆C/于点求

证：A1H1PA2

22

【答案】⑴2+工=1

126

⑵证明见解析

【分析】⑴由e=£=ʌʃpɪ=正，设椭圆C2的方程为£+±=1,且万=而，根据两个椭圆“相似椭圆”,

a∖a22Crb-

求得M=12,即可求解；

222I2^

（2）不妨设尸（也〃），代入台+*=1,求得病=6彳，把X=机代入椭圆G，求得“（〃?,朴今~），结

合以H4%=T,即可求解.

（1）

解：由椭圆G：［+；=1的离心率为e=£==立•，

63a∖a22

设椭圆G的方程为上τ+±r=1（">匕>0），且b=«,

Crb~

因为两个椭圆“相似椭圆“，可得e=JΓW=变，解得/=12,

V02

所以椭圆G的方程为《+£=1.

126

⑵

,>•>2

证明：不妨设尸（利,九），其中〃>0,则£+工=1,可得加2=6—工，

1262

代入椭圆G：J+：=1,可得y=,3-1∙,所以H(m,卜―口)，

把X=7〃

CZ

所以，_V2._〃，

k^

LIw2

J3----------

∣,Λ—2X"_Y_2=n_〃一!

切Γ}C以Jbk

KA11PA2m+∖∣6m-y∕βw2-6√2∙√6-∕n2&/一e―，）

所以AH-LPA2.

20.如图，四边形ABC。为梯形，ABHCD,ZC=60°,8=2Cβ=4A8=4,点E在线段CZ）上，且

BELCD.现将.ADE沿AE翻折到ZV¾E的位置，使得PC=√iU.

E

L：uCE

(1)证明：ΛE-LPB；

「是线段PE上的一点(不包含端点)，是否存在点M,使得二面角P-BC-M的余弦值为如？若

(2)点M

3

ME

存在，则求出笠；若不存在，请说明理由.

PE

【答案】(1)证明见解析

ME_1

(2)存在

'PE^3

【分析J(1)利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；

(2)禾］用线面垂直的判定定理证得PB_L平面C4E,建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法

即可求解.

(1)

证明：因为四边形ABC。为梯形.ABHCD,ZC=60,CD=2CB=4AB=4,

所以C£：=1,BE=BAE=2,E£)=3,ZAEO=60°,ZAEB=30,

即PE=3ZAEP=60,

在ΛPEI4中，过P作尸尸，AE,垂足为尸，连接BF.

3

在二尸所中，PE=3,NAEP=60,所以EF=

3

在.BEF中,EF=7BE=C，ZAEB=30，

3

由余弦定理得B尸=BE2+E尸-2BE∙EF∙cos30=-,

所以BF=@，所以BF?+EF2=BE2，所以BFJLEF,即MJ_E4.

2

又BFPF=F,BfPFu平面BFP,所以4E，平面3EP.

又PBU平面班尸，所以AE_LPB.

(2)

在AFCE中，PC=M,PE=3,CE=I,.∙.PC2=CE2+PE2,'CELPE.

又CE工BE,PEcBE=E,PE,BEu平面产的，,CEJ_平面尸8E.

又PBU平面PBE,.-.CELPB.

又AELPB,CEAE=E,比,4后匚平面。4£,二心，平面。4£.

以8为原点，8E,8A,8P所在的直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则3(0,0,0),E(√3,θ,θ),P(θ,θ,√6),c(√3,-l,θ),

所以8C=(G,T,O),BP=(0,0,√6),BE=(G,0,0),EP=(-√3,0,√6).

设EM=/IEP=Λ(-√3,0,√6)=(-√3Λ,0,√6Λ),λ∈(0,1),

则BM=BE+EM=(√3-√3λ,0,√6λ).

设平面BeP的一个法向量为4=(Xl,X,zJ,

-BC=OV.=0L

,令玉=1,则4=(1,石,0).

BP=O

设平面BCM的一个法向量为〃2=（工2，%*2），

BC=Oy∕3x2-y2=0

BM=C-√3Λ)X+√6ΛZ=0

U2Ξ

因为二面角P-BC-M的余弦值为渔,

3

，解得4=；或/=-1(舍),

所以存在点M,使得二面角P-BC-M的余弦值为"，此时”=!.

3PE3

22

21.己知M,N为椭圆Cj*∙+y2=i(α>0)和双曲线C∕∣y-y2=ι的公共顶点，e?分别为Cl和G的

离心率.

⑴若e∣g=~^-∙

(i)求C?的渐近线方程;

(ii)过点G(4,0)的直线/交C?的右支于A,B两点，直线MA,M8与直线x=l相交于A,4两点，记

,=—+

A,B,A1,用的坐标分别为(x∣,yj,(孙丹)，(演，必)，(¾>>4)>求证：,+—一;

ʃɪ必必

(2)从Cz上的动点P(Λ0,%)(Λ0≠±α)引C1的两条切线，经过两个切点的直线与C2的两条渐近线围成三角形

的面积为S,试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)(i)y=±；x；(ii)证明见解析

(2)是定值，S=a

【分析】(1)(i)根据椭圆和双曲线的离心率公式求得/,即可求出双曲线的渐近线方程；

(ii)直线AB的方程为X=。+4,与双曲线方程联立，利用韦达定理求得X+%,X%,从而可求出,+一,