2021-2022学年高一年级下册期末数学模拟测试卷

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷01

一、单选题

1.已知复数2=、2-1)+(4+1",若2是纯虚数，则实数a等于()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】

根据纯虚数的定义列出式子即可求解.

【解析】

<22—1=0

若Z是纯虚数，则1,八，解得。=1.

故选：B.

2.已知向量&=(1，2),B=(-2,m),若则实数机的值为()

A.4B.-4C.1D.-1

【答案】B

【分析】

根据向量共线的坐标运算即可得出答案.

【解析】

解：因为a=(1,2),石=(-2,/n),a//5,

所以机+4=0,解得：m=-4.

故选：B.

3.如图所示，正方形O‘AB'C'的边长为2cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是()

A.16cmB.85720111C.8cmD.4+4^cm

【答案】A

【分析】

根据斜二测画法的性质，结合直观图得出原图形的各边边长，从而得出周长.

【解析】

直观图正方形O'AB'C'的边长2cm

O'B'=2>/2

，原图形为平行四边形OABC,其中。4=2cm，高=4J2bm

AB=CO=J32+4=6cm

即图形的周长2x6+2x2=16cm

故选：A

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于利用斜二测画法的性质，即平行于％轴的线段长度不变，平行于y轴的线段的长

度减半.

4.设函数/（X）=cos[x+g],则下列结论,嶙的是（）

_27t

A./（X）的最小正周期为2兀B./（X）的图象关于直线》=亍对称

（7t\兀

C.在不，兀单调递减D.7（无）的一个零点为x=z

【答案】C

【分析】

根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.

【解析】

•.•函数/（x）=cos（x+；J,的最小正周期为2兀，故A正确;

,/2冗（27171}271

,**/飞~=c°s[-y+]J=-1，「,/（冗）的图象关于直线工=小一对称，故B正确;

711/G）没有单调性

当XW时，工+w£故c错误;

/（l）=cosR+lUo,/（X）的一个零点为％=高

故D正确.

综上，错误的选项为C.

故选：C.

5.已知3,分为单位向量，|。+4=。『一斗，记》是与3+五方向相同的单位向量，则[在3+石方向上的

投影向量为（）

1-2J6.J6-272-

A.丁B.—'eC.--eD.----e

3333

【答案】C

【分析】

利用向量投影的定义求解.

【解析】

由题设可得2+2ZZ=2-4L+2,即=则£.（/+5）=1+；=:，

设Z与£+石的夹角为a,则忖-『+qcosa=1.

乂忸+可=，+2'=-^,故同cosa=父＞^^=4，

因为e是与Z+5方向相同的单位向量，所以a在，+5方向上的投影向量为.

3

故选:C

6.己知向量々出的夹角为丁忖=2网=2,向量3=疝+苏，且x,ye[l,2],则向量夹角的余弦值

的最小值为（)

3旧

A.叵B."C.正

77214

【答案】A

【分析】

依题意可得cos=〃———^―-—,,

\'Vx2+2xy+4y2

3y23x2+2xy+4y2(\(、2

令“=X2+2q+4反则「~T―+2—+4——+1+3,

\yj\y)\y)

14

通过换元可得〃€a，7,所以,当"=7时，可得COS（4,C）的最小值.

【解析】

依题意可得网=1,网=1,则4・5=|叶砰cosg=lx2x]=l,

a-c=a-+yb)=♦6=x+y,

C2=(m+)=x2d2+2xya•b+y2b2=冗2+2xy+4y2,则同="2+2芍，+4y2,

MNx+yX2+2xy+yl-3尸，

所以，cos您）

网,行I/2+2盯+4y22X2+2q+4y2'

3y2川3_m+2盯+4y2X2+2(-(V

令〃=------1--------+4=±x+l+3,

%2+2旬+4y2uy2y)\y.(y)

x1

令》=一，由x,yeH,2]得fw2,

y2

3/、174

则—=V4-1)2+3£,所以「-,4

U故"e

4

所以，当〃时,

故选：A.

【点睛】

3），214

关键点点睛：本题关键点是：令”…），+4u通过换元得到心匕，亍

7.如图所示，正方体的棱长为1,线段4Q上有两个动点E、F且E/三邛，则下列结论中错

误的是()

A.ACVBEB.EF〃平面ABC。

C.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,8尸所成的角为定值

【答案】D

【分析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【解析】

A,因为ACJ,8£),AC_L口3。=。，所以ACJ•平面BODR,

又因为BEu平面BDDR,所以AC，BE,故正确；

B,因为D、BJ/DB,所以EF//DB,且EF仁平面ABCD,DBu平面ABCD,

所以瓦'〃平面ABC。，故正确；

C.因为S=>xEFxBB=丑为定恒,A到平面BOOB的距离为力=J_AC=Yi,

“BEF2I41122

所以匕-6江=(5,舸.力为定值,

故正确;

D.当0qn8R=E,ACoBD=G,取F为%,如下图所示:

因为BF//EG,所以异面直线4瓦8尸所成角为/AEG,

V2

且tan/AEG=丝工叵

GE12

当尸，ACoBD=G,取E为R,如下图所示:

因为DF//GB,D、F=GB,所以四边形RGBE是平行四边形，所以BF“DG,

AG

tan/AEG=

所以异面直线所成角为NAEG,且GE

由此可知：异面直线AE,5尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，

难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

8.函数/（x）=2sin（3x+（p）G）〉。）图像上一点尸（s,f）j2＜，＜2）向右平移2兀个单位，得到的点。也在

f（无）图像上，线段P。与函数/Q）的图像有5个交点,

且满足f若

y=/（x）,xe0,1与y=a有两个交点，则。的取值范围为（）

A.B.[-2,->/2]c,[x/2,2）D.[72,2]

【答案】A

【分析】

首先根据已知条件分析出|P0=2兀=2T,可得①=2,再由/0—x）=/（X）可得y=/（X）对称轴为

x=3,利用/一：〉/（°）可以求出符合题意的一个中的值，进而得出/G）的解析式，再由数形结合的方

»、乙）

法求。的取值范围即可.

【解析】

-----------•

p|V

如图假设尸（0,0）,线段尸。与函数/G)的图像有5个交点，则|PQ|=2JI,

所以由分析可得|PQ|=2兀=2T,所LXT=n,

2兀2兀日

可得°5=k=—=2,

T71

因为/（2一》）=/6）所以/：一（白+“卜山+”,即/Q=//x)

所以X=：是/（X）的对称轴，

O

所以2x?.+（p=三+而（kez）,即(P=；+攵兀(keZ),

82

/（一=2sin（-71+（p）=-2sin（p>/(0)=2sin(p,

37t

所以sin（p<°,可令人二一1得（p=一.

-八兀］c3兀「3兀兀］

当XE0,-时，令2%一彳=/£,则/UJ=2sinr,te

作了。）图象如图所示：

371cL兀兀C

当t=_才即x=0时y=_JJ,当/=一不■即x="时，y=-2,

4Lo

由图知若y=/（x）,八兀

xe0,_与y=a有两个交点,则”的取值范围为

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点夕（0,0）便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及

三角函数的性质求出了Q）的解析式，再利用数形结合的思想求解。的取值范围.

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.若同=2,则z;=4

B.若复数Z?满足K+Z2|=|Z1一Z2|,则Z£=0

C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等

D.“a01”是，，复数z=Q-D+。2_1）QeR）是虚数”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】

由忖求得Z工判断A；设出土，%证明在满足卜+Z卜卜［z?|时，不一定有Z£=0判断B；举例说明C

错误；由充分必要条件的判定说明D正确.

【解析】

若卜|=2,则=同2=4,故A正确；

设z=a+bi(a,bG7?)z=«+bi(a,heR)

111II22222

由K+ql=lq可彳眶+寸=(%+与)2+("[+幺、=K一寸=Q|-"2，+("i一幺》

niijaa+bb=0,而zz=G+bi)Q+bi)=aa-bh+abi+bai=2aa+Qbi+hai不一定为

121212112212121212121212

0,故B错误；

当z=l-i时Z2=-2，为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；

若复数Z=(a-l)+(a2-l)(aeR)是虚数，则。2-1/0,即

所以“a。1”是“复数z=(«-1)+Q-1)(。eR)是虚数”的必要不充分条件，故D正确;

故选：AD

【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

10.若向量2=(、6，3),B=(〃,&),下列结论正确的是()

A.若同向，则〃=1

B.与a垂直的单位向量一定是一%，5

C.若否在i上的投影向量为3e(工是与向量3同向的单位向量)，则〃=3

D.若2与5所成角为锐角，则〃的取值范围是〃＞一3

【答案】AC

【分析】

A.先根据〃共线确定出〃的可取值，然后根据〃同向确定出〃的值；

B.分析［一方二''J的相反向量与£的位置关系并进行判断；

a-b_-

C.根据不丁=^求解出〃的值；

D.根据"石〉0且不同向即可求解出n的取值范围.

【解析】

k〃=

A.设£=左6,所以，_,所以&=W，〃=1,即a=J35,所以〃=1满足，故正确;

pk=3

因为事串1

0,所以2~2也是与a垂直的单位向量，故错误;

y/3n+3yfi

ab3

因为石在♦上的投影向量为31,所以府=3,所以，所以〃=3,故正确;

因为。与方所成角为锐角，所以£•〃>()且a,B不同向,

36>°,所以〃e(-3,1)U(1，”)，故错误;

故选：AC.

【点睛】

思路点睛：已知向量的夹角为锐角或者钝角，求解参数范围的步骤：

(1)根据两个向量的夹角为锐角或钝角，得到―%>0或£•〃<(),求解出〃的范围；

(2)特殊分析：当两个向量共线时，计算出参数的取值；

(3)排除两个向量共线时参数的取值，确定出参数的取值范围.

11.对于函数/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx,下列结论正确的是()

A.把函数的图象上的各点的横坐标变为原来的；倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则兀是函数)=g(x)

的一个周期

B.对字工，人="I，若x<工.则/(X)</(x)

12I2JI212

C.对Dx£R,/(二-工］=/成立

兀

D.当且仅当》=彳+左兀，后eZ时，/（x）取得最大值JT+1

【答案】AC

【分析】

根据三角函数的变换规则化简即可判断A；令/=411》+（：05》=J»sin［x+［）,f（l）=t2+t-\,判断函

数的单调性，即可判断B：代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出了（，）的最大值，从而得到x的取值；

【解析】

解：因为/（%）=sinx+cosx+2sinA:cosx=sinx+cosx+Vsinx+cosx）2-1,令

，二sinx+cosx="5山1x+一,所以\乃，展］,所以/（）=,2+一,

I4

对于A：将/（x）=sinx+cosx+2sinxcosx图象上的各点的横坐标变为原来的;倍，则

g（x）=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x,所以

g（x+7i）=sin2（x+7i）+cos2（x+7r）+2sin2（x+7i）cos2（x+7t）

=sin2x+cos2x+2sin2xcos2x=g（x）,所以兀是函数y=g（x）的一个周期，故A正确；

3兀］.兀，57177r

对于B：因为XG［兀,花-J,所以彳

则t=asin（x+：e［一、仅一J在［，学）上单调递减，在（学，言上单调递增,

又/（）="+/—1=（/+："对称轴为"一:，开口向上，函数在［一/一1）上单调

递减,

所以函数在（兀，言）上单调递增，在5兀3兀

T5T上单调递减,

故B错误;

C：/（?-x）=sin（：-x）+cos（；-x）+2sin（；-x）cos（；-x）

/g+x)=sin(：+x)+cos(?+x)+2sin[；+x)cos任+x

因为/G)=，2+f—1='+JXJT],当t=e时/G)取得最大值/G)=72+1,令

则sin[x+；)=1717T7t

t-yf2sinIx+—I=5/2,所以x+]=1+2Kc,女eZ,解得x=a+2Kt,ZeZ,

即当x=；+2攵兀水€2时・，函数/G）取得最大值J»+l,故D错误;

故选：AC

【点睛】

本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令。=sin尤+cosx,将函数转化为二次函数；

兀

12.己知乙筋。中，BC=4&，C8。为边AC上的高，且AO=JI。，沿BD将△ABD折起至

△PBD的位置,使得cos/POC=Xi9,则()

10

A.平面PDC,平面BDC

B.三棱锥P-BCD的体积为8

C.PC=72

D.三棱锥P-BCD外接球的表面积为36K

【答案】ACD

【分

根据BD1AC及翻折前后几何元素的位置关系得到BDLPD,BD1DC,从而可得平面PDC1平面

BDC,A选项正确；

先根据已知求出℃,再求得sin/PDC,然后利用三角形的面积计算公式、锥体的体积计算公式及等体积法

求得结果，即可判断B选项；

在APDC中利用余弦定理求得PC的值，即可判断C选项；

利用几何直观及三棱锥尸-BCD外接球的球心与侧面的位置关系，结合已知得到部分几何元素的数量关系，从

而求得三棱锥尸一BCD外接球的半径，最后根据球的表面积的计算公式求得结果，即可判断D选项.

【解析】

对于A：因为BD为边AC上的高，所以BD1AC,沿8。将△A3D折起至5BD的位置后，BDLPD,

BD±DC,所以BD1平面PDC,所以平面PDC1平面BDC，所以A选项正确；

1T

对于B：因为BC=4点,ABCD=—,所以80=DC=4,又

sin/PDC=J1-C0S2/PDC=炳，所以S=1x4xJ10x^=2,

v

10APDC210

”,z1“c8

V=V=_x4x2=_,所以B选项不正确；

P-BCDB-PDC33

对于C：在△PDC中，PD=回,DC=4,cosNPDC=±*6，由余弦定理可得

v10

PC2=PD2+OC2-2PO-OCcosNPOC=10+16—2师x4xl^=2,所以PC=",所以C选项

正确；

对于D：如图，记。为三棱锥产一BCD外接球的球心，N为△「£>(:外接圆的圆心，连接ON,则。可_1_平

面尸。C,取8C的中点M,的中点。，连接"Q,得MQ//BD,又平面P0C,所以,平

面P£»C,故ON〃M。，连接OM,NQ,易知。M_L平面8OC,%。_1_平面8。。，故OMHNQ,且

NQ1MQ,则四边形OMQN为矩形，连接OD,DN,则ON为外接圆的半径，由正弦定理可得

2DN=-_—_.==2y]51

sinZPDC晒7,所以DN=邪，又ON=MQ=qBD=2,故外接球半径

~W

ODEON2+DN2=3,所以三棱锥P—BCD外接球的表面积为47tx32=36兀，所以D选顼正确.

故选：ACD.

p

方法点睛：三棱锥外接球的球心的一般作法：

分别找到两个侧面三角形的外心，再分别过外心作相应平面的垂线，两垂线的交点即三棱锥外接球的球心，通常

是找到两个特殊三角形，因为这样易找到外心或易求得外接圆的半径.

三、填空题

13.已知复数z满足卜+2—2，］=1,则卜—2—2i|的最小值为.

【答案】3

【分析】

可得|z+2—2i|=l表示复数z对应的点在以(―2,2)为圆心,1为半径的圆上，卜一2-2可的最小值即为复数z对

应的点到(2,2)的距离的最小值.

【解析】

由k+2—2，］=卜一(-2+24=1可得复数2对应的点在以(—2,2)为圆心，1为半径的圆上，

卜一2—2/］=卜一(2+2”表示复数z对应的点到(2,2)的距离，

点(-2,2)到点(2,2)的距离为*2-2»+(2-2%=4,

则卜一2—24的最小值4—1=3.

故答案为：3.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键是正确理解复数的几何意义，判断出|2+2—24=1表示复数2对应的点在以(-2,2)

为圆心，1为半径的圆上.

1

14.关于/(x)=sinx--,有如下四个结论:

sinx

①/（X）是奇函数.

②/*）图像关于y轴对称.

③x=彳是fM的一条对称轴.

④/（X）有最大值和最小值.

其中说法正确的序号是

【答案】①③

【分析】

借助于y=sinx的性质，对照四个选项，一一验证.

【解析】

{x\x^klt,kGZ}

/(x)=sinx-_—的定义域

sinx

对于①：定义域关于原点对称，/（r）=sin（r）-而占广-卜门+白=-小），即用）是奇函数,

故①正确;

/（X）是奇函数，图像关于原点对称，故②错误;

7171

所以/（'—》）=/（爹+X）,故③正确;

对于④:令/=sinx,fe[-l,O）U（O,l]则y=/-1G(-OO,+CO)

无最小值，无最大值，故④错误.

故答案为：①③

【点睛】

这是另一种形式的多项选择，多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.

15.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜耗，并大斜靠，减中斜靠，余半之，自乘

于上：以小斜恭乘大斜幕，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式

jI（c>+—b?p

S=C2a2--___L（其中〃、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在△钻。中，a、b、

叫l2力△

2c2

。分别为角A、8、c所对的边，若。=3,且bcosC-ccosB=-/ij43C面积的最大值为__________.

3△

【答案】还

4

【分析】

2c2

由条件bcosC-ccosB=亍结合余弦定理可得出从=3c2,然后利用二次函数的基本性质结合公式

0!1(C2+Q2-沙2丫

C242—1——-——J可求得面积的最大值.

【解析】

2c2

v^cosC-ccosB=-----,则

Q2+/72—C?CL-+02-1)2

2c2=3bcosC-3ccosB=abcosC-accosB=ab-------........一—ac•-----....-=枕一°,

2ab2ac

可得/?2=3。2,

所以,

(02+02-。2V1‘9-2C2、21

C2Q2---------------

I2JV4

272

」艮；_91+变3芷=「

2V4224,

当且仅当。=3时，等号成立.

因此，△4BC面积的最大值为鬼1.

4

故答案为：矩.

4

【点睛】

方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类:

（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解;

（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.

兀

16.如图，在中，AC=1,BC=O,C=i,点。是边AB（端点除外）上的一动点.若将八4。

沿直线CD翻折，能使点A在平面BCD内的射影4落在△BCD的内部（不包含边界），且A'C=平.设

AD^t,则r的取值范围是_______________.

【分析】

由已知分析可得，A'在过A与CD的垂线AE上，且在以C为圆心，以立为半径的圆弧上，且在的。。内

3

部.然后求出极端情况，即A'在8C上与在A8上的t的值，即可求得1的取值范围.

【解析】

解：如图，

A4'J_平面BCD,过A'作A'EVCD,连接4E,可得A'E1CD,

即4在过A与CD的垂线4E上，又4。=立，则A'在以。为圆心，以立为半径的圆弧上，且在ABCD

33

内部.

分析极端情况：

①当4在BC上时，ZACE+ZC4E=90°,/C4£+NC4'A=90°,可得NC4'A=NACE,设为a,

13sina-

tana=——=——=----.3n

在用△CA'A中，J7J7cosa,且sinza+cos2a=1,可得sina=T，cosa=

[44

设NEC3=B,ZCDA^y,则a+p=9()°,y=P+30°,

则sinB=cosa=①，cosP=sina=2(

44

siny-sin(P+30°)-

2224248

ACAD1t

在△CM中'由正弦定理可得：即而r薪r,

3_

_sina_4_^/2?-3

得才一siny_6+3—一2―；

-8-

当4在AB上时，有此时f=AC-cos60°=lxg=g.

...A在凶。的内部(不包含边界)，的取值范围是(1,」!『)，

痂受安为(1&^一3、

故答案为：(-,——-——).

【点睛】

本题的关键点在于找到点A'的两个临界位置，并根据儿何关系求解.

四、解答题

17.己知复数z=机(帆_1)+&2+2/*_3)i.

(1)若z为纯虚数，求机的值；

(2)若z=2+5i,求”的值.

【答案】(1)0；(2)2

【分析】

(1)根据z为纯虚数，可得实部皿，"-1)=0,虚部机2+2加—3彳0,联立即可求得答案.

(2)根据复数相等的条件，列出方程组，即可求导答案.

【解析】

加2+2m-3*0

(1)因为Z为纯虚数，所以1

m（m-l）=0

解得机=0.

（2）因为z=机（加-1）+Im+2加—3%=2+5i

m2+1m-3=5

根据复数相等的条件可得:

m[m-1）=2

解得m=2.

综上当机=0时，z=3,为纯虚数，当根=2时，z=2+5i.

18.己知函数/(x)=2cosx(inx-Wcosx)+JT.

(1)求噌)的值;

(2)求/G)在区间0，g上的最大值和最小值.

【答案】(1)1；(2)最大值为2,最小值为一

【分析】

(1)直接代值计算可得结果；

(2)利用三角恒等变换化简函数解析式为/G)=2sin(2x—；J,由xe09计算得出2%一彳的取值范围,

结合正弦函数的基本性质可求得函数/(X)在区间°，］

上的最大值和最小值.

【解析】

71yjcos]]+

2coslsinl-5邪+&=1；

44

（2）/G）=2cosxCinx-y/JcosxX^/3=2sinxcosx-2^cos2^+^/3

sin2A：-273-1+C^s2x+O=sin2x-^cos2x=2sinf2x-yj,

兀小兀2兀

当xw0,2时，，

所以，当於合《时，/G）取最小值，即/（%=2而S

当2x—时，/(x)取最大值，即/(x)=2sing=2

32max2

【点睛】

方法点睛：求函数/（%）=Asin（cox+（p）在区间上值域的一般步骤:

第一步：三角函数式的化简，一般化成形如＞=Asin（3x+（p）+Z的形式或〉=4«）5（0^+中）+%的形式;

第二步：由X的取值范围确定①X+5的取值范围，再确定Sin（cox+（p）（或cos（（Ox+（p））的取值范围;

第三步：求出所求函数的值域（或最值）.

19.己知的面积为S,三边分别为a，b，c,S.AB-AC=^-S.

△3

(1)求COSA；

（2）求a=J5,求乙抽。周长的最大值.

【答案】（1）cosA=；；（2）373.

【分析】

（1）由数量积的定义及面积公式的表示化简即可得解;

（/?+C）2

（2）由余弦定理得3=S+C）2-33S+C"-3X—'从而可得最值.

【解析】

(1)由=得ob-cosA=•力・sinA,rcosA=sinA

332

=>tanA=5/3,所以Ae(0,—,

,兀，1

由A=?，解得cosA=-.

(2)由余弦定理可得：=4+c2—29'cosA=(b+c)2-3bc,

(b+C)2

得3=S+C)2-3/?CN3+C)2-3X___,解得b+c420\当且仅当b=c时等号成立，

所以当b=c=J3时，^ABC周长的最大值为入住，

20.如图，在正三棱柱ABC—Agq中，AB=2,BB'=2,。、E分别为8C、AC的中点.

(1)求三棱锥《一COE的体积；

(2)求证：AR〃面。EQ.

【答案】(1)也；(2)证明见解析.

6

【分析】

(1)计算出△CDE的面积，利用锥体的体积公式可求得结果；

(2)证明出利用线面平行的判定定理可证得结论成立.

【解析】

兀

(1)•.•△ABC为等边三角形且A5=2,...40=80=2且乙4(78=3,

因为。、E分别为BC、AC的中点，所以，CD=CE=i,

所以，S=1-CDCEsin--,

"DE234

在正三棱柱ABC-qqq中，eq,底面ABC,且C£=A[=2,

因此，V=Lscc=咯2=叵

C-CDE3"DE1346

(2)在正三棱柱ABC—AgC中，44〃8q且44=BB.

I11111I

所以，四边形群产产为平行四边形，所以，AB//ABi,

因为。、E分别为BC、AC的中点，则DE//AB,所以，DE//AB,

ARZ平面DEC,£>Eu平面DEC,因此，ABH平面DEC.

【点睛】

方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

（1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

21.如图，在梯形ABCD中，DC//AB,DA-CB-AB~\.

（1）若。C=AC,AB=a,4万=5,试用£、5表示XC；

（2）若。C=2,M是梯形所在平面内一点，求m4-（2""+"0）的最小值.

—J5+1--13

【答案】（1）AC=-----a+b；（2）——.

212

【分析】

（1）计算出℃的长，利用平面向量的减法法则可得出结果；

（2）取A8的中点0,连接0尸，以点。为原点，AB、0F所在直线分别为％、V轴建立平面直角坐标系，

设点M（x,y）,利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得"4+的最小值.

【解析】

（1）如下图所示，过点A作AE//BC交CD于点E,设AC=OC=x,

DC

AE//BC,AB//CE且AB=BC=1,所以，四边形ABCE是边长为1的菱形,

所以，OE=CZ)—CE=x—1且A£=/ir)=l,

ADDE1x-l八Js+1

正=而’即丁丁，整理可得X2-》-1=0,…>0,解得”『

所以，DC=^^-AB,因此，AC^DC-DA^^la+b.

22

(2)取°。的中点/，连接BE,

-.-CD=2,F为CD的中点，则DF=1,所以，ABIIDF且AB=DF,

又因为AD=AB=\,则四边形ABFD为菱形,则BE=AD=1=8C=CF,

所以，ABC产为等边三角形,

取AB的中点。，连接OF,以点。为原点，AB、OF所在直线分别为X、丁轴建立如下图所示的平面直角坐

标系，则A(—?，o)、5ll1,oLCl,

2

1

设点”G,y),MA^\-MB=xy,MC[1-4-4

2~~\7

5.1+3尸-个，

【点睛】

方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义：

(2)利用向量的坐标运算；

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据己知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

22.已知&=(2cosx,1),6=(J'sinx+cosx,T),函数/(x)=a*5.

c71

(1)求函数/(X)在区间0,-上的最大值和最小值；

求cos2x。的值;

、(71271}

(3)若函数y=/(3X)在区间[至,亍J上是单调递增函数，求正数3的取值范围.

【答案】(1)/G)=2,.f(x)=-l.(2)4~3<^；(3)O<CO<1.

maxmin]04

【分析】

(1)由题意先表示出/(x)的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值

cf-兀)兀

(2)由题意得sin2x+=结合8s2X°=8S[[2X0+3-/求解出答案

I°6)5

(3)表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到3的取值范围.

【解析】

(1)fG)=d-b=2cosxC/3sinx+cosx^-

1=«y3sin2x+cos2x=2sin[2x+看

因为。,彳,所以:WZX+LW丁,所以一k"sinf2x+z]"1

266626

所以/Q)=2,.f(x)=-l

maxmin

71

(2)因为小,)=I,所以2面(2%+卷8所以呵2%+看4

5151

兀兀2兀，-兀，7兀

因为x°e,所以于*—+zK-T-,

30oo

(c71-713

所以cos2x+—2x+—

[0606j5

兀兀Tl]1.[兀

所以cos2x=COS2X+--cos2x+—+—sino2x+—

oCo6)62\o62o6

£3+LL3

22510

(3)/(cox)=sinc兀n兀…兀

2co%+一,令2kit——<2cox+—<2kn+——,keZ,得

6262

lot兀kit7i

——4x4—+

co3coCO63

兀2兀兀2兀(kTt兀左兀7T

因为函数上是单调递增函数，所以存在勺eZ,使得(Z-4--——,-4—+----

3'T一(co3(oco6co

kit7i兀

-u--——<—,

33co33k<l+co,

所以有1即.0

k71712兀6k+1>4(o.

—Q—+---->——・o

、36co3

八.122兀兀兀兀,12兀3所以左4

因为①>0,所以攵>一工，又因为-不-一不(不,—,所以0<CO4],

。63322co。