考点巩固卷14 等差数列（九大考点）（解析版）

考点巩固卷14等差数列（九大考点）考点01 基本量的计算1．在等差数列中，，公差，，则等于（

）A．92 B．47 C．46 D．45【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】因为，即，所以.故选：C2．已知等差数列的前项为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）解：设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，，即可求得数列的通项公式；（2）由，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，因为，可得，又因为，可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，，因为，可得，即，解得或.3．数列中，，，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得的值.【详解】由题意可知，对任意的，，且，所以，数列为等差数列，且该数列的首项为，公差为，因此，.故选：B.4．已知数列是等差数列，且.(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；(2)根据等差数列的求和公式计算即可.【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）由（1）知；得.5．设等差数列前n项和为，若，，则等差数列的公差为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根据已知列出方程组，求解即可得出答案.【详解】设公差为，由已知可得，，解得.故选：C.6．（多选）已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,验证各选项是否正确.【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且，则，所以，A选项正确；，B选项正确；，C选项正确；，，D选项错误.故选：ABC考点02 等差中项及等差数列项的性质7．在等差数列中，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差中项的性质求出，再利用等差中项的性质可求得的值.【详解】在等差数列中，，则，因此，.故选：D.8．（多选）已知随机变量X的分布列如下表：X01Pabc若成等差数列，则公差d可以是（

）A． B．0 C． D．1【答案】AB【分析】根据等差数列性质可得，即可求出答案.【详解】因为成等差数列，所以.又，所以，又，，根据分布列的性质，得，，所以.故选：AB.9．若干块扇面形石板构成第1环，依次向外共砌27环，从第2环起，每环依次增加相同块数的扇面形石板．已知最内3环共有54块扇面形石板，最外3环共有702块扇面形石板，则圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）（

）

A．3339块 B．3402块 C．3474块 D．3699块【答案】B【分析】每层扇面形石板的块数成等差数列，设为，再结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．【详解】依题意每层扇面形石板的块数成等差数列设为，其中，，所以，所以所以，故圜丘坛共有扇面形石板（不含天心石）块.故选：B10．记为等差数列的前n项和，若，，则______．【答案】【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.【详解】由①，②，②①得，得，又，则，故．故答案为：11．等差数列，的前项和分别是与，且，则___________；______________.【答案】//【分析】空1：根据等差数列的性质和求和公式，得到，代入即可求解；空2：设，，，代入即可求出.【详解】空1：由等差数列的前项和公式，可得，又由等差数列的性质，可得，因为，可得.空2：设，所以，，所以.故答案为：；.12．等差数列中，若，则n的值为（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先由得到，再利用解出即可.【详解】由等差数列下标和性质知：，，因为，故，又，故，所以.故选：B.考点03 由递推关系证明数列是等差数列13．（2023春·江苏连云港·高二统考期末）已知数列的前项和为.(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据，变形得到，从而得到，得到答案；【详解】（1）因为，，，即，，即，是1为首项，1为公差的等差数列.14．记为数列的前项和．(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①数列是等差数列；②【答案】(1)证明见解析【分析】（1）选择条件①，利用与的关系式和等差中项的性质即可得证；选择条件②，设数列的首项为，公差为，求出，表示出，即可得证.【详解】（1）选择条件①：，，两式相减可得，即，，两式相减可得，化简可得，，数列是等差数列．选择条件②：设数列的首项为，公差为，则，故，当时，，当时，，，又．数列是等差数列．15．已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；（2）由（1）求出，再由累乘法求解.【详解】（1）由，得．所以，即，整理得，上式两边同时除以，得．又，所以，即，所以是首项为2，公差为1的等差数列．（2）由（1）知，．所以．所以．16．已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．(1)求证：为等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据所给递推公式及前项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】（1）因为，当时，，解得或，又，所以，故，由，可得，所以，当时，．所以，即，所以，所以所以是以为首项，1为公差的等差数列.17．已知数列满足，．(1)证明：是等差数列，并求出的通项．(2)证明：．【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析.【分析】（1）由递推公式可得，两边取倒数，即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式；（2）令，再由，可得，两式相乘即可得证.【详解】（1）由，可得，∴，即，∵，即，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，即．（2）令①，∵，∴②，①×②得，∴，即．18．已知数列满足，．(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）等式两边同时除以，得到，再根据等差数列的定义即可证明.（2）由（1）可得的通项公式，再由，结合数列错位相减求和即可得出的值.【详解】（1）依题，在两边同时除以，得，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）得，可得，所以，则数列的前n项和为①，所以②，由①-②可得，所以．考点04 等差数列前项和的性质19．已知是等差数列的前项和，若，，则________.【答案】2016【分析】根据是等差数列，求得其首项和公差，则问题得解.【详解】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为.，，.，...故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的前项和，涉及是等差数列的认识和理解，属基础题.20．已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为__________.【答案】【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果.【详解】设，，因为数列是等差数列，且公差，，所以，解得，，所以.故答案为：.21．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为______.【答案】【分析】根据等差数列前项和的性质计算可得.【详解】为等差数列，，，成等差数列，即，，成等差数列，，解得，又，，成等差数列，即，，成等差数列，所以，解得.故答案为：．22．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值.【详解】因为，，由等差数列的性质可知、、成等差数列，所以，,所以，.故选：B.23．（2022·新疆·统考二模）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（

）A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列的前项和公式，可得为等差数列，由已知求出其公差，进而得到通项公式，即可得出结论.【详解】在等差数列中，，其前n项和为，则是以为首项的等差数列，设其公差为，，.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前和基本量的运算，应用等差数列前项和的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.24．已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】由题，可设，，则.【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又，则可设，，则.故选：A考点05 等差数列前项和的最值问题25．已知等差数列，前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求的最大值并指出此时的值.【答案】(1)；(2)的最大值为，此时或.【分析】（1）根据已知条件列出关于公差的方程，求解即可；（2）求出，，对应的的取值，从而可求的最大值及对应的的值.【详解】（1）设的公差为，因为，，所以，解得,所以.（2）当时，；当时，；当时，.所以当或时，取得最大值，最大值为.26．设等差数列的前n项和为，若，，则n＝________时，有最小值为________．【答案】4或5－10【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出，然后结合二次函数的性质即可求解．【详解】因为等差数列中，，，则d＝1，所以，根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时，有最小值－10．故答案为：4或5，－10．27．已知等差数列的通项公式为（），当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由条件求，再代入等差数列的前项和公式，即可求解.【详解】由条件可知，当时，，，解得：，因为，所以，得，，解得：或（舍）.故选：D28．已知等差数列，是数列的前项和，对任意的，均有成立，则的值不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据题意，由恒成立可得是等差数列的前项和中的最大值，结合等差数列前项和的性质，分3种情况讨论，综合求出的取值范围，分析选项可得答案．【详解】根据题意，等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最大值，必有，公差，分3种情况讨论：①，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，则，②，此时，、是等差数列的前项和中的最大值，此时，则有，，③，，是等差数列的前项和中的最大值，此时，，则，变形可得：，，而，则有，综合可得：.故选：A．29．（多选）等差数列的前n项和为，且，，，则下列说法中正确的有（

）．A． B．C．当或6时，取最小值 D．【答案】ACD【分析】由可判断A；由作差可判断B；先由和可得，则可判断C；由可得，利用等差数列的性质可判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为，，所以，故B错误；因为，，所以，所以，因为，所以当或6时，取最小值，故C正确；由得，，所以，所以，故D正确.故选：ACD30．在等差数列中，以表示的前项和，则使达到最大值的是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】利用等差数列性质求出数列公差d，再求出其通项公式，并探讨数列的单调性即可得解.【详解】在等差数列中，，，即，，从而得等差数列公差，，于是得的通项公式为，则是单调递减等差数列，其前10项均为正，从第11项起的以后各项均为负，因此，数列的前10项和最大，所以，使达到最大值的n是10.故选：B.考点06 利用与的关系求等差数列通项公式31．已知数列的前项和为，对任意满足，且．求数列的通项公式．【答案】【解析】由得，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即，所以，又，所以．【反思】此类问题解析决的关键在于通过递推关系式的变形，转化为已知数列（或模型），从而求出对应的通项．32．设为数列的前n项和，.求及.【答案】a1＝－28，an＝4n－32，n∈N*【分析】根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式.【详解】因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*.33．已知数列的前n项和为，对一切正整数n，点都在函数的图象上，记与的等差中项为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，利用与的关系可求得通项公式；（2）利用等差中项求得，则，利用错位相减法可求出数列的前项和.【详解】（1）点都在函数的图象上，，当时，，当时，满足上式，所以数列的通项公式为（2）由与的等差中项为，，①由①×4，得②①－②得：，.34．设为正项数列的前项和，满足.(1)求的通项公式：(2)若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)，且【分析】（1）根据，利用数列通项和前n项和的关系求解.（2）由（1）得到不等式即为不等式，由时，解得t的范围，且，转化为证当，且时，不等式对任意正整数都成立，由时，，得到，进而转化为证对任意正整数都成立即可.【详解】（1）解：由，得，两式相减得，即，即，因为数列是正项数列，所以所以，又，解得(负值舍)，所以；（2）由（1）知不等式对任意正整数都成立，即不等式对任意正整数都成立，当时，，解得，且，下面证明当，且时，不等式对任意正整数都成立，当时，，则，只需证对任意正整数都成立即可，因为，，所以不等式对任意正整数都成立，实数的取值范围，且35．已知数列的前项和为，满足（为常数）.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）通过已知条件，求出参数，利用求解通项公式即可；（2）根据（1）写出的通项公式，利用错位相减法求解即可.【详解】（1）令，可得，所以，当时，，可得，所以，又因为满足上式，所以；（2）因为，所以，两边乘得：,两式相减得：,即：,所以.36．已知数列为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）依题意，，因为，所以，又因为，所以，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，，所以数列的前n项和为，由得，即证.考点07 含绝对值的等差数列的前项和37．已知等差数列的前项和为，，，．(1)求的通项公式(2)设，求数列的前项之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得，解方程计算即可；（2）根据题意得，代入计算即可.(1)设等差数列的公差为，则由已知可得：，解得，所以.(2)因为，，所以.38．（2022·四川遂宁·统考一模）已知等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为d，然后根据题意列出关于的方程组，解出，从而可求出通项公式；（2）根据通项公式可判断出当时，，当时，，然后分情况讨论求解即可.【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，故．（2）设数列的前n项和为，则．当时，；当时，，则．综上，.39．已知等差数列的前项和为，公差为整数，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，根据等差数列公式得到，得到，得到通项公式.（2）考虑和两种情况，根据的正负分别计算即可.【详解】（1）由，可得，由，可得且，解得，又公差为整数，，.（2），当时，；当时，，，当时，；当时，.综上，40．设等差数列的前n项和为，，，且有最大值．(1)求数列的通项公式及的最大值；(2)求【答案】(1)，前n项和最大值108；(2)，【分析】（1）由有最大值得，结合等差中项性质可解出、，即可进一步解出基本量，，即可由公式法列出通项公式，的最大值为前面所有非负项的和；（2）由数列的符号，分别求、时的即可，其中当时.【详解】（1）设等差数列的公差是d，首项是，由有最大值得，则数列是递减数列，因为，，解得、或、舍去，则，，解得，，所以，令得，则当时，；当时，，所以；（2）由（1）可得，当时，…，当时，……，综上可得，，41．等差数列前项的绝对值之和为50，则_________．【答案】12【分析】根据题意求等差数列的通项公式，再分类讨论，结合等差数列的求和公式运算求解.【详解】因为等差数列的，则公差，所以等差数列的通项公式，设数列的前n项和为，当时，，不合题意；当时，则，可得，令，解得或（舍去）；综上所述：.故答案为：12.42．已知数列的通项公式为，那么满足的正整数________.【答案】或【分析】先求出的前项和，然后将问题转化为，通过讨论与两种情况下求得方程的根，即可得到的值．【详解】因为，所以（），所以当且时，的前项和为，当且时，的前项和为；满足，即，因为对于任意恒成立，所以，①当且，即且时，，所以，解得：或；②当且，即：且时，，∴，解得：，舍去．综上所述，或．故答案为：2或5.考点08 等差数列的实际应用43．疫情防控期间，某单位把110个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和与较小的两份之和的比为9：2，则最小一份的口罩个数为（

）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】A【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知，，①，②解得，所以最小一份的口罩个数为6个，故选：A．44．甲､乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动，甲第1分钟走2，以后每分钟比前1分钟多走1，乙每分钟走5.若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过___________分钟.【答案】15【分析】甲每分钟走的路程成等差数列，求出通项，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，列出方程，求出时间即可.【详解】由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则，乙每分钟速度为每分钟走5，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，时间设为，则.（负值舍去）.故答案为：15.45．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没有空缺），则获得精品足球的人数为（

）A．102 B．103 C．104 D．105【答案】C【分析】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，求出其通项，结合条件列不等式求出结果.【详解】将能被2整除余1且被7整除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，由已知是的倍数，也是的倍数，故为的倍数，所以首项为，公差为的等差数列，所以，令，可得，又解得，且，故获得精品足球的人数为.故选：C.46．家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从2019年至2026年该家庭农场的总收益为（

）A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元【答案】D【分析】分析可知该家庭农场的收益依次成等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式即可求解.【详解】依题意，该家庭农场每年收益依次成等差数列，设为，可得，，所以公差为，所以2019年至2026年该家庭农场的总收益为，故选：D47．为了响应政府推进菜篮子工程建设的号召，某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地．第一年支出各种费用8万元，以后每年支出的费用比上一年多2万元，每年销售蔬菜的收入为26万元．设表示前n年的纯利润（前n年的总收入前n年的总费用支出投资额），则__________（用n表示）；从第__________年开始盈利．【答案】5【分析】根据题意结合等差数列前项和公式写出的表达式即可，再令即可得解.【详解】由题意可得第年的支出费用为万元，则前n年的总支出费用为，所以，令，解得，又，所以从第年开始盈利．故答案为：；.考点09 等差数列的综合问题48．已知数列满足，对任意正实数，总存在和相邻的两项，使得成立，则的取值范围为__________.【答案】【分析】化简递推关系，证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求，化简方程可得，结合连接列不等式求的取值范围.【详解】由，得，即，即，