考点巩固卷09 三角函数的运算（十大考点）（解析版）

考点巩固卷09三角函数的运算（十大考点）考点01：任意角和弧度制1．（多选）下列说法正确的有（

）A．若是锐角，则是第一象限角B．C．若，则为第一或第二象限角D．若为第二象限角，则为第一或第三象限角【答案】ABD【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误.D选项，为第二象限角，即，所以为第一或第三象限角，D选项正确.故选：ABD2．下列说法正确的有几个（

）（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于小于的角；A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答.【详解】第一象限角的集合为，锐角是大于小于的角，锐角的集合为，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，故选：C.3．若三角形三内角之比为4：5：6，则三内角的弧度数分别是____________．【答案】，，【分析】设三角形的三个内角的弧度数分别为，根据内角和为，列出方程，解出即可.【详解】设三角形的三个内角的弧度数分别为，则有，解得，所以三内角的弧度数分别为，，．故答案为：；；.4．若与的终边互为反向延长线，则有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，可得，，进而求解.【详解】因为与的终边互为反向延长线，所以，，即，.故选：D.考点02：扇形的弧长及面积公式5．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为______，面积为______【答案】【分析】设扇形的半径为，弧长为，然后根据弧长公式以及扇形周长建立方程即可求出，，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由已知可得，解得，，所以扇形面积为，故答案为：；．6．两个圆心角相同的扇形的面积之比为1：2，则这两个扇形周长的比为（

）A．1：2 B．1：4 C． D．1：8【答案】C【分析】设扇形的圆心角的弧度数为，两圆的半径分别为和，由面积比结合面积公式可得，利用周长公式可得周长比.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，两圆的半径分别为和，则，.两个扇形周长的比为:.故选：C7．如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径，则图中阴影部分的面积为（

）.

A． B．C． D．【答案】A【分析】由扇形的面积公式，求得，且的面积，即可求得图中阴影部分的面积，得到答案.【详解】由扇形的圆心角为120°，即，半径，可得扇形的面积为，的面积，所以图中阴影部分的面积为.故选：A.8．已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案.【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，由题有，则，当时取等号.故选：D9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（

）（参考数据：）

A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为【答案】D【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D.【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，选项A：.故A正确；选项B：由，可得，解得，又扇形的半径，则.故B正确；选项C：若扇面为“美观扇面”，则，解得.故C正确；选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，则此时的扇形面积为.故D错误.故选：D考点03：三角函数的定义及其应用10．设，角α的终边与单位圆的交点为，那么的值等于____.【答案】/0.4【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为点P在单位圆上，则|OP|=1，即，解得.因为，所以，所以P点的坐标为，所以，.所以.故答案为：11．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P，若点位于轴上方且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，，三个直接的关系，可得.（2）由可得.【详解】（1）由三角函数的定义，，，两边平方，得则，，，所以，.（2）由（1）知，，.12．如果角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的定义及同角三角函数的商数关系即可求解.【详解】因为角的终边在直线上，所以.所以.故选：B.13．已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】由题意知，则原式.故选：B.14．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦函数的定义即可求解.【详解】解：由题意，，，又，显然，，，故选：A考点04：同角三角函数基本关系与诱导公式15．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴的合，终边经过点，且.(1)求的值：(2)求的值.【答案】(1).(2)或.【分析】（1）根据三角函数定义可列式计算求得，即可求得答案.（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，将代入，即可求得答案.【详解】（1）由题意知角的终边经过点，且，故，解得，当时，，则；当时，，则，即.（2）,故时，，时，.16．已知，，(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.【详解】（1）

∴（2）∵

∴∵为第三象限角，∴∴的值为.17．（多选）以下各式化简结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角函数的同角基本关系和诱导公式逐一判断即可.【详解】，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误；故选：ABC18．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角关系平方可得，由二倍角公式以及诱导公式化简即可代入求值.【详解】由平方得，，故选：A19．已知，且为第三象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式先求出，再根据角所在的象限，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为，所以，又因为为第三象限角，所以，则，故选：D.20．已知为第二象限角，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用诱导公式化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.【详解】因为，则，又因为为第二象限角，则，因此，.故选：A.考点05：齐次式化简求值21．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）由同角三角函数的商数关系，将分子分母同时除以，求解关于的方程即可；（2）由同角三角函数的平方关系和商数关系化简，结合（1）中代入即可．【详解】（1）由，得，解得．（2）由已知得，，由（1）得代入，，所以．22．已知，则__________.【答案】3【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.【详解】由题意，即，则.故答案为：3.23．已知，则等于（

）A．4 B．6 C．2 D．【答案】A【分析】利用弦化切即可求得所求代数式的值.【详解】因为，则，原式.故选：A.24．已知，求的值．【答案】【分析】根据已知化简可求得.进而根据诱导公式，化简所求式子可得，根据同角三角函数的关系可得，代入，即可求出答案.【详解】因为，所以，则.因为.25．已知.(1)求及的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；（2）根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解；【详解】（1）由题意得，则，所以.（2）..26．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】，，.故选：D考点06：和、差、倍角的简单化简与求值27．求值(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得；【详解】（1）.（2）.28．（多选）若，则的值可能为（

）A． B．2 C． D．－2【答案】CD【分析】对已知条件进行化简运算可得，从而求得，即可得出结论.【详解】，∵，∴，当，时，；当，时，.故选：CD.29．（多选）下列四个选项中，计算结果是的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据三角恒等变换公式以及诱导公式一一求解即可.【详解】对A，，A正确；对B，，B正确；对C，，C正确；对D，，D错误；故选:ABC.30．在中，已知是的一元二次方程的两个实根，则______．【答案】/【分析】利用韦达定理，两角和的正切公式，求得的值，可得的值，从而求得的值．【详解】因为是的一元二次方程的两个实根，由题有，而，∴，又，∴.故答案为：.31．若锐角满足，则______．【答案】【分析】用二倍角公式可先求出和的值，进而可求的值.【详解】因为，所以，又为锐角，所以，所以，则.故答案为：32．已知且都是第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解.【详解】因为且都是第二象限角，所以，，所以.故选：C.考点07：辅助角公式的应用33．用辅助角公式化简下列式子：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)，其中【分析】直接利用辅助角公式化简即可.【详解】（1）.（2）.（3），其中，即.33．化简一下式子：（1）；（2）；（3）【答案】答案见解析【详解】（1），（2），（3）35．已知，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦两角和公式和辅助角公式求解即可.【详解】.故选：A36．（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据和差化积结合辅助角公式运算求解.【详解】原式.故选：D.37．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接使用辅助角公式化简求值即可.【详解】∵，∴.故选：D.考点08：给角求值型38．计算下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）把化成展开后即可求解；（2）切化弦后再用辅助角公式化简可求解.【详解】（1）原式.（2）原式.39．__________．【答案】1【分析】方法一：先得到，，，代入，三式相乘得到答案；方法二：先计算出，再利用积化和差得到，和差化积结合半角公式化简得到，从而求出答案.【详解】方法一：，，同理得，，令，以上三式相乘有：．方法二：令．令，，，令，．故答案为：140．__________.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，，，所以故答案为：2.41．（多选）下列选项中，与的值相等的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可.【详解】，对于A，，故A符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C符合题意：对于D，，故D不符合题意．故选：ABC．42．计算的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】化切为弦，结合辅助角公式，诱导公式求出答案.【详解】.故选：D43．计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用诱导公式、配方法结合平方关系化简，再利用二倍角的正弦公式求解作答.【详解】.故选：C考点09：给值求值型44．若，，，，则______．【答案】【分析】根据和两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为，，所以，，因为，，所以，，所以.故答案为：45．已知，则_____.【答案】/【分析】由于，然后利用余弦的二倍角公式可求得结果.【详解】因为，所以，故答案为：46．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，根据二倍角公式求出，再根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】令，则，，得，所以.故选:D.47．已知，则______，______.【答案】2/【分析】利用两角和的正切公式可得，再根据两角和的正弦公式以及二倍角的公式展开，根据齐次式即可求解.【详解】由，得，．故答案为：2，．48．已知，则________．【答案】【分析】由可得，后由诱导公式结合二倍角公式可得答案.【详解】.则.则.故答案为：49．已知，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先根据二倍角公式化简条件得：，再根据角的范围及诱导公式得，利用正弦函数的单调性可得，化简求值即可.【详解】由，得，①化简①式，得，又，所以，即，因为，，所以，且在上单调递增，所以，所以，则，所以.故选：B．考点10：给值求角型50．已知是方程的两根，且，则的值为__________.【答案】/【分析】首先利用韦达定理，得到两角正切的关系式，再根据两角和的正切公式，求角.【详解】由条件可知，，所以，因为，所以，所以.故答案为：51．设，均为钝角，且，，则的值为______.【答案】【分析】先求出和，再运用两角和公式求解.【详解】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案为：.52．已知，则的值可能为（

）A． B． C．