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考点巩固卷07导数的概念、运算及其几何意义(八大考点)考点01:导数的定义1.设函数可导且在处的导数值为1,则______.【答案】【分析】根据给定条件,利用导数的定义直接计算作答.【详解】依题意,,所以.故答案为:.2.已知是的导函数,的图象如图所示,则的图象只可能是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】由导数的几何意义可知,原函数先增长“迅速”,后增长“缓慢”.【详解】由题中的图象可以看出,在内,,且在内,单调递增,在内,单调递减,所以函数在内单调递增,且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.故选:D.3.若,则函数在处可导是函数在可导的(

).A.充要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件【答案】C【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性:函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足;必要性:因为函数在可导,,所以函数在可导.必要性满足.故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.故选:C4.某环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是(

A.在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业弱;B.在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业弱;C.在时刻,甲、乙两企业的污水排放都不达标;D.甲企业在,,这三段时间中,在的污水治理能力最强【答案】D【分析】根据题目中的数学模型建立关系,比较甲乙企业的污水治理能力.【详解】设甲企业的污水排放量与时间t的关系为,乙企业的污水排放量与时间t的关系为.对于A选项,在这段时间内,甲企业的污水治理能力,乙企业的污水治理能力.由图可知,,所以,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A选项错误;对于B选项,由图可知,在时刻的切线斜率小于在时刻的切线斜率,但两切线斜率均为负值,故在时刻甲企业的污水治理能力比乙企业强,故B选项错误;对于C选项,在时刻,甲、乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量,故甲、乙两企业的污水排放都达标,故C选项错误;对于D选项,由图可知,甲企业在,,这三段时间中,在时的差值最大,所以在时的污水治理能力最强,故D选项正确,故选:D.考点02:导数的四则运算和复合函数求导5.求下列函数的导函数:(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)利用函数求导的除法法则运算即可;(2)利用函数求导的乘法法则运算即可;【详解】(1),(2)6.求下列函数的导数(1);(2).【答案】(1);(2).【分析】(1)利用和的导数运算法则求导得解;(2)利用商的导数运算法则求导得解.【详解】(1)因为,则.(2)由题得===-.7.求下列函数的导数.(1);(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根据简单复合函数的求导法则计算可得;(2)根据导数的运算法则计算可得.【详解】(1)因为,所以.(2)因为,所以.8.(多选)下列求导正确的是(

)A. B.C. D.【答案】BD【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则,逐项判定,即可求解.【详解】由基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则,可得:对于A中,由,所以A错误;对于B中,由,所以B正确;对于C中,由,所以C错误;对于D中,由,所以D正确.故选:BD.9.求下列函数的导函数(1);(2);(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解;(2)设,利用复合函数求导法则求解;(3)化简函数解析式,设,利用复合函数求导公式求解.【详解】(1)因为,所以;(2)函数可看做函数和的复合函数,由复合函数求导法则可得,(3)可化为,函数可看做函数和的复合函数,由复合函数求导法则可得,10.已知下列四个命题,其中正确的个数有(

)①,

②,③,④.A.0个 B.1个C.2个 D.3个【答案】A【分析】根据求导公式及运算律,简单复合函数导数逐项求导验证即可【详解】因为,所以①错,因为,所以②错,因为,所以③错.因为,所以④错,故选:A.考点03:“在”点处的切线问题11.已知函数的图像在点处的切线为l,若l与函数的图像也相切,切点为,则___________.【答案】9【分析】先求出,求出切线方程,进而求得,即可求解.【详解】由题意得,则,所以切线l的方程为,即.所以,则,.故答案为:9.12.已知是实数,函数,若,则曲线在点处的切线方程是_________.【答案】【分析】求导后根据求得,再求得切点坐标和斜率,从而可求解.【详解】函数的导数为,,即为,解得,即,可得曲线在点处的切线斜率为3,切点为,所以切线的方程为,即为.故答案为:.13.已知函数,则函数的图象在点处的切线斜率为(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】对函数求导,将代入求出的值即可.【详解】由题设,则,故,故在点处的切线斜率为.故选:A14.直线是曲线在处的切线方程,则(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】求导,利用切点处的导数值为切线斜率,进而把切点代入切线方程可求解.【详解】由得,所以,当时,,故切点为,由于切点在上,所以,故,故选:B15.曲线在点处的切线方程为______.【答案】【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.【详解】因为,所以,则,又,所以曲线在点处的切线方程为,即.故答案为:.16.已知函数,其图象在点处的切线方程为,则它在点处的切线方程为_________.【答案】【分析】根据在处的切线方程为可得,且,根据的解析式和导数可求和,从而可求得结果.【详解】∵在点处的切线方程为,∴,且,又,∴,且,∴点为,在处切线斜率为,∴所求切线方程为,即.故答案为:.考点04:“过”点的切线问题17.过点作曲线的切线,则切点的横坐标为_______________,这条切线在x轴上的截距为_______________.【答案】【分析】设出切点坐标为,利用导数的几何意义可得切线斜率为,再由两点间斜率公式可得,解得,即可求得切线方程,进而得出结果.【详解】设切点坐标为,因为,所以,即,解得,所以切线方程为,可知该切线在x轴上的截距为.故答案为:,18.求过且与曲线相切的直线方程.【答案】或.【分析】设切点是,由求导可得,再利用导数的几何意义结合斜率公式可得,解得或,进而可求切线斜率,再利用点斜式即可求解.【详解】点不在曲线上,点不是切点,设切点是,由,可得,,即,解得或,切线的斜率或,切线的方程是或,即或.19.若直线为曲线的一条切线,则实数的值是__________.【答案】【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.【详解】由,可得,设切点为,则,故切线方程为,即,又因为切线为,所以,解得,所以,故答案为:.20.(多选)过点且与曲线相切的直线方程为(

)A. B.C. D.【答案】BC【分析】设出切点,利用导数的几何意义得出切线方程为,再利用条件得到方程,从而求出,进而可求出切线方程.【详解】设切点为,因为,所以,故切线方程为,又因为切线过点,所以,整理得,解得或,当时,切线方程为,即,当,切线方程为,即.故选:BC.21.已知函数,其导函数为,则曲线过点的切线方程为______.【答案】或【分析】设切点为,对函数进行求导,且代入可得,故可由点斜式得到切线方程,将代入即可求得或,即可求得切线方程【详解】设切点为,由,得,∴,得,∴,,∴切点为,,∴曲线在点M处的切线方程为①,又∵该切线过点,∴,解得或.将代入①得切线方程为;将代入①得切线方程为,即.∴曲线过点的切线方程为或.故答案为:或22.若曲线有两条过的切线,则a的范围是______.【答案】【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性,画出大致图象,即可得答案.【详解】设切线切点为,因,则切线方程为:.因过,则,由题函数图象与直线有两个交点.,得在上单调递增,在上单调递减.又,,.据此可得大致图象如下.则由图可得,当时,曲线有两条过的切线.故答案为:考点05:已知切线(斜率)求参数23.若曲线在点处的切线的斜率为2,则t的值为(

)A.–1 B. C.0 D.1【答案】C【分析】求导解方程即得解.【详解】由题得,所以.故选:C24.已知函数曲线在点处的切线方程为,则a,b的值分别为________.【答案】1,1【分析】求出函数的导数,根据导数的几何意义列出相应方程组,即可求得答案.【详解】由题意可得,.由于直线的斜率为,且过点,故,即,解得,故答案为:1,125.已知函数,其中,若曲线在处的切线斜率为1,则的最小值为______.【答案】/【分析】根据导数的几何意义可得,再结合基本不等式运算求解.【详解】因为的定义域为,且,由题意可得:,又因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.故答案为:.26.若曲线在点处的切线与直线垂直,则的值为(

)A. B. C. D.1【答案】A【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率,结合两直线垂直进而求得a的值.【详解】由题设,知处的切线的斜率为,又因为,所以,解得.故选:A.27.已知,为正实数,函数在处的切线斜率为,则的最小值为______.【答案】【分析】利用导数的几何意义求得,再根据基本不等式,求最值.【详解】函数,所以因为函数的图象在处的切线斜率为,所以,因为,为正实数,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为.故答案为:.28.若直线与曲线相切,则_________.【答案】2【分析】设切点为,由导数的几何意义可得,令,求导判断单调性,从而可解得.【详解】设切点为,,则,解得.令,则,所以当时,,单调递减;当时,,单调递增.所以,所以方程的根为.故答案为:2考点06:两切线的平行、垂直问题29.函数在处的切线与直线平行,则实数(

)A. B.1 C. D.【答案】B【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率,利用直线的平行得到斜率相等,即为关于的方程,可求出的值.【详解】函数的导函数为,函数在处的切线的导数即为切线的斜率为,且切线与直线平行,则有,可得.故选:B30.设曲线在点处的切线与直线平行,则实数(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根据导数求解,由两直线平行斜率相等即可求解.【详解】由得,故,由于点处的切线与直线平行,且直线的斜率为,所以,故选:C31.(2023秋·江西吉安·高三统考期末)已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直,若,则实数a的范围是________.【答案】【分析】假设两切点坐标,得出对应的切线的斜率,分析题意可得,即可解得a的范围.【详解】解:由题意,则不妨设,点和点,两切线的斜率分别为,∴,∴,∴等价于,等价于或解得,或.故a的范围是.故答案为:.32.已知函数.若存在,,使得曲线在,处的切线互相垂直,则实数a的取值范围为________.【答案】【分析】将化为分段函数并求导,根据导数的几何意义得,即,再由推出,代入可求出结果.【详解】,,因为,且,所以,,所以,,所以,所以,又,得,所以,即.故答案为:考点07:公切线问题33.已知曲线和曲线有唯一公共点,且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l,则l的方程为________.【答案】【分析】设切点坐标为,根据导数的几何意义可得,即可求得,继而求出切点坐标以及切线斜率,即得答案.【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同,则,由题意知,即,解得,故切点为,切线斜率为,所以切线方程为,即,故答案为:34.已知函数,若曲线与曲线存在公切线,则实数的最大值为__________.【答案】/0.5【分析】根据导数的几何意义,利用斜率等于切点处的导数,和切线相同即可判断.【详解】,假设两曲线在同一点处相切,则,可得,即,因为函数单调递增,且时,所以,则,此时两曲线在处相切,根据曲线的变化趋势,若继续增大,则两曲线相交于两点,不存在公切线,所以的最大值为.故答案为:.35.已知函数,若曲线在处的切线也与曲线相切,则______.【答案】【分析】求出曲线的切线方程,设曲线的切点坐标为,求出切线斜率,切线方程后,利用两切线重合可得参数值.【详解】由已知,,又,所以切线方程为,又,设上切点坐标为,则,,由得,,所以,故答案为:.36.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同,则(

)A.-1 B.-2 C.1 D.2【答案】B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知:,,则两函数在点和处的切线分别为:,化简得由题意可得:,化简得.故选:B37.若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】设出两个切点坐标,根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线,联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值,由此可求.【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则两个切点都在直线上,设两个切点分别为则两个曲线的导数分别为,由导数的几何意义可知,则且切点在各自曲线上,所以则将代入可得可得由可得代入中可知所以,所以.故选:D.38.若曲线与曲线存在公切线,则实数的最小值为(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】求出函数的导函数,设公切线与切于点,与曲线切于点,,即可得到,则或,从而得到,在令,,利用导数求出函数的最小值,即可得解;【详解】因为,,所以,,设公切线与切于点,与曲线切于点,,所以,所以,所以,所以或,因为,所以,所以,所以,令,,则,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以实数的最小值为.故选:A考点08:与切线有关的最值(范围)问题39.已知为函数图象上一点,则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为(

)A. B. C. D.0【答案】A【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围,再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为,即曲线在点处的切线的斜率,所以倾斜角,即倾斜角的最小值为.故选:A.40.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】设,,求两个曲线公切线的斜率即可.【详解】设,,依题意只需求公切线斜率即可.,,设切点分别为,,则切线方程为,即.,即.则

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