阶段性检测4.3（难）（范围：高考全部内容）（解析版）

阶段性检测4.3（难）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，的共轭复数为，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算即可求解.【详解】因为，是复数的共轭复数，所以，则，∴故选：A.2．设全集，集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.【详解】全集，集合，或，所以，则．故选：B．3．已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出“与的夹角为锐角”时的充要条件，再由充分条件、必要条件的定义即可判断求解.【详解】若与的夹角为锐角，则且与不共线，所以，解得且，所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B．4．已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两角和与差的正弦公式变形得，然后结合正弦函数性质及的范围求得，代入后再利用两角和的正弦公式计算．【详解】∵,∴，∴，∴或，又，∴，，故选：C．5．已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由线面平行性质可知，结合棱台和棱柱体积公式可求得，由相似关系可求得结果.【详解】平面，平面平面，平面，；设的面积为，的面积为，三棱柱的高为，三棱台的体积，又三棱柱的体积，，解得：（舍）或，∽，，即.故选：A.6．（2023·江西南昌·统考二模）中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品．灯笼综合了绘画、剪纸、纸扎、刺缝等工艺，与中国人的生活息息相连．灯笼成了中国人喜庆的象征．经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型，现将红木宫灯、檀木宫灯、楠木纱灯、花梨木纱灯、恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯各一个随机挂成一排，则有且仅有一种类型的灯笼相邻的概率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．先求仅相邻的种数，把看作一个元素，分三种情况讨论：排在首尾；排在五个位置中第二、第四位；排在第三个位置，同理得仅相邻，仅相邻的情况，进而得出概率.【详解】设红木宫灯、檀木宫灯为；楠木纱灯、花梨木纱灯为；恭喜发财吊灯、吉祥如意吊灯为．先求仅相邻的种数，把看作一个元素，当排在首尾时，不同的排法有种；当排在五个位置中第二、第四位时，不同的排法有种；当排在第三个位置时，不同的排法有种，故仅相邻共有种排法，同理得仅相邻，仅相邻的情况，也都有种排法，所以有且仅有一种类型灯笼相邻的概率为．故选：A.7．在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意圆的标准方程为，如图，又，所以，又由圆心到直线的距离可求出的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：

由题意圆的标准方程为，，又因为，所以，所以，又圆心到直线的距离为，所以，所以不妨设，则，又因为在单调递增，所以当且仅当即，即当且仅当直线垂直已知直线时，有最大值.故选：A.8．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小，注意.【详解】由题意可得，，，设，，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因为，，，且，可得，，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（

）

A．最小正周期为B．的最大值为2C．在区间上单调递增D．为偶函数【答案】BC【分析】A选项，根据图象得到，A错误；B选项，先根据最小正周期求出，代入特殊点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义判断.【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，解得，A错误；B选项，因为，所以，解得，故，将代入解析式得，因为，所以解得，因为函数经过点，所以，故，的最大值为2，B正确；C选项，，当时，，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，，由于与不一定相等，故不是偶函数，D错误.故选：BC10．在棱长为6的正方体中，，，则（

）A．平面截正方体所得截面为梯形B．四面体的外接球的表面积为C．从点出发沿正方体的表面到达点的最短路径长为D．若直线与平面交于点，则【答案】BCD【分析】对于A，通过找公共点的方式，把平面与正方体的交线作出，即可.对于B，四面体的外接球以为直径，即可求出表面积.对于C，把左侧面与后侧面的展开图，即可.对于D，结合选项A，记平面与直线，的交点，进行相似比计算即可.【详解】对于选项A，如图1所示，CE在底面内延长与DA的延长线相交，该点在截面内，连接该点与F点，与相交于H点，与的延长线交于一点，该点在后侧面内，再次连接该点与C点交于G点，连接,则该截面形状为五边形，故A错误；对于选项B，四面体的外接球以为直径，即，则表面积，故B正确；对于选项C，因该几何体为正方体，点到点的最短路径，考察的是侧面展开图的问题，可以右侧面与上底面展开，是两个正方形合一起，可以是下底面与左侧面展开，也是两个正方形合一起，只能是左侧面与后侧面的展开图，为一个正方形和正方形里的一小部分小矩形，所以其路径最短如图2所示，，故C正确；对于选项D，结合选项A，记平面与直线，的交点分别为，，如图3所示，则，故D正确.

故选：BCD.11．已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；因为为偶函数，所以，即，则，又，所以，所以，即，所以，故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；对两边同时求导，得，所以导函数的周期为8，所以，故C正确；由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，所以，故D正确.故选：BCD.12．已知数列满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C．的最小值为 D．【答案】ABD【分析】对于A：根据数列单调性的定义分析判断；对于B：根据整理即可；对于C：根据数列的单调性分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合累加法分析求解.【详解】对于选项A：因为，即，所以数列为递增数列，可得，故A正确；对于选项B：因为，则，两边平方整理得，故B正确；对于选项C：因为数列为递增数列且，则为递减数列，所以为递减数列，不存在最小值，故C错误；对于选项D：因为，整理得，两边平方得，即，可得，所以，即，所以，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的常数项为.【答案】【分析】化简变形后，利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】，其中的展开式中的项为:.故答案为：.14．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．【答案】【分析】根据所给线段的长度关系及椭圆的定义，求出的边长，利用余弦定理求，在中再由余弦定理即可求出离心率.【详解】如图，

因为，所以可设，又，所以，由椭圆定义，，即，又，即B点为短轴端点，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案为：15．不等式对都成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将不等式等价变形为，构造函数，进而问题转化成，构造，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】由可得，令，则，故在上单调递增，因为，，则，则，可得，即对恒成立，令，则，由可得，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增,所以，得.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题将不等式变形为是解题的关键，这样就可以构造函数利用单调性求解.16．若一个点从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在5次运动后这个点仍停留在下底面的概率是.【答案】【分析】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，；同时每次运动点不是由上底面运动来，就是由下底面运动来的，则可由全概率公式得到递推关系，然后构造数列求通项即可.【详解】这个点每次运动后的位置，不在上底面，则在下底面，即为对立事件，可记事件“第次运动后这个点停留在下底面”，则“第次运动后这个点停留在上底面”，设，则，由题意知，，则由全概率公式可得，，则，即，两边同减去可得，，又已知，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则，即，故当时，.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知中，内角所对的边分别为，且满足.(1)若，求；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题利用正弦定理将条件式角化边可得，结合勾股定理化简可得，得解；（2）由（1），代入消去，利用函数单调性求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，，即，因为，所以，，解得，即，又，.（2）由（1），，，，由三角形三边关系可得，代入化简可得，，令，，，，，的取值范围是.18．已知数列满足(1)若，求数列的通项；(2)记为数列的前项之和，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）应用,结合累加法可得通项；（2）应用等差数列求和后,再应用裂项相消求和结合已知不等式求解即可.【详解】（1）当,①,②,①②可得,左右同时乘以可以得出:,即得当时,应用累加法可得:,当时,,,且,（2）由（1）,,,若，则,或.19．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是(2)【分析】（1）求导得到，根据，由，求解；（2）将时，恒有成立，转化为对任意恒成立，令，利用导数法求解.【详解】（1）解：，当时，，由，得，由，得，故时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）因为当时，恒有成立，即对任意恒成立，令，当时，在上单调递减，，满足题意，当时，在上单调递增，当时，，当时，在上单调递增，，故.【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，法一；令，由求解；法二转化为恒成立，由求解.20．如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

(1)证明：BDCC1；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）连接,根据题意证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；（2）取中点，连接，以为原点，建立空间直角坐标系，假设点存在，设点，求得平面和的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得，即可求解.【详解】（1）证明:如图所示，连接,因为为棱台，所以四点共面，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：取中点，连接，因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则假设点存在，设点的坐标为，其中，可得

设平面的法向量，则，取，可得，所以.又由平面的法向量为，所以，解得由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即故上存在点，当时，二面角的余弦值为.

21．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100(1)是否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？(2)社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率；如果周一选择平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率为，求张无忌周二选择平台买菜的概率；(3)用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为事件“”的概率为，求使取得最大值的的值.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有(2)(3)【分析】（1）根据题意，计算，即可得到结果；（2）根据题意，由全概率公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由二项分布的概率计算公式得到的表达式，然后计算，即可得到结果.【详解】（1）假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.由题意可得，，则假设不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.（2）记事件：张无忌周一选择平台买菜；事件：张无忌周二选择平台买菜，则，，，由全概率公式可得，因此，张无忌周二选择平台买菜的概率为.（3）由题意可知，抽取的20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布