2023北京高三一模数学汇编：第四道解答题（第19题）

2023北京高三一模数学汇编

第四道解答题(第19题)

1.(2023•北京西城•统考一模)已知函数F(X)=e'-cos》.

(1)求曲线N=/(x)在点(0,7(0))处的切线方程：

⑵设g(χ)=χ∕'(χ)-f(χ),证明：g(χ)在(0,+∞)上单调递增；

(3)判断3个)与4叫)的大小关系，并加以证明.

2.(2023•北京东城•统考一模)已知函数Ax)="-Xln了.

⑴当。=0时•，求/(x)的单调递增区间；

(2)设直线/为曲线y=∕(x)的切线，当。≥∣时，记直线/的斜率的最小值为g(。)，求g(α)的最小值;

⑶当α>0时，设M=卜=N=b∣y=r(x),xe(卷求证：MN.

3.(2023・北京朝阳•统考一模)已知函数/(x)=e2*-Or-IgeR).

⑴求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)>0对Xe(O,+∞)恒成立，求”的取值范围；

(3)证明：若F(X)在区间(0,+司上存在唯一零点％,则x°<α-2.

4.(2023•北京丰台•统考一模)已知椭圆E:£+《=13>6>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为2.

ab

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(2,0)的直线与椭圆E交于8,C两点，过点8,C分别作直线=f的垂线(点B,C在直线/的

两侧).垂足分别为加，N,记A3MP,4Λ∕NP,VP的面积分别为S∣,S2,邑，试问：是否存在常数

3使得S∣,∣S2,邑总成等比数列？若存在，求出，的值.若不存在，请说明理由.

22.

5.(2023•北京石景山•统考一模)已知椭圆C:£+方=M>8>0)过点且离心率为1

⑴求椭圆C的方程；

/、∖PM

(2)过点P(T,1)且互相垂直的直线4,A分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求!网I何PM!的取值范围.

6.(2023•北京房山•统考一模)已知椭圆E，*l(a>6>0)过点B(0,l),且离心率为孝

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若直线/与椭圆E相切，过点M(LO)作直线/的垂线，垂足为N,。为坐标原点，证明：IoNl为定值.

7.(2023•北京顺义•统考一模)已知函数/(x)=(x-2)e'-](x-l)2MeR.

(1)当α=2时，求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)求函数/(χ)的单调区间.

8.(2023•北京平谷•统考一模)己知椭圆E:J+g=l(a”>0)经过A(-2,0),B[-1,∣)两点，设过点

P(-2,l)的直线椭圆交E于N两点，过M且平行于y轴的直线与线段/18交于点7,点〃满足

MT=TH-

(1)求椭圆E的方程：

(2)证明：直线4N过定点.

参考答案

1.(I)V=X

(2)证明见解析

⑶3∕[{l>4∕({∣,证明见解析

【分析】(1)求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，

(2)求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，

(3)构造函数〃(X)=*2,xe(0,田)，利用导数确定单调性，结合(2)的结论即可求解.

X

【详解】(1)/'(x)=e*+sinx,所以/(O)=O,/(0)=1.

所以曲线y=∕(x)在点(OJ(O))处的切线方程为y=x.

(2)由题设,g(x)=ɪ(ev+sinx)-(ev-cosx)=(x-l)ex+xsinx+cosx.

所以g,M=ɪ(eʌ+COSX).

当x>0时，因为e`+cosx>e。+CoSX=I+cosXe0,所以g'(x)>0.

所以g(x)在(0,+8)上单调递增.

⑶V["1).

证明如下：

设h(x)=")、X∈(0,+∞).

X

贝股，(X)=驾.

X~JT

由(2)知g*)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(O)=O.

所以〃'(x)>0,即〃(X)在(0,+∞)上单调递增.

所以哈H；),即3dx).

2.(l)(θ,ɪ)

e

(2)1

(3)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数，令导数大于0,即可求得答案；

(2)求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；

(3)根据(2)的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得M,N,比较端点处的值的大小关

系，即可证明结论.

【详解】(1)当α=0时，/(x)=-xlnx,(x>0),故∕[x)=-lnx-l,

令尸(X)=-InX-I>0,则OCX<，，

即/(X)的单调递增区间为(0-).

e

(2)由/(%)=OX2-χ]llχ,(%>0),可得/'(X)=2ΛX-Inx-I,

即直线/的斜率为/'*)=2ax-∖nx-lf

设力(X)=2ax-∖nx-∖,贝IJh,(x)=2a一~-=,

XX

e11

因为α≥;,故0<k≤-,

22ae

当0<x<，-时，Λ,ω<O,/Z(X)在(0,'-)上递减，

2a2a

当x>∣时，Λ,(x)>O,版X)在(1-,+：»)上递增，

2a2a

,

故"(x)min=ʃɪ(ɪ)=In2α，即∕(x)mjn=/z(ɪ)=In2。，

即g(α)=ln2π,而“≥∙∣,故g(ɑ)的最小值为In2x∙∣=1.

(3)由已知α>0,由(2)可知X.；,时，/(x)为单调增函数，

∖2a4a)

113131

由/(——)=一In—=In2〃，/'(―)=一一In—=—+In4α—In3,

la2aj4a24α2

则Λ/=卜Iy=r(x),x€((，W)}=(ln2a,g+ln4a-ln3),

又时，/'(X)为单调减函数，

14。2aJ

故N=Ny=/(x),xe(A()}=(1n24,-g+ln4q),

由于In3>1,即L-l∏3<-■-,⅛⅛ɪ+In4a-In3<-■-+ln4t?,

2222

故MN.

【点睛】关键点睛：证明〃N时，要根据导数判断函数的单调性，求出"，N表示的集合，关键要进

行端点处值的大小比较，从而证明结论.

3.(1)答案见解析

(2)α≤2

(3)证明见解析

【分析】(1)讨论α≤0∖a>0,结合导数的符号确定单调区间；

(2)由/'(x)=2e2*-a,讨论。42、a>2研究导数符号判断了3单调性，进而判断题设不等式是否恒成

立，即可得参数范围；

(3)根据(2)结论及零点存在性确定”>2时/(χ)在(gln],+e)上存在唯一零点，由零点性质及区间单

调性，应用分析法将问题转化为证/S-2)>O在2上恒成立，即可证结论.

【详解】(1)由题设/⑴=由2、一。,

当α≤0时，∕,U)>0,则/S)在R上递增；

当4>0时，令./(X)=O,则x=g呜，

若x<f吟，则f'(x)<O,AX)在(y,gin9上递减；

若x>；呜，贝IJr(X)>0,f(χ)在(g呜,+⑹上递增；

综上，α≤0时/(x)的递增区间为R,无递减区间：

α>O时/S)的递减区间为(p,[In《)，递增区间为((In£,+8).

2222

(2)由Ax)=2e2一,

当α≤2时，/'(X)>O在((),+8)上恒成立，故F(X)在((),+⑹上递增，则/(x)>∕(0)=0,满足要求；

当4>2时，由(1)知：/(x)在(-8,Inq)上递减，在(Lnq,+«?)上递增，ff∏-!-ln->O,

222222

所以/(X)在(0,；呜)上递减，在g呜,+“)上递增，要使"x)>0对x∈(0,M)恒成立，

所以，只需/(gIn；)=二一二lnf-l>O,

22222

令g(x)=X-XInX-I且χ>],则，(X)=-InX<0,即g(x)递减，

所以g(x)<g⑴=0,故在X∈(0,+∞)±∕(x)>0不存在o>2i

综上，a<1

(3)由(2)知：α≤2时，在(0,+∞)恒有/(x)>0,故不可能有零点；

。>2时，/(x)在(04Inq)上递减，在(LnW+纥)上递增，且/(0)=0,

2222

所以(0,；ln9上/(x)<0,无零点，即fglng<O,且X趋向于正无穷时/")趋向正无穷，

IClC

所以，在(万In5,+“)上存在唯一方,使/(Xo)=e2&-αxO-I=0,

要证x0<a-2,只需/5―2)=62(。-2>一“(4-2)-1>0在4>2上恒成立即可，

令f=a-2>0,若∕j(f)=e"-f(r+2)-l,贝i]〃'a)=2(e”T-1),

令PQ)=e2'-r-l,则p'(r)=2e"-l>0,即p(f)在(O,+∞)上递增，故p(∕)>p(O)=O,

所以"Q)>0,即〃⑺在(0,«»)上递增，故Mf)>A(O)=O,

所以/(α-2)=e2(a-2)-α(α-2)-l>0⅛a>2上恒成立，得证；

故Xo<a-2,得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定/(x)在某一单调区间上存在唯一零点的“的范围后，应用分

析法证/(«-2)>0恒成立即可.

2

4.⑴5+y2=l

(2)存在，=1,使得$,∣S2,S,总成等比数列.

【分析】(1)根据。，匕，c的关系求解；

(2)表示,.BMP,ΛMNP,QVP的面积，利用韦达定理表示出S3,即可求出常数，的值.

【详解】(1)根据已知可得匕=L2c=2,

所以Z?=LC=I,"=b2+c2=2,

所以椭圆E的方程为E+y2=l.

2

(2)由已知得，BC的斜率存在，且民C在X轴的同侧，

设直线BC的方程为y=4x-2),β(x1,y1),C(x2,y2),不妨设

则y↑y2>o,为</<%，

y=k(x-2)

由4%2得(1+2攵2比2一8攵2元+8公一2=0,

—+y-=1

2

CX"2区"2一,

2,y

所以A=8(l-2K)>0,x∣+£=1+2⅛∙''2=1+2左2'

因为Sl=^(r-xl)∣γl∣,S2=-∣(2-∕)∣y2-y1∣,S3=^(x2-OIy21>

所以s∣∙S=((七τ)Q-占)IyIy21=；(WT)Q-XI)y%

r

=W%~(∙r2——∙∣)(x∣一2)(々-2)

2

=-k[r(x∣+x2)-xlX2-r]∙[xl∙x2-2(xl+x2)+4]

1,√Sk2tSk2-2八®2-216⅛2八

4(1+2及21+2公+2公1+2公)

Li?&一犷-产+小

22222

=-j^(2-0(γ2-γ1)=^⅛(2-∕)(x2-ʃɪ)

=-⅛2T)2(.8二232公一8

16l+2/c2-1+2&2

=-•—^τvΓ-2⅛2(/-2)2+(∕-2)2L

4(1+2⅛2)2LJ

要使B,∣S2,$3总成等比数列，则应有-产+2=(1-2)2解得f=l,

所以存在f=l,使得∣52,$3总成等比数列.

5.⑴/1

34

(2)一,一

''43

【分析】(1)根据椭圆过点且离心率为T列方程组求得。力，c的值，即可得椭圆C的方程;

(2)讨论直线4的斜率不存在时∙，直线4的斜率不存在时，求各交点坐标即可得高才的取值，再讨论

直线4,12的斜率均存在，不妨设直线人的方程为y=/(x+l)+1,则直线&的方程为＞∙=-∣(x+∣)+l,

Kr

M(AX),N(Λ⅛,%),Sα,%),T(x4,"),联立直线与椭圆得交点坐标关系，利用弦长公式即可求得

冒∖PM∖睛∖PN∖1的范围，综合可得答案.

-)2

【详解】(1)椭圆C：£+£=1("＞人＞0)过点(0,6),且离心率为T

b=Q

f⅛=√3

£=:，解得,22

所以C=I,所以椭圆。的方程为工+二=1；

a2C43

a=2

a2=b2+c2

(2)当直线4的斜率不存在时，则直线4：X=-I,代入椭圆方程得y=±T，

所以M(TI)N11,-|｝直线4：y=l,代入椭圆方程得χ=±乎，所以“呼,1),N[-呼,1

∖PM∖∖PN∖ll^TΓ2^'l3

所以WirlIPɪpɪp;

∖PM∖∖PN∖4

当直线4的斜率不存在时，同理可得扁讶=]；

当直线44的斜率均存在，不妨设直线4的方程为y=A(χ+l)+i,则直线4的方程为y=-](χ+l)+l,

K

Ma,X),N(X2,%)，S(W，%)，丁(王，”)，

y=Z(x+l)+l

则/，消去＞得(3+4k2)χ2+8M%+l)x+4(%+l)2-12=0'

—+—=1

143

△>ο恒成立'所以玉+%=一需?,中小4(⅛+l)2-12

3+4/

222

所以IPMIpNl=√l+⅛∣Λl+1∣∙√l+⅛∣x2+1|=(1+⅛)∣Λ,X2+(X,+X2)+1|

2

4(⅛+l)-12-8⅛(⅛+l)=E∙i⅛;

=(1+公)+1

3+4%23+4〃

同理可得，将％换成可得忸刈尸q=1+Γ⅛J厂工二["记)页行

kLJ3+4N

IPMIPM(∣+G)∙3⅛3/+4：(4K+3)+；317/34

加以IPSIIPTlLI1]3+4公3+4公44(3+4/)(『可'

Ik^^J3k+4

综上所述，局∖PM局∖∖P的N∖取值范围是「匕34行-.

6.(1)≤+∕=1

⑵及

【分析】(1)利用椭圆过点8(0,1),得到。=1,再由椭圆的离心率为受，求出。的值，从而求到桶圆E

2

的标准方程；

(2)对直线/的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出IoNl=/，得到结论.

【详解】(1)因为椭圆过点B(O,D,所以b=l,

又e=呈,a2^b2+c2,所以£=也三=「5=变，得到”=夜，

2a∖cr∖a22

所以椭圆E的标准方程为y+∕=l∙

(2)当直线斜率/存在且不为O时，设直线/的方程为y=履+,"(k≠0),

y=kx+m

联立直线/和椭圆E的方程得I/，消去y并整理，得(2^+l)χ2+4hκ+2,〃2-2=0,

—+/=1

因为直线/与椭圆E有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根,

Δ=16k2m2-4(2公+l)(2w2-2)=0,

化简整理得∕√=2K+ι

因为直线MN与/垂直'所以直线MN的方程为y=-%α-D,

1-km

X—τ-

y=-τ^&f础俎1+公∖-hnk+m

联立得k，解得,.∙.Nk

k+m

y=kx+m"T7F

k2nr÷⅛2+∕n2+1_(^2÷ɪ)(w2÷ɪ)_m2+1

n2222

所⅛产(l÷⅛)~(1+Jt)、+公

把苏=2/+1代入上式得，∣0Λf=(：；；)=2,所以IaVI=√L为定值；

当直线/斜率为0时，直线/：y=±l,过点M(LO)作直线/的垂线，则垂线方程为X=1,

此时N(U)或N(l,—1),∣CW∣=√L为定值；

当直线/斜率不存在时，直线/：x=±忘，过点/(1,0)作直线/的垂线，则垂线方程为y=(),

此时N(-√Σ,o)或N(√5,θ),∣0v∣=√L为定值；

综上所述，∣ON∣=√L为定值.

7.⑴y=x-3

(2)答案见解析

【分析】(1)当α=2时，求出函数/(χ)的导函数/(x),利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利

用点斜式求出切线方程；

(2)对a进行分类讨论，由此求得/(ʌ)的单调区间.

【详解】(D当α=2时，/(x)=(x-2)ev-(X-I)2,

所以广(X)=(X-I)e=2(x7)

又因为/(0)=(0-2)e0-(0-l)2=-3,k=/,(0)=(0-l)e°-2(0-1)=1,

所以f(x)在(0,7(0))处的切线方程为y+3=x-0,即y=x-3

(2)由题意知，/(x)的定义域为R

f,(x)=(x-l)ev-a(x-1)=(x-l)(ev-a)

□当α≤0时，ex-a>0,则当XVI时/'(工)<。，当x>l时J"(x)>O,

所以/(x)在(TU)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；

□当α>0时,由f,M=0得x=l或X=Inα,

⑴若〃=e,IjliJ/V)=(χ-l)(ex-e)≥0,所以在R上单调递增,

(ii)若0<a<e,则Ina<1,

所以当x<ln0或x>l时f'(x)>O,当Ina<x<l时∕r(x)<0,

所以/U)在(Inα,1)上单调递减,在(→x),lna)和(1,+⑹上单调递增,

(iii)若。>e,则Ina>1,

所以当Λ<1或x>In4时f'(x)>O,当IVX<In<7时/'(X)<O,

所以f(x)在(1,Ina)上单调递减，在(-8,1)和(Ina,+e)上单调递增，

综上所述，当α≤0时，/S)的单调递减区间是(7,1),单调递增区间是(1,+8)；

当0<α<e时，/(x)的单调递减区间是(Ina,1),单调递增区间是(-∞,lnα)和(1,+纥)；

当α=e时，/(X)的单调递增区间是(-w,+∞),无单调递减区间；

当α>e时，f(χ)的单调递减区间是(LIna),单调递增区间是(-8,1)和(Ina,+/).

X22

8.(1)-+v^=1

43

(2)直线"N过定点(-2,0),证明见解析.

【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；

(2)先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定

理，求得直线77V的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点.

【详解】(1)解：因为椭圆E的方程为E:£+E=l(a>0>0)经过A(-2,0),∕-l,±]两点，

`'∖2J

μ=ι

则;o,解得。2=4,廿=3,

、『十矿1

22

所以椭圆E的方程为：—+ɪ=1.

43

(2)因为4一2,0),B(T1)，所以A8:y=g(x+2)

口假设过点P(-2,l)的直线过原点，则