2023-2024学年小升初奥数增强多位数计算

多位数计算

即皿4啜醇目褐

多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运

算的一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规

律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。

多位数的主要考查方式有

1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算

2.计算多位数的各个位数字之和

劭曲E球跟.

一、多位数运算求精确值的常见方法

1.利用9999=10"-1,进行变形

k^9

2.“以退为进”法找规律递推求解

二'多位数运算求数字之和的常见方法

MX999...9的数字和为9x"(其中M为自然数，且MW999...9).可以利用上面性质较快的获得结果.

k个9k个9

削蝴4初题豳

模块一,多位数求精确值运算

【例1】计算：55…5x33…3

2007个5200,个3

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将33…3乘以3凑出

2007个3

一个99…9,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以

2007个3

原式=55…gx99…”3=55..Jx(100---0-l)-3=(55…500…勺-55…5)+3

2007个52007个92007个52007个02007个52007个02007个5

=,53544—45+3=185.-•1851848148•••14815

2006个52007个4668个185668个148

【答案】185■••1851848148•­•14815

668个185668个148

【巩固】计算：88…8x33…3

2007个82007个3

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将岂乘以3凑出

2007个3

一个99…9,然后在原式乘以3的基础上除以3,所以

2007个9

原式=88…8x99…9+3=88…8x(100…0-1)+3=(88…800-0-88-8)+3

2007个82007个92007个82007个02007个82007个02007个8

二88二8711…12+3=296=2962957037;;03704

2006个82006个1668个296668个037

【答案】296--2962957037---03704

668个296668个037

【巩固】计算3333x59049

2004个3

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】我们可以把岂3/转化为9999a3,进而可以进行下一步变形，具体为：

2004个32004个9

原式=史33x59049=9999+3x59049=9999x19683

2004个32004个92004个9

=(10000-l)x19683=1968300...0-19683=1968299...9980317

2004个02004个01999个9

【答案】1968299...9980317

199s个9

【巩固】计算6666x9x邑3避的乘积是多少？

2004个62008个3

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】我们可以将原题的多位数进行9999=10"-1的变形：

原式二3333x2x3x3x3333=3333x2x3x9999

2004个32008个32004个32008个9

=199998x(10000-1)=199998x10000-199998

2003个92008个02003个92008个02003个9

=199997999800002.

200」个92003个0

【答案】199997999800002

2003个92003个0

【巩固】快来自己动手算算(11…的结果看谁算得准？

2007个1200,个92003个9200沁7

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】本题是提取公因数和凑整的综合。

原式=[99…9x(11…1+77…7)]+3=99…9x88Y+3=(100-0-1)义88.二§一3

2007个92007个12007个72007个92007个82007个。2007个8

二(邵…800…0—88・・-8)・3=88…8711…12+3=296•••2962957037•••03704

2007个82007个02007个82006个82006个1668个296668个037

【答案】296…2962957037…03704

66恭296668^037

【巩固】计算99••契x88…8+66…6

2008个92008个82008个6

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】本题着重是给大家一种凑的思想，除数是66…6,所以需要我们的被除数也能凑出66…6

2008个62008个6

这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以：

原式=3x33•••3x4x22•••2・66,•,6=3x4xll,,,lx66•••6・66,•,6

2008个32008个22008个62008个12008个62008个6

=3x44…4=13332

2007个3

【答案】13332

2007个3

【例2】请你计算999x999+1999结果的末尾有多少个连续的零？

2008个92008个92008个9

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开

方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律

9x9=81;99x99=9801;999x999=998001;9999x9999=99980001;.......

所以：999x999=99980001

2008个92008个92007个92007个0

原式=99980001+1999=1000

20(^个92007个02008个94016个0

方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999很接近1000,

于是我们采用添项凑整，简化运算。

原式=(100o-l)x999+1000+999=99•■-900--0-99-■-9+100-■-0+99•--9

2008个02008个92008个02008个92008个92008个02008个92008个02008个9

=99--900.0+100--0=100-0

2008个920084-02008个04016个0

所以末尾有4016个0

【答案】4016个0

【例3】计算2222x2222的积

1998个21998个2

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】我们先还是同上例来凑成9999;

k个9

C/、〜(、

22

2222x2222=-x9999x2222=—义10000-1x2222

oQ

1998个21998个2/\1998个971998个2/\1998个071998个2

=-x10000-1X4444=-x44440000-4444

g

J\1998个071998个49\1998^4'^998^01998^4

=—义4444355556、

Q

/1997个41997个5

我们知道4444能被9整除，商为：049382716.又知1997个4,9个数一组，共221组，还剩

9个4

下8个4,则这样数字和为8x4=32,加上后面的3,则数字和为35,于是再加上2个5,数字和为

45,可以被9整除.4444355能被9整除，商为04938271595;我们知道5555能被9整除，

8个49个5

商为：061728395;这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5,而6个5和1

个、6,数字和36,可以被9整除.55556能被9整除，商为0617284.于是，最终的商为：

6个5

49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284

220个049382716221个061728395

【答案］49382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284

220个049382716221个061728395

【例4】计算：12345679012345679012345679x81

99个01^345679

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=12345679x1000000001000000001x81

99个ooboooooi

=999999999x1000000001000000001

99个000000001

=999999999999999999

100个999999999

【答案】999999999999999999

100个99^999999

【巩固】12345679012345679x81

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【关键词】2024,武汉，明心奥数

【解析】原式=(12345679x1000000000+12345679)x81

=12345679x1000000001x81

=999999999x1000000001

=999

18个9

【答案】999

18个9

[例5]求3+33+333+...+33...3的末三位数字.

2007个3

【考点】多位数计算之求精确值【难度】3星【题型】计算

【解析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3,2006个30,2005个300,

贝42007x3+2006x30+2005x300=6021+60180+601500=667701,原式末三位数字为701

【答案】701

模块二、多位数求数字之和

【例6】求3333333x6666666乘积的各位数字之和.

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算

【解析】方法一：本题可用找规律方法：

3x6=18;33x66=2178;333x666=221778;3333x6666=22217778;.......

所以：33....3x66....6=22...2177...78,则原式数字之和2x6+1+7x6+8=63

n个3n个6(n-1)个2(n-1)个7

原式=9999999x2222222

=(10000000-l)x2222222

=22222220000000-2222222

=22222217777778

所以，各位数字之和为7x9=63

【答案】63

【巩固】求111111x999999乘积的各位数字之和。

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算

【解析】观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中999999很接近1000000,于是我们采用

添项凑整，简化运算。

原式=111111x(1000000-1)

=111111x1000000-111111x1

=111111000000-111111

=111110888889

数字之和为9x6=54

【答案】54

【例7】如果4=3+33+333++333,那么A的各位数字之和等于。

2010个3

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算

【关键词】2024,学而思杯，5年级

【解析】104=30+330+3330++3330,所以

2010个3

9A=3330-3-3--3=33327300,A=33327300-9=370370370369700,数字和为

2010个32010次2006个32006个36684^370

668x10+25=6705.

【答案】6705

【例8】若a=151515x3333,则整数“的所有数位上的数字和等于().

1004个152008个3

(A)18063(B)18072(C)18079(D)18054

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】选择

【关键词】2024,第十三届，华杯赛

【解析】a=1515£x3332=5050505x9999=5050505xQ00000-1)

10044-152008个31004个5和1003个02008个91004个5和1003个02008个0

=5050505000000-5050505=50505050494949-495

1004个502007个。1004个5加1003个。100讣501004个49

所以整数a的所有数位上的数字和=1003x5+1004x(4+9)+5=18072.

【答案】(3)18072

【巩固】计算6666x66667x25的乘积数字和是多少？

2004个62003个6

【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算

【解析】我们还是利用9999=10000-1,来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999,

k个9k个0k个9

于是我们就创造条件使用：

6666x66667x25

2004个62003个6

=[2x9999x(-x9999+l)]x25=[-x(10000-1)]x[-x(10000)+I]x25

32004个9-32004^932004-^032004^0

1195

=_x-x[2xl0000-2]x[2x(10000)+I]x25=—x[4x10000-2x10000-2]

Q

aJJa2004个02004个0y4008个02004个0

=122x9999-—x9999=100x1111-50x1111

94008^9920044^4008^1-2004^7

=111100-55550=lll^J0555^0

4008个12004个52004个12004个5

所以原式的乘积为111055550,那么原式乘积的数字和为1x2004+5x2004=12024.

2004个12004个5

【答案】12024

【例9]试求1993x123x999999乘积的数字和为多少？

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算

【解析】我们可以先求出1993x123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993x123还是有点繁琐.

设1993xl23=M,则(1000xl23=)123000<M<(2000xl23=)246000,所以M为6位数，并且末位不

是0;令M=abcdef

贝”A/X999999=Mx(1000000-1)=1000000M-M

=abcdef000000-abcdef

=abcdef(/-1)999999+1—abcdef

="c时(7-l)(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-e)(9-7)+l

=aWef(/-l)(9-a)(9-Zj)(9-c)(9-iZ)(9-e)(9-/+l)

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f-1)+(9-a)+(9-b)+(9-c)+(9-0+(9—e)+(9—

y+l)=9x6=54,所以原式的计算结果的数字和为54.

【答案】54

【巩固】下面是两个1989位整数相乘：1H...11X111.J1O那么乘积的各位数字之和是多少？

1989个11989个1

【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算

【解析】解法一：

在算式中乘以9,再除以9,则结果不变.因为HL.11能被9整除，所以将一个HL.n乘以9,

1989个11989个1

另一个除以9,使原算式变成：

999……99x123456790……012345679=(1000……00-l)x123456790……012345679

1989个9共1988位数198^个0共1988位数

=123456790……012345679000……00-123456790……012345679

共1988位数1986个0共1988位数

=123456790......012345679123456789876543209……987654320987654321

共1988位数共19正位数一

得到的结果中有1980-9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个

“987654321”，所以各位数之和为：

(1+2+3+4+5+6+7+9)x220+(9+8+7+6+5+4+3+2)x220

+(1+2+3+4+5+6+7+8)+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=17901

解法二：

111...11X111...11=999...99x111...llx-=999...99x?/,其中N<999...99

Q————

1989个11989个11989个91989个1/1989个91989个9

所以111…11.11的各个位数字之和为：9x1989=17901

1989个11989个1

【答案】17901

【巩固】试求9x99x9999x...x9999x9999x9999乘积的数字和为多少？

256个9512个91024个9

【考点】多位数计算之求数字和【难度】4星【题型】计算

【解析】设9x99x9999x...x9999x9999=M

256个9512个9

则原式表示为Mx2999o

1024个9

注意到9X99X9999X99999999X...X9999X9999=M,

256个9512个9

则M<10xl00xl00013xl00000000x...xi0000x10000=10000

2564~0512个0k个0

其中+2+4+8+16+...+512=1024-/=1023

即M<10000,即M最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M与喳？乘积的数字和

1023个01024个9

为1024x9=10240—1024=9216.原式的乘积数字和为9216.

【答案】9216

【例10】计算：789789x29999结果的各位数字之和是

670不7892009个9

【考点】多位数计算之求数字和【难度】3星【题型】计算

【解析】原式二789789x30000-1

670个789V2009个07

=23693693670000-789789

66949362009个0670个789

=236936935910210211

669-^693669个102

各位数字之和是2+3+669x18+5+9+669x3+1+1=670x21=14070

【答案】14070

模块三,多位数运算中的公因式

【例11](1)200820082008x200920092009-200920092009x200820082008

2008个20082009个20092008个20092009个2008

(2)200920092009^-41004100410041

2009个20092008个4100

【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算

【解析】⑴原式

=2008x1000100010001x2009x1000100010001-2009x1000100010001x2008x1000100010001

2007个00012008个00012007个00012008个0001

=0

(2)原式=(2009x1000100010001)4-(410041004100-100)

2008个00012009个4100

=(2009x1000100010001)4-(41x1000100010001)

2008个00012008个0001

=2009+41

=49

【答案】⑴0⑵49

【巩固】计算(1)200920092009x20082008-200820082008x20092009

(2)200720072007-22302230223

【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算

【解析】(1)2^A=2009x10001000x2008x10001-2008x100010001x2009x10001-0

(2)A=(2007x100010001)-(223x100010001)=2007+223=9

【答案】(1)0(2)9

【巩固】计算：333x332332333-332x333333332

【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算

【关键词】2024,我爱数学夏令营

【解析】原式=333x(332332332+1)-332x(333333333-1)

=333x(332x1001001+1)-332x(333x1001001-1)

=333+332

=665

【答案】665

【巩固】计算：512x511511511512-511x512512512511

2008个5112008个512

【考点】多位数计算之提取公因式【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=512x(511511511+1)-511x(512512512-1)

2009个5112009个512

=512x511x1001001001+512-511x512x1001001001+511