高中数学- 9 牛顿 （以牛顿为背景的高中数学考题题组训练）解析版

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题9牛顿

（以牛顿为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（IssacNewton,1643-

1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“做切线”的方法求方程的近似解.如图,

方程“X）=0的根就是函数,f（x）的零点r,取初始值司处的切线与x轴的交点为々,

f（x）在巧的切线与无轴的交点为演，一直这样下去，得到斗,勺，演…，x“，它们

则用牛顿法得到的，•的近似值々约为（）

C.1.416D.1.375

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得演•

【详解】

/（x）=x2-2,/（x）=2x,

/（2）=4-2=2,/⑵=4,在点（2,2）的切线方程为y—2=4（x-2）,令y=0解得

3

芭=天

信卜图二宅一24/图=3,在点整力的切线方程为y03卜［

令y=0解得々«1.417.

故选：B

2.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为则经

t

过一定时间f分钟后的温度T满足一1),/?称为半衰期，其中T,是环

境温度.若(=25。。，现有一杯80℃的热水降至75C大约用时1分钟，那么水温从

75℃降至45℃大约还需要()(参考数据：怆2=0.30,lgll«l.()4)

A.8分钟B.9分钟C.10分钟D.11分钟

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得(丁=$,代入45-25=(9(75-25),得用g两边取常用对数得：

rlg《=lg|，再利用对数的运算性质即可求出，的值.

【详解】

解：根据题意得：75-25=(口%80-25)，

•・可哈

1L

.•.45-25=(3)"(75-25),

二20=50X卜'],

・•瑞

in7

两边取常用对数得：Hg^=lg1,

ig2

培5Jg2-lg5-21g2-l-2x03-1

^101-lgll1-lgll1-1.04'

gn

••・水温从75℃降至45℃大约还需要10分钟，

故选：C.

3.牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方

法.比如求解方程/-3f+4x-l=0,先令f(x)=x3_3/+4x-l,然后对y=f(x)

的图象持续实施下面的步骤:

第一步，在点（1,1）处作曲线的切线，交X轴于（5,0）；

第二步，在点（Xj（xj）处作曲线的切线，交》轴于（七,0）；

第三步，在点（&,/（%））处作曲线的切线，交x轴于（玉,0）；

利用该方法可得方程近似解占（保留三位有效数字）是（）

A.0.313B.0.314C.0.315D.0.316

【答案】B

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义先求解点（U）处的切线，进而得到a，o）,再按题意继续计算得

到当即可

【详解】

r（x）=3x2-6x+4.-.r（l）=l

所以y=/（x）在（1,1）处的切线方程y-i=x-i,y=x,则占=o；

同理/'（0）=4,旷=〃幻在（0,-1）处的切线方程丫=4犬-1,令y=0,得马=；,

又/《）=兽,y=/（x）在上一当处的切线方程y=令y=o,得

41664J1614J64

27

x,=——«0.314.

86

故选：B.

4.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：f=（r为时间，单位为

分钟，％为环境温度，4为物体初始温度，J为冷却后温度），假设一杯开水温度

q=9（）c,环境温度％=10C,常数《=，，大约经过多少分钟水温降为40（参考数

6

据：In2ao.7,In3al.1｝（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，将数据代入温度冷却模型，即可求解.

【详解】

40-103

由题意知：代入冷却模型，f=-61n茨V=-61n==-6(ln3-ln8)

90—108

g|JZ=-6(ln3-31n2)«6

故选：C.

5.中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水

的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了

方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如

果物体的初始温度是仇℃,环境温度是则经过，分钟后物体的温度将满足

e=4+(q-4)e-“，其中％是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通

过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温

度下降到5(rc.则在上述条件下，ioo°c的水应大约冷却()分钟冲泡该绿茶(参考

数据：ln2®0.7,ln3»l.l)

A.3B.3.6C.4D.4.8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意求出k的值，再将e=8o℃,4=ioo℃,〃=20℃代入e=4+(a—d)e”即

可求得f的值.

【详解】

-12t-A2A

由题可知:50=20+(100-20)e=>(e)'=|=>e'

冲泡绿茶时水温为80℃,

故80=20+(100-20)©"=>『)'=ln|

12(ln3-21n2)12(1.1-2x0.7)_

In3-31n2l.l-3x0.7'

故选：B.

6.牛顿流体符合牛顿黏性定律，在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：

r=W,其中T为剪切应力，〃为黏度，/为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速

率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体.非牛顿流体会产生很多非常有趣的现

象，如人陷入沼泽越挣扎将会陷得越深；也有很多广泛的应用，如某些高分子聚合物

还可以做成“液体防弹衣如图是测得的某几种液体的流变T-7曲线，则其中属于沼

泽和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）

A.③和①B.①和③C.④和②D.②和④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据所给定义，分析出图象中牛顿流体和非牛顿流体对应的曲线，即可得答案.

【详解】

由题意得牛顿流体黏度〃恒定，即在T-7曲线中，图象为直线，即①和③为牛顿流

体，④和②为非牛顿流体，

乂属于沼泽和液体防弹衣所用液体为非牛顿流体，

所以对应曲线为④和②.

故选：C

7.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：+4,其中为时间

（单位：min）,%为环境温度，4为物体初始温度，6为冷却后温度），假设在室内

温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100C降低到60C需要20min.则k的值为

)

In2In3「In2In3

A.---B.---C.-----D.-----

20201010

【答案】A

【解析】

【分析】

把%=20,4=100,6=60,r=20代入6=（4一4卜一"+。可求得实数％的值.

【详解】

由题意，把％=20,4=100,6=60,f=20代入。=(q—4)e-"+q中得

80e-2W'+20=60.可得:,

2

所以，—20%=—In2,I大1此，k----.

20

故选：A.

8.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛

顿法用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程/（X）=0的根就是函数的

零点r,取初始值％处的切线与x轴的交点为4，/（x）在4处的切线与x轴的交点为

x,,一直这样下去，得到维，多,々....x„,它们越来越接近/•.若/（x）=/-2,

々=2,则用牛顿法得到的r的近似值巧约为（）

A.1.438B.1.417C.1.415D.1.375

【答案】B

【解析】

【分析】

利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得巧.

【详解】

由题意，得/'（x）=2x,/（2）=4-2=2,/（2）=4,

所以曲线y=“X）在点（2,2）处的切线方程为y-2=4（x-2）,

3

令y=o,得否=3

所以曲线y=在点住高处的切线方程为）'-1=3卜-|）,

令y=0,解得々=1.417.

故选：B.

9.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为

年C,空气温度为综。C,则f分钟后物体的温度。（单位：。C）满足：

6=4+（4-幻「'.若常数后=0.05,空气温度为25c，某物体的温度从85℃下降到

45℃,大约需要的时间为（）（参考数据：ln3"l.l）

A.25分钟B.24分钟C.23分钟D.22分钟

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得，4=25,4=85,0=45,故45=25+（85-25）/帕，再结合对数函数的公

式，即可求解.

【详解】

由题意可得，4=25,优=85,。=45,

故45=25+（85-25）摩°”,

:.e-°05'=1,即-005/=Ing,

二”黑心悬=22（分钟），即大约需要的时间为22分钟，

故选：D.

10.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，=一7始万二六G为时间，单位为

分钟，4为环境温度，4为物体初始温度，。为冷却后温度），假设一杯开水温度

a=90℃,环境温度％=10℃,常数％=，，大约经过多少分钟水温降为40C?（参考

6

数据：ln2«0.7,ln3»l.l）（）

A.8B.7C.6D.7

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题设的温度冷却模型有f=-61n*^,应用对数的运算性质即可求值.

90-10

【详解】

40-103

由题意知：Z=-61n--------■=-6111二=-6(1113-1118)=-6(1113-31112)=6分钟，

90—108

故选：C.

11.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航

空航天中应用广泛，若数列卜“｝满足则称数列｛x0｝为牛顿数列.如

/\Xn)

X—2

果函数/(x)=Y-x—2,数列｛xj为牛顿数列，设q=ln」一彳且q=-1,%>2,数

Xn+1

列｛%｝的前”项和为S“，则邑02小()

A.2202,-1B.1-22021

【答案】B

【解析】

【分析】

先由题设得到：怎一毛壬2=炉马，从而得到见+尸2%，即可说明数列

2x,,-l2x„-l

｛%｝是以-1为首项，2为公比的等比数列，再利用等比数列前"项和求和公式得到结

果.

【详解】

解：由题知/'（》）=2x-l

R=Y/（x"）==七+2

向一，r（x„）"2x„-l2x„-l

.+22,

2x„-l_/x„-2>-

・玉+i+l7+2।]l-v„+lJ

2x,-l

x—2x-2

两边取对数得：In=21n"

x.+i+lx“+l

令«„=ln"即%-2%，所以数列｛4｝是以-1为首项,2为公比的等比数列,

X”+1

故选：B

12.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航

/(七)

空航天中应用广泛.若数列｛%｝满足玉"则称数列｛怎｝为牛顿数列.如果

/'(%)'

x—2

函数〃x）=f—X—2,数列上｝为牛顿数列，设％=卜七「且q=l,x“>2,数列

｛叫的前〃项和为S“，则反侬=（）

门、2022门产2

A.2*1B.22022-2c.I~D.1-2

【答案】A

【解析】

【分析】

得到尸（x）,计算%+|=%一光十，然后计算*中，最后可得数列｛4,｝为等比数

列，最后根据公式计算即可.

【详解】

X：7“-2=X：+2

由题可知I：f'(x)=2x-l,x„=x

+ln24-1-2x„-l

所以上W=2*;,

x“+i+l4+2।]

2xw-l

x.-2x—2

则两边取对数可得In37T=21n-r，即。，川=2q,

Xn+\+1Xn+1

所以数列｛4｝是以1为首项2为公比的等比数列，

1x

所以―匚「=2配-1

故选：A

13.牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为

To,则经过一定时间f后的温度T满足T_?;=（；,（7；二7；）,其中，是环境温度，h

称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现

在55℃.经测量室温为25C,茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮

用口感，从泡茶开始大约需要等待（)(参考数据：1g3«0.4771,

Ig5»0.6990,Igl1*1.0414）

A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟

【答案】C

【解析】

【分析】

根据已知条件代入公式计算得到再把该值代入，利用对数的运算即可求得

结果.

【详解】

2£

根据题意，75-25=（；『（80-25），即与=（；］

设茶水从75℃降至55℃大约用时t分钟，则55-25=?丫

两边同时取对数：lg|=lg（,）=小（当卜f（l-lgll）

解得'=早Ig3-音lg5~"5,所以从泡茶开始大约需要等待5+1=6分钟

1-lgl1

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟

练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.

二、多选题

14.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，

设定一个起始点%,如图，在x=x0处作/（X）图象的切线，切线与x轴的交点横坐标

记作4：用/替代与重复上面的过程可得巧；一直继续下去，可得到一系列的数方,

为，巧，…，x“，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当X“T，近似值

相等时，该值即作为函数/（X）的一个零点『.若要求*的近似值/（精确到0.1）,我们

可以先构造函数/（x）=/-6,再用“牛顿法''求得零点的近似值乙即为痣的近似

值，则下列说法正确的是（)

y

XX

A.对任意/2GN\n<n-\

22

B.若且不工0,则对任意"GN"，X„=-VI+—

JXn-\

C.当X。=2时，需要作2条切线即可确定『的值

D.无论为在（2,3）上取任何有理数都有「=1.8

【答案】BCD

【解析】

【分析】

利用特殊情况判断选项A；求出曲线在x=x,i处的切线方程与x轴的交点横坐标，即

可判断选项B；求出玉，巧，即可判断选项C、D

【详解】

A,因为〃无）=/-6,则/''（工）=3公,

设%=1,则切线方程为y+5=3（x-l）,

Q

切线与X轴的交点横坐标为王=：=2.7,所以再>%,故A错误:

123

B,X=x,i处的切线方程为y=3(X„_1)(X-X„_I)+x,,.1-6，

22x

所以与x轴的交点横坐标为4=—r+ya，故B正确；

1211…

2211=---y+—x—«1.8

C,因为芯=（+：x2=*kl.8,-（Uj36,

所以两条切线可以确定,的值，故C正确；

D,由选项C可知，厂=1.8,所以无论与在（2,3）上取

任何有理数都有r=1.8,故D正确.

故选：BCD

15.若函数/(x)的图象是连续的平滑曲线，且在区间,，句上恒非负，则其图象与直

线x=a、x=b、x轴围成的封闭图形的面积称为/(x)在区间目上的“围面积”.根据

牛顿-莱布尼茨公式，计算面积时，若存在函数*x)满足F'(x)=/(x),则

尸㈤-尸⑷为f(x)在区间［a,可上的围面积.下列围面积计算正确的是()

A.函数〃x)=2*在区间［0,2］上的围面积是三

In2

B.函数〃x)=cos晨在区间1,胃上的围面积是1

C.函数〃x)=；在区间［1,2］上的围面积是ln2

D.函数f(x)=lnx在区间［e"］上的围面积是e?

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据定积分的定义和性质逐个分析求解即可

【详解】

对于A,函数f(x)=2,在区间［0,2］卜一是连续的非负函数，且存在尸(x)=21满足

In2

F(x)=/(x),所以函数/(x)=2*在区间［0,2］上的围面积是

2213

F(2)-F(0)=------------—,所以A错误,

In2In2In2

对于B,函数，(x)=cos2》在区间0,(上是连续的非负函数，且存在

尸(x)=］+；sin2x满足F'(x)=/(x),所以函数〃x)=cos2x在区间0,(上围面积是

IIn/八、7C1.7t1711一,.

尸:一尸(°)=7+；sin；=：+不，所以B正确，

14J84248

对于C,函数f(x)=2在区间［1,2］上是连续的非负函数，且存在F(x)=lnx,满足

F'(x)=f(x),所以函数/(x)=」在区间［1,2］上的围面积是

F(2)-F(i)=ln2-lnl=ln2,所以C正确,

对于D,函数f(x)=lnx在区间Re?］上是连续的非负函数，只存在尸(x)=xlnx-x,

满足F(x)=/(x),所以函数〃x)=lnx在区间［e4］上的围面积是

F(e2)-F(e)=e2Ine2-e2-(elne-e)=e2，所以D正确,

故选：BCD

16.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种近似求方程根的方法一牛顿迭代法.做法如

下：如图，设『是/（x）=0的根，选取与作为「初始近似值，过点（%,/（毛））作曲线

y=/。）的切线/,/与x轴的交点的横坐标为=%-察工（尸（々）x0）,称储是/•的一

次近似值，过点（%,/（入））作曲线y=的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为

马=玉-坐^（尸&»0）,称々是『的二次近似值.重复以上过程，得到/•的近似值序

列，其中X向=%-务《（广（马户0），称Xm是，的"+1次近似值，这种求方程

/（x）=o近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程£=2的近似解，则

A.若取初始近似值为1,则该方程解得二次近似值为范17

B.若取初始近似值为2,则该方程近似解的二次近似值为巳17

/（%）_f（玉）_f㈤_〃毛）

/（X。）/（%）/⑸

fM,r（xi）（（莅）f'M

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据牛顿迭代法求方程/&）=0近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.

【详解】

令/（》）=--2,plljf\x）=2x,当4=1,X]=1-=1-y-=-|

々在一/(x焉)=17透故A正确;

/(x)17

当-23=2二4工2=再一务々=不，故B正确;

口0勺,⑵42fM12

国为尤_„/(X。)„j(/)K-X/(”2)，(工3)

2

因为…一7W再一马一很；匕一三一7^'

.x_x」(x。)/&)/(％)[(w)f

・…-/一可一西一河一所‘故0正确‘口情尻

故选：ABC

17.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是4

(单位：℃),环境温度是%(单位：℃),其中4>4.则经过r分钟后物体的温度。

将满足，=/⑺=4+(4-ajg”,其中％为正常数.现有一杯80℃的热红茶置于20℃

的房间里，根据这一模型研究红茶冷却，正确的结论是()

A./（r）＜0

B.若/（3）=65。（2,贝Ij/（6）=5（）OC

C.若/(3)=-4,则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟4。(2的速

率下降

D.红茶温度从80℃下降到60。(2所需的时间比从60。(2下降到40℃所需的时间少

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由题知。=/(r)=20+60e-“，进而根据导数的几何意义，导数运算等依次讨论各选项

求解即可.

【详解】

解:由题知。=/⑺=20+601,

对于A选项，因为人为正常数，所以/(，)=-60射山<0,故A选项正确;

对于B选项，若/⑶=65。(2,即65=20+60e3,所以:=e』，则

..2Q

f（6）=20+60e3=20+60（e"®）=20+60x—=53,75℃,故B选项错误；

、16

对于C选项，尸（3）表示t=3处的函数值的变化情况，若/（3）=-4<0,所以实际意

义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟4%：的速率下降，故C选项正确；

对于D选项，令g（x）=/Q）=-60ke-",则g（x）=60Fe*>0,故/⑺是定义域内的

单调递增函数，

由于所以/⑺随着时间的增加，下降速度再减小，由于

80-60=60-40=20.

故当下降温度相同的时候，下降所需时间相对增加，故红茶温度从8（rc下降到6（rc

所需的时间比从60℃下降到40。（2所需的时间少，

故D选项正确.

故选：ACD

18.众所周知，组合数£"="（〃T）（"-2）（〃-〃?+1）,这里并且

m\

m<n.牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数禺'中的下标〃推广到任意实

数，规定广义组合数C：=MxT）—f+D是组合数的一种推广,其中

且定义C：=l,比如=22-D（2--3）（2-4）=0.下列关于广

义组合数的性质说法正确的有（）

A.Cj7=-210B.当〃?，〃为正整数且机>〃时，

c；=o

C.当，"为正奇数时，U；=TD.当〃为正整数时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】

选项A.由定义直接求出C：的值，可判断；选项B.由定义有

C=--------------------,根据条件〃，n-ln-2,,〃一机+1这根个数中，一

nnil9

定有某个数为0,从而可判断；选项C.由定义直接求出的不等式，结合条年可判

断；选项D.由定义分别得出U'；,C3-从而可判断.

【详解】

选项A.由题意C：=.,）?!!7Rx（二7匚）以二7二3）=210,故选项A不正确.

f5!

选项B由if）,（…+D,

tn\

当加，〃为正整数且，〃时，则〃一根工一1,所以〃一m+l<0

所以〃，n-1,n-2,,〃-机+1这机个数中，一定有某个数为0,

所以3=（"一+1）=0,故选项B正确

m\

选项C.当布为正奇数时，c；=f-2）（-1-，"+1）=-1（-2）（-〃。=—1,故选项c

ml

正确.

选项D.当”为正整数时，

T7（T7—1）（—M—2）（一〃—机+1）/\m+1）（7?+2）（〃+加一1）

C_“=----------------------；-------------------=（T）-------------------；---------------

mlml

m（九+加-1）（〃+加-2）（〃+加一1一机+1）（〃+加一1）（〃+加-2）+

L”+WI-1—*一1

m\m\

所以C™=（-1L,故选项D正确

故选：BCD

19.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法一牛顿迭代法，做法如

下：如图，设r是/（勾=0的根，选取与作为r的初始近似值，过点&,/（%））作曲线

〉=/（力的切线/：丫-/1）=/'（%）（》_々,），贝心与x轴的交点的横坐标

%="。一42（7'伍片°），称公是「的一次近似值；过点（与，/（4））作曲线y=/（x）

的切线，则该切线与无轴的交点的横坐标为巧，称々是r的二次近似值；重复以上过

程，得r的近似值序列，其中心=%-少4（/'5）/0）,称加是r的”+1次近似

值，这种求方程/（X）=0近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程V=3的

近似解，则（)

A.若取初始近似值为1,则过点作曲线y=〃x)的切线/：y=2x-4

B.若取初始近似值为1,则该方程解的三次近似值为¥97

56

「X=X/(♦)I/(%)j(72)

l°r(%)1㈤r㈤

n_〃―)/(%)。(工2)f(X")

…f'M小)广⑸f'M

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据条件介绍的牛顿迭代法求近似解即可.

【详解】

解：构造函数/(x)=f—3,则((x)=2x,取初始近似值%=1,〃％)=-2,

/'仇)=2,则y-(-2)=2(x-l),即y=2x-4,则A正确;

寸]=%气_3=]_三=2,-3=2-"上，

°1°f,M2x121/(%,)2x24,

竺一3

f=々一中\=；一匝7=|^，则B正确;

了⑸42xZ56

4

根据题意，可知X|=X。-■4。1〃x“)

,X2=xt八国)„_1(%)

7r，x〃+1

fM7k2-71用'f'Mr

fMf(x1)f(x2)

上述式子相加,得X"+l=%C不正确，则D正

确.

故选：ABD.

三、双空题

20.中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶

解性的差别，达到最佳口感的水温不同.为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物

体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是4,环境温度是4,则

t

经过时间r（单位：分）后物体温度。将满足：0=0o+（0,-0l1）e-',其中我为正的常数.

小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98°C的水在19T

室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：

从98℃下降到90℃所用时间1分58秒

从98。＜2下降到85。（2所用时间3分24秒

从98。＜2下降到80。（2所用时间4分57秒

（1）上的值约为;（填序号）

①0.04：②0.05；③；0.06©0.07.

（2）“碧螺春”用75。（2左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（1）的条件下,

200mL水煮沸后在19%：室温下为获得最佳口感大约冷却.（精确到个位）

分钟左右冲泡.

（参考数据：In79=4.369,In71=4.263,In66=4.190,ln61=4.111,

In56=4.025）

【答案】②7

【解析】

【分析】

①根据题目中给的三组数据，代入。=4+（4-4）-e-",即可得到女的值.

②将得到女的值以及4，4代入公式中，即可得r值

【详解】

由，=%+(4-%).e-"得e-吗，二去，故-h=ln，二去，当环境温度是％=19C,物体的初

始温度是a=98",经过约两分钟下降到。=90这组数据有

90-1971

-2k=In----=In—=In71-In79«4.263-4.369,.1.it«0.05

98-1979

当环境温度是4=19C,物体的初始温度是4=98。,经过3.4分钟下降到0=85这组数据

<-3.4*=In85_19=In—=In66-in79»4.190-4.369,k«0.05

98-1979

当环境温度是4=19C,物体的初始温度是4=98",经过5分钟下降到。=80。这组数据

行-5k=In80_19=In—=ln61-ln79=4.111-4.369,:.kx0.05

98-1979

故人0.05

故答案为:②0.05

当环境温度是4=19C,物体的初始温度是4=98°，经过k分钟下降到6=75有

-0.05/=In—~—=ln56-ln79,t=JILT2_111^»6.88,所以取f=7.

98-190.05

故答案为：7

21.令函数/(x)=V+x-l,对抛物线y=/(x),持续实施下面牛顿切线法的步骤：在

点(1,1)处作抛物线的切线，交x轴于(x，o)；在点GJ(XJ)处作抛物线的切线，交X

轴于(9,0)；在点(々J(X2))处作抛物线的切线，交x轴于(怎,0)；……由此能得到一

个数列代｝随着”的不断增大，乙会越来越接近函数/(x)的一个零在点吃,因此我们

可以用这种方法求“X)零点X。的近似值.①设%U=g(x，3贝Ug(x,)=;

②用二分法求方程1=0在区间(0,1)上的近似解，根据前4步结果比较，可以得

到牛顿切线法的求解速度(快于、等于、慢于)二分法.

【答案】;工快于

2x.+l

【解析】

【分析】

由直线与抛物线相切求出g(X“)，然后利用g(X“)和二分法对零点进行四次计算后比较

可得.

【详解】

2

f(x)=x+x-1,f'(x)=2x+l,fXx„)=2xn+l,

所以切线方程为y-(x；+-1)=(2x„+l)(x-x„),

X?+1Y24-1

令尸°'得"=岸'所以"=g*“)=*r

二分法计算一=等毛=一!<°」⑴

13

-+-

上二,24

X3-=0.625,

2428

15

—+-

9=0.0625

-28\x4-A^|

吟$皿七r一2—=0.5625

16

用切线逼近法:

2

41

++1

M=g⑴=111_22913

,2+1321»—=0.6180,

3+，竺+1

21

‘=0.6182+17061803,

0.0001<0.0625,

42x0.618+1

因此牛顿切线法的求解速度快于二分法.

X24-1

故答案为：-^―；快于.

2玉+1

22.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设/•是

〃x)=0的根，选取％作为，初始近似值，过点(%,/5))作曲线y=/(x)的切线/,

则/与X轴的交点的横坐标％=为-詈2(/'(与)工0),称4是『的一次近似值，过点

(%,〃％))作曲线y=/(x)的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标

々=%一1仪(广仁)二0)，称演是「的二次近似值•重复以上过程，得到『的近似值序

(1)请选出厂的〃次近似值与r的〃-1次近似值的关系式(请填正确的

关系式序号).①/=七_(在2)；②x,,=x,i-光彳(〃22)；③

/(加)

(«^2).(2)若〃XX取x0=2作为，的初始近似值，则

ri))=2-3,

〃x)=0的正根的二次近似值为.

97

【答案】②；77

56

【解析】

【分析】

(1)根据题中的两个表达式，选出公式即可；

(2)根据(1)中的公式代入数据计算可得出结果.

【详解】

(1)由%=入0-乌"\(7'(入0)*。)，“2=X-/J,

J(々JJ(Xj

/Qi)

推得「的〃次近似值与r的〃-1次近似值的关系式为斗=X“T(北2).

/(Vi)

所以公式②正确;

〃玉)工%-3=13

(2)/'(%)=2x,x

n+]r(x“)”2x„2f2x„

371317697

毛=2时，x,=5%+大=,+—,X)=-X]4-------=-x—+—=——

r4-212%,24756'

四、填空题

23.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是

经过一定时间/(单位：min)后的温度是T,则7.7；=(稣其中7；称为环

境温度，〃为常数，现有一杯用85℃热水冲的速溶咖啡，放在21℃的房间中，如果咖

啡降到37℃需要16min,那么这杯咖啡要从37℃降到25℃,还需要min.

【答案】16

【解析】

【分析】

根据所给函数模型，由Z=21℃.令7b=85℃,T=37℃,求得"然后令心=

37℃,7=25℃,求得f.

【详解】

16

由题意知7h=21℃.令7b=85℃,T=3TC,得37-21=(85-21)］；)，

.•./7=8.

令7。=37℃，T=25℃,则25-21=(37-21)(gJ，

；♦f=16.

故答案为：16.

24.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航

空航天中应用广泛，若数列k“｝满足X,M=%一务4,则称数列｛%｝为牛顿数列.如

x+2

果函数“X)=2/-8,数列优｝为