2022-2023学年上海市某中学高一（下）质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市某中学高一(下)质检数学试卷

一、单选题(本大题共4小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.将—sinα+√_5cosα化为4siτι(α+φ)(Λ>0)的形式()

A.2sin(a-B.2sm(cr-C.2sin(a+竽)D.2sin(a+ɪ)

2.在△力BC中，a=6,b=8,乙4=40。，则ZB的解的个数是()

A.0个B.2个C.1个D.1个或2个

3.已知一5<。<],且Sine+cos。=X,其中Xe(0,1),则关于tan。的值，在以下四个答

案中，可能正确的是()

A.—2B.—ɪC.ɪD.2

4.已知△4BC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,下列命题中，真命题的个数是()

(1)若c^tanB=b2tanA,则△ABC是等腰三角形；

(2)若sin4=CosB,则△4BC是直角三角形；

(3)若CoSACOSBCOSC<0,则AABC是钝角三角形；

(4)若COS(A-B)COS(B-C)CoS(C-4)=1,则△ABC是等边三角形.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)

5.一个扇形的面积是8cτ∏2,半径是4cm,则它的圆心角为.

6.终边在X轴上的角的集合.

7.若角120。的终边上有一点(-3,a),则实数a的值为.

8.已知tcmX=­4,Cosx>0>则S讥X=.

9.在三角形ABC中，已知4=120o,B=45o,AC=2,则三角形面积S=

7

10.已知COSX=-l%∈[0,2ττ],则X=.

11.在等腰三角形中，己知顶角的余弦值是全则底角的余弦值是

12.如图，矩形ABC。由两个正方形拼成，则4C71E的正切值为.

13.若CoS=；,S讥X+siny=|,则sin(ɪ^)=

14.己知点P的坐标是(4，弓,1)，将OP绕坐标原点。顺时针旋转方至OQ,那么点Q的横坐标是

15.在角%,θ2,θ3,%9的终边上分别有一点B，P2,，…，”9，如果点Pk的坐标为

oo

(sin(25—fc°),sin(65+k°)),l≤fc≤49,fc∈∕V,则Cos%+cosθ2H------Fcosθ49=.

16.在三角形ABC中，F=∣,NBAC的平分线/W交BC于C,且40=3,BD=2,则CoSC=

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知cotɑ=±求迎生也的值.

ɔcos2a

18.(本小题12.0分)

⑴化简∙sin(2ττ+8)tan(8-7τ)tan(岑+6)

'∙eos(ɪ-0)cot(3ττ-0)

(2)证明恒等式：喑=tan©+》.

19.(本小题12.0分)

如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞4作直线往复运动，设连杆AB长为340τmn,曲柄CB长为

85mm,求曲柄CB从初始位置CBO按顺时针方向旋转60。时，求活塞从Ao移动到A的距离

小*.(结果精确到0.0：InUn)

20.(本小题12。分)

已知sin(2α-S)=∣,sin∕?=-∣∣,α∈(^,τt'),β∈(-^,0).

(1)求cos2α的值：

(2)求tαna的值.

21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，锐角a、0的终边分别与单位圆交于a、B两点;

⑴如果4点的纵坐标为,，B点的横坐标为右求cos(α+0)的值；

(2)若角a+夕的终与单位圆交于C点，设角a、口、a+0的正弦线分别为AM、NB、PC,求证：

线段MA、NB、PC能构成一个三角形；

(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说

明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：—sina+yj_3cosa=2(TCoSa—ɪsinɑ)=2(Sin与CoSQ+eosɪsinɑ)=2sin(α+

纨

故选：C.

应用辅助角公式及和角正弦公式转化函数式即可.

本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：如图，在4ABC中，因为α=6,b=8,∆A=40°,

所以CH=bsin40°<bsin45o=4√7<6,

所以CH<α<b,所以可以构成两个三角形，

所以NB的解的个数是2个，故A,C,力错误.

故选：B.

结合图形，三角形的性质进行判断.

本题考查解三角形问题，化归转化思想，属中档题.

3.【答案】B

【解析】解：由sE9+cos。=I∑sin(O+；)=X,则Sin(O+力=PXe(O,殍)，

又-K9≡θ+≡∈(-2,⅞),

综上，0+^∈(0,≡),故。6(-：,0),则tαn8∈(-l,0),各项中只有一:符合.

故选:B.

由己知及辅助角公式可得sin(。+》=苧Xe(O,殍)，进而确定。6(-10)，再由tan。范围即可

得答案.

本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：ZkABC中，a2tanB=b2tanA由正弦定理得SiMA•丝^=Sin•"4，

fCosBcosA

因为SinA≠O,sinB≠0,

所以包4=亚与SinAcosA=SinBcosB,即sin2A=siτι2B,

CosBcosA

所以24=2B或24+2B=兀，

所以A=B或4+8=看故(1)错误；

△4BC中,因为SinA=cosB>0,所以Be(O

所以A+B或A=B+],故(2)错误；

△4BC中，cosAcosBcosC<0,当COSA<0,cosB<0,CoSC<0时，A,B,C都为钝角，显然

不满足；

当cos4,cosB,CoSC中有1为负，2个为正，不妨设CoSa<0,cosB>0,cosC>0,

则ZeG㈤,B∈(θ,ɪ),ee(θ,ɪ),所以AGBC是钝角三角形;故(3)正确；

△ABCΦ>A>B>CG(0,Ti)>所以/4—BG(—7Γ,Tr)，B—C£(—7T,ττ),C—AG(—τι,Tr),

所以CoS(J4-B)W(—1,1],COS(B—C)E(—1»1]>cos(C—A)E(—1,1],

因为COSQI-B)CoS(B-C)cos(C-½)=1,

所以CoSG4-B)=CoS(B-C)=cos(C-4)=1,所以A=B=C,

则AABC是等边三角形，故(4)正确.

故选:B.

利用三角形的性质、正弦定理、同角三角函数的基本关系进行计算求解.

本题主要考查了同角基本关系，和差角公式及二倍角公式，诱导公式在求解三角形中的应用，属

于中档题.

5.【答案】1

【解析】解：设扇形的圆心角为α,

则扇形的面积为S=ir2α=∣×42×α=8,

解得a=1.

故答案为：L

直接用扇形的面积公式求解即可.

本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题.

6.【答案】{a∣α=kπ,keZ}

【解析】设终边在X轴上的角为α,

当α在久轴正半轴时，a=2kττ,其中keZ；

当α在X轴负半轴时，a—π+2kπ=(2⅛+l)π,其中∕c∈Z

综上所述：α的集合是{a∣α=kτr,keZ}

终边在X轴的角只有和X轴正半轴或者负半轴重合.

结合角在坐标的表示就可以求解，属于基础题

7.【答案】3，三

【解析】解：角120。的终边上有一点(-3,α),

则α>0,

—31

∙∙∙cosl20°=-F===一5，

√9+α22

解得a=3∖Γ^3-

故答案为：3c.

利用终边上的点表示出cosl20。，然后解方程即可.

本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题.

8.【答案】TE

【解析】解：•・,tanx=-4,cosx>0,

・・・％为第四象限角，Sinx<0,

rsinx_.__

由kOSX，解得si?!%=—4；.

ISin2χ+cos2%=1

故答案为：一空.

先通过条件确定X所在象限，然后通过同角三角函数基本关系中的平方关系及商的关系列方程组求

解即可.

本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题.

9.【答案】上/

【解析】解：•••A=120o,B=45。，AC=2,由正弦定理得名=当,

VSinC=sin(180o-120o-45o)=sin(45o-300)=号Xy-号XT=口产

,1.,.,.,1C/~7χΓ^6-√-23—λ∕-^3

：•Sr=-ACz∙BrCr∙SiznC=-×2×√6×---=---•

故答案为：H

先利用正弦定理求出BC,再利用S讥C=sin(180o-120o-450)=sin(450-30。)求出SinC,最后

通过三角形的面积公式求解即可.

本题考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦公式以及三角形的面积公式在解三角形

中的应用，属于基础题.

10.【答案】arccos∣或2兀-arccosg

【解析】解:因为CoSX=I>0,所以久e［0,且或x∈［等,2呼

当xe［0,［］时,X=arccos^；

当x∈［手,2兀］时，X=2π—arccos∣;

故答案为：arccos,或2兀一arccos∣.

先根据余弦值的符号确定角的范围，利用反三角函数表示角可得答案.

本题主要考查反三角函数，属于基础题.

11.【答案】吉

【解析】解：设顶角为α,底角为/?,则α+26=7τ,cosa=

又cosa=1-2sin2∣,^∈(0,^),

Cπ-ɑʌ.a√10

・•・cosβ=cos(zɪ)=sin-=

故答案为：£12.

设顶角为α,底角为/?,先通过倍角公式求出Sin会再利用c。SS=CoS(5@)求解即可.

本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题.

12.【答案】I

【解析】解：因为矩形ABCC由两个正方形拼成，设正方形的边长为1,

则在RtACAO中，tan/C/W=绘=2,NEAD=I

AD4

彳

所以ta∏Z∙C∕D=tan(zCτ4E+ɪ)<=>2==tanz^jg.=ɪ

'4y1-tanzC/lF3

故答案为：ɪ

有已知矩形ABCC由两个正方形拼成，设正方形的边长为1,由图可知：∆CAD=ΛDAD+CAE,

利用两角和的正切公式即可求得.

此题考查了识图，还考查了两角和的正切展开式及学生的计算能力.

13.【答案】I

【解析】解：cos(与ɪ)=∣,sinx+Siny=|,

•••Sinx+Siny=sin(ɪ^ɪ++sin(ɪ^-

=sin(ʃ)eos(ɪ)+eos(ɪ)sin(ɪ)+sin(ʃ)eos(ɪ)-eos(ɪ)sin(ɪ)

=2sin(苧)cos(牙)=|,

∙∙∙sin(等)cos号)=^sin(甯=ɪ)

'SE学=∣∙

故答案为：|.

利用两角和的正弦公式展开SinX+siny=sin(字+昼)+sin(空一爰)计算即可.

本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题.

14.【答案】亨

【解析】解：•••点P的坐标是(4，？,1),是α的终边上的点，

.____14√^3

∙∙SlTlOt一斤COSCt=---，

将α的终边绕着点。顺时针旋转半此时角为α-基

则点Q的横坐标为％=7cos(^a—?)=7[cosαcosg+sinasin^∖=7(耳ɪ×ɪ+ɪ×ʒɪ)=巧三

ɔɔɔ/乙/乙乙

故答案为：亨.

根据三角函数的定义，得到将α的终边绕着点。顺时针旋转45。对应的直线的角的大小，利用两角

和差的余弦公式进行求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关

键.

15.【答案】0

【解析】解：由诱导公式得到Sin(2公-ko)=sin[90o-(65o+fco)]=cos(65o+k。),

oooo

故呢=65+k,θk+θ50.k=65+k0+65°+(50°-fc)=180°,

所以cos6k+cosθso.k=0,

则COSel+cosθ2+…+cosθ49

yyCOScos

=(COSel+Cθsθ49)+(CoSe2+COSθ43)H--------F(COSe24+^26)+^25

=0×24÷cosθ2ζ

=cos(65°+25°)

=CoS90°

=0.

故答案为：0.

o

求出即=65°+求从而得到源+OSOf=180,cosθk+COSeSi=。，进而分组求和得到答案.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

16.【答案】空三1

6

【解析】解：在△4BC中，由正弦定理得一^=箸，

s∖n∆BADSinB

VAD—3,BD—2,

・•・sin∆BAD=,CQS∆BAD=

ʌSinZ∙B4C=2×ɔʒɪ×=ʒɪ,coszMC=2×(ʒ^)2—1=:，

ɔɔɔɔɔ

「∕2ττzd4z,λ(lʌκz1,sz2∖Γ22^6-1

・•・cosC=COS(―一∆BAQ=(--)×-+—×ʒ-=--—•

ɔ乙ɔ乙ɔQ

故答案为：空勺

在三角形力BC中，由正弦定理可得SinNBaD,利用同角三角函数的基本关系可得CoSN84D,利用

二倍角公式可求SinNBAC,COSNBAC的值，即可得出答案.

本题考查两角和差的三角函数和正弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于

中档题.

222

∏rAΛ*e⅛x1Æ/Jsin2a-cosa2sinacosa-cosa2cota-cota

,【介:茶】加牛：V------------------=--------；--------O-----=-------?----：—'

COSLacos2a-sinerCota-I

XvCOta=ɪ,

.sin2a-cos2a_2×g-(ʒ)_3

"cos2a(i)2-i8'

【解析】利用倍角公式及同角三角函数基本关系中的商的关系将目标式转化为用Cota表示，然后

代入Cota的值计算即可.

本题考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于

基础题.

sin(2ττ+θ)tan(0-τr)tan(^+θ)

18.【答案】(1)解:

cos(ɪ-θ)cot(3π-θ)

_sinθtanθ∖-cotθ')

=sin6∙≡⅛⅛~

sιn(3π-0)

Sinθ_Q

=.Q—CoSe=tanθ.

sm@淅

(2)证明：右边"MG+今=就I

0s2

(COSM+si畤)(cos.+sirφ

cos2-sin2⅞

上包≡=左边.

1+sinx

【解析】(1)利用诱导公式化简即可；

(2)从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可.

本题考查诱导公式的应用，三角函数化简与证明，是基础题.

19.【答案】解：如图所示，过点B作BDL4C于D,

贝此BoC=乙ADB=90°,

o

根据题意有，Z-ACB=60,AQBQ=AB=340(mm),CBo=CB=85(mm),

所以CAO=AOBo+CBO=340+85=425(mm),

在^BDC中，CosZ.ACB=COS60°=骼=；,SinNACB=sin60o="=

beLBC2

所以Z)C=FC×ɪ=y(mm),BD=BC×?-*「(mm)，

在直角A4BD中，由勾股定理得，AD=√AB2-BD2=J3402-

所以4。=85；,I(mm)>

所以4C=AD+DC=8。+8;厂他(nun),

85+8

所以Λ40=So-AC=425-f^

所以λ4O=竺季亘(Jmn),

因为V百≈7.810.

765-85×7.810

所以440=50.56(mm).

2

故活塞从4)移动到A的距离瓜川约为50.56τmn∙

【解析】在AABC中，作垂线构造直角三角形，利用勾股定理，依次求出DC,BD,AD的长，然

后求出AC的长,再利用IAOAI=I4oC∣-∣4C∣,求求友川的值.

本题主要考查了三角函数的实际应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)α∈ζ,π∖β∈(一1,0),

q2

y

：•2a—βE(τrl-7r),又Sin(2α—β)=->O9

・∙・2a—βE(2τr,∣τr),

I------------------4/----------ς

・•・cos(2α-S)=7ɪ-sin2(2α-β)-『cosβ=√1—sin2^?=—,

4531256

・•・cos2a=cos(2α—/?+)?)=cos(2α—β)cosβ—sin(2α—β)ysinβ=-×——z×(―=77；

ɔJLɔɔɪɔθɔ

cos2a-sin2al-tan2a56

(2)由(1)得COS2[=cos2α—sin2a=

cos2cr÷sinal+tanza65

解得tαπα=—,或CGIQ=ɪ,又Q∈(y,π),

ɪ1ɪɪ乙

3

・•・tana=——

【解析】(1)先求出cos(2α-/7),cosβ1然后利用两角差的余弦公式计算cos2α=cos(2α-/7+/?)

即可；

(2)利用倍角公式及同角三角函数的基本关系将cos2α转化为用tαna来表示，然后解方程即可.

本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题.

21.【答案】解：⑴：A点的纵坐标为看B点的横坐标为|,

∙∙∙sina=ɪ,α为锐角，则CoSa=ɪj,

34

cosβ=ʒ,sinβ=ξ,

则