2023年福建省高中学业水平合格性考试数学试卷及答案解析

2023年福建省高中学业水平合格性考试数学试卷

一、选择题。（本大题有15小题，每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题意）

1.(3分)已知集合A={3},B=[i,2,3},则AnB=()

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D.φ

2.（3分）如图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（)

T

3

±

IEttBMMH

A.1B.2C.3D.√10

3.(3分)若三个数1,3,〃成等比数列，则实数〃=（)

A.1B.3C.5D.9

4.(3分)一组数据3,4,4,4,5,6的众数为（）

A.3B.4C.5D.6

5.（3分）如图,在正方形上随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为（）

113

A.-B.-C.D.1

424

6.（3分）函数y=cosx的最小正周期为（)

π3π

A.-B.πC.D.2π

22

（分）函数的定义域为（

7.3y=£)

A.(-8,2)B.(2,+8)

C.(-∞,2)U(2,+8)D.R

8.（3分）不等式2x+y-4W0表示的平面区域是（)

9.（3分）已知直线/1：y=x-2,/2：y=kx,若八〃/2,则实数A=（）

A.~2B.-1C.OD.1

（分）化筒嬴+后一诵=（

10.3)

A.MPB.NQC.MQD.PM

11.（3分）不等式（x÷2）（X-3）VO的解集是（)

A.{x∖x<-2^tx>3]B.{x∖-2<x<3}

C.(—ɪ≤xD.{x∖xV—2或x>W}

12.(3分)化简tan(π+α)=()

A.sinαB∙cosaC.-sinaD.tana

13.（3分）下列函数中，在（0,+8）上单调递减的是（）

2

A.y=x-3B∙J=-C.y=x2D.y=2x

14.（3分）已知〃=4°S,⅛=42,C=IOg40.5,则。，b,C的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

15.（3分）函数y=F'W<2,的图象大致为（）

{log2∖x∖>IXI≥2

二、填空题。（本大题有5小题，每小题3分，共15分）

16.（3分）已知向量ɑ=（0.2）.则2α=.

17.（3分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为-4,则输出相应的

y的值是.

18∙(3分)函数/(x)=x2+x的零点个数为.

19.(3分)在aABC中，AB=]9BC=2,8=60°,则AC=.

20.(3分)函数/(x)=x+*(x>0)的最小值为.

三、解答题。(本大题有5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21.(6分)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与X轴的非负半轴重合，在a的终边

上任取点P(X,y),它与原点的距离r=JX2+y2X),定义：sina=m，cosa=擀，tana=§

(XW0).如图，P(√2,√2)为角a终边上一点.

(1)求Sina,CoSa的值;

(2)求Sin(a+?)的值.

4

22.(8分)如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABCC是矩形，PO_L平面ABCz),且AD=3,

PD=CD=I.

(1)求四棱锥P-ABCD的体积；

(2)若E,尸分别是棱PC,AB的中点，则E尸与平面南。的位置关系是,在下面

三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由.

①EFU平面PAD-,

②EF〃平面PAD；

③EF与平面网。相交.

23.（8分）如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排

都比前一排多2个座位，共有10排座位.

（1）求第六排的座位数；

（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前

后排要错位就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？

（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，

就可保证安排的参会人数最多）

×××××××××××××

×××××××××××

×××××××××

主席台

24.（8分）已知圆C的方程为（X-2）2+（厂I）2=5.

（1）写出圆心C的坐标与半径长：

（2）若直线/过点尸（0,1）,试判断与圆C的位置关系，并说明理由.

25.（10分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次

试验，得到零件数H（单位：件）与加工时间V（单位：小时）的部分数据，整理如下

表：

i12345合计

Xi1020X34050150

yi626875A89375

根据表中的数据：

（1）求X3和*的值；

（2）画出散点图;

（3）求回归方程y=bx+α;并预测，加工100件零件所需要的时间是多少？

附：①符号“Z”表示“求和”；

②对于一组数据（xι,yι）,（x2,”），....，（x∕o）力），其回归方程y=bx+Q的斜率和

截距的最小二乘估计分别为b=邛=1XLnq,a=y-bx.（参考数据ELx?5500：,

∑%xf-nx

∑f=ιχiyi=11920）

2023年福建省高中学业水平合格性考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（本大题有15小题，每小题3分，共45分。每小题只有一个选项符合题意）

1.（3分）已知集合A={3},B={l,2,3},则A∩3=（）

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D.φ

【解答】解：集合A={3},B={l,2,3）,

则A∩3={3}∙

故选：C.

2.（3分）如图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（）

T

J

i

C.3D.√10

【解答】解：根据题中三视图可得，圆锥底面半径为1,

故选：A.

3.（3分）若三个数1,3,。成等比数列，则实数。=（）

A.1B.3C.5D.9

【解答】解：根据题意，若三个数1，3,。成等比数列，则lXα=32=9,即。=9；

故选：D.

4.（3分）一组数据3,4,4,4,5,6的众数为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：一组数据3,4,4,4,5,6的众数为4.

故选：B.

5.（3分）如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）

【解答】解：根据几何概型可知，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概

率为了，

故选：A.

6.（3分）函数y=cosx的最小正周期为（）

π3π

A.-B.πC.—D.2π

22

【解答】解：函数y=cosx的最小正周期为7=2π,

故选：D.

7.(3分)函数y=当的定义域为()

A.(-∞,2)B.(2,+∞)

C.(-∞,2)U(2,+8)D.R

【解答】解：由题意得：χ-2≠0,解得x≠2,

故函数的定义域是（-8,2）IJ（2,+8）,

故选：C.

8.（3分）不等式2x+y-4W0表示的平面区域是（)

C.

【解答】解：根据线性规划的知识可得，考虑代（0,0）进行检验，代入得-4W0,

不等式2x+y-4≤0表示的平面区域包括原点，且直线2r+y-4=0经过第一、二、四象

限.

故选：A.

9.（3分）已知直线/1：y=x-2,Iizy=kx,若人〃/2,则实数k=（）

A.-2B.-IC.0D.1

【解答】解：已知直线/1：y=χ-2,/2：y^kx,若八〃/2,

则两直线的斜率相等，在y轴上的截距显然不相等，

'.k-∖,

故选：D.

10.（3分）化简疝V+介一谈=（）

A.MPB.NQC.MQD.PM

【解答】解：MN+NP-QP=ON-OM+OP-ON-OP+OQ=OQ-OM=MQ.

故选：C.

11.（3分）不等式（x+2）（X-3）<0的解集是（）

A.{小<-2或》>3}B.{x∖-2<Λ<3}

C.{-2VXV可}D.{x∣XV—2或x>g}

【解答】解：不等式（X+2）（x-3）<0对应方程的两根为-2和3,

所以该不等式的解集是{x∣-2<x<3}.

故选：B.

12.（3分）化简tan（π+α）=（）

A.sinaB.cosaC.-sinaD.tana

【解答】解：tan（π+a）=tana,

故选：D.

13.（3分）下列函数中，在（0,+8）上单调递减的是（）

A.y=x-3B.y=C.y=x2D.y=2x

【解答】解：对于A,函数在R上单调递增，

对于3,函数在（0,+°o）上单调递减，

对于C,函数在（0,+8）上单调递增，

对于Q,函数在R上单调递增，

故选：B.

14.（3分）已知α=4°s,⅛=42,c=log4θ.5,则α,b,C的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<⅛<aC.c<cι<bD.a<c<b

【解答】解：∙."=4°5=2,⅛=42=16,C=IOg40.5=

∙∖c<a<h9

故选：C.

15.（3分）函数V=]'㈤<2'的图象大致为（）

{log2∖x∖>IXI≥2

【解答】解：根据题意，设/(χ)=F'|X|<2,,易得/(χ)为偶函数，排除£>，

{log2∖x∖>∣x∣≥2

在区间(-2,2)上，/G)=1,与X轴平行，排除8,

在区间［2,+∞)上，f(x)=IogM,为增函数，排除C,

故选：A.

二、填空题。(本大题有5小题，每小题3分，共15分)

16.(3分)已知向量Z=(0,2),则=(0,4).

【解答】解：向量；=(0,2),则立=(0,4).

故答案为：(0,4).

17.(3分)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的X的值为-4,则输出相应的

y的值是-4.

【解答】解：输入的X的值为-4,

∙.∙χ<0,.∙.y=-4,二输出的y值为-4.

故答案为：-4.

18.(3分)函数/(x)=x2+x的零点个数为2.

【解答】解：令/(x)=x2+x=0得，X=O或X=-1；

故函数的零点个数为2.

故答案为：2.

19.(3分)在AABC中，AB=∖,BC=2,8=60°,则4C=_V5_.

【解答】解：由余弦定理得：AC2=12+22-2×1×2×cos60o=3.：.AC=√3.

故答案为旧

20.(3分)函数/(x)=x+∣(x>0)的最小值为2.

【解答】解：∙.”>0,•••函数/(x)=x+4≥2∖H=2,当且仅当x=l时取等号.

ʌ∖ʌ

.∙.函数/(x)=x+；的最小值为2.

故答案为：2.

三、解答题。(本大题有5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

21.(6分)已知角α的顶点与坐标原点。重合，始边与X轴的非负半轴重合，在a的终边

22

上任取点P(x,y),它与原点的距离r=y∕x+y>Q,定义：sina=cosa=ptana='

(x≠0).如图，P(√2,√2)为角a终边上一点.

(1)求Sina,CoSa的值；

(2)求Sin(a÷ξ)的值.

【解答】解：(1)由题意，Sina=-^犷―==q，CoSa=η='2==格

J(√2)2+(√2)22J(√2)2+(√2)22

nTtττV2√2V2√2

(2)sin(a+-τ)—sinacos-+cosasin-=—X—+-X—=1.

4442222

22.(8分)如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是矩形，POJ_平面ABC。，且相>=3,

PD=CD=2.

(1)求四棱锥P-ABC。的体积；

(2)若E,尸分别是棱PC,A8的中点，则EF与平面力。的位置关系是,在下面

三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由.

①EFU平面PAD；

②EF〃平面PAD；

③EF与平面外£＞相交.

【解答】解：（1）因为平面ABCZX

所以V=SXS'矩形ABCDXPD=号X2X3X2=4:

（2）②，理由如下：

取PZ）的中点G,连接GA,GE,

因为E,G分别为PC,PQ的中点，

1

所以GEHDC,GE=WDC,

因为尸为AB的中点，所以4F=*4B,

又矩形ABC。中，AB〃OC,且AB=OC,

所以GE〃4凡且GE=A凡所以四边形AFEG是平行四边形,

所以EF//GA,

又EFC平面B4。，GAU平面以。，

所以EF〃平面PAD.

23.（8分）如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排

都比前一排多2个座位，共有10排座位.

（1）求第六排的座位数；

（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前

后排要错位就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？

（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐,

就可保证安排的参会人数最多）

×××××××××××××

×××××××××××

×××××××××

主席台

【解答】解：（1）设第〃排的座位数为“"，

由题意可得数列｛〃”｝是以9为首项，2为公差的等差数列，

贝Ua,,=9+2（/J-1）=2"+7,

则06=2X6+7=19,

即第六排的座位数为19；

（2）为了保证安排的参会人数最多，设第〃排安排就坐的人数为为，

由题意可得数列｛丛｝是以5为首项，1为公差的等差数列，

贝IJSIO=10×5+X1=95,

即该报告厅里最多可安排95人同时参加会议.

24.（8分）己知圆C的方程为（X-2）2+（y-1）2=5.

（1）写出圆心C的坐标与半径长；

（2）若直线/过点P（0,1）,试判断与圆C的位置关系，并说明理由.

【解答】解：（1）根据题意，圆C的方程为（χ-2）2+（y-1）2=5,

则其圆心的坐标为（2,1）,半径r=√5,

（2）根据题意，点P（0,1）,有（0-2）2+（1-I）2=4<5,

则点P在圆内，故过点P的直线/与圆C一定相交.

25.（10分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5