北京市2022-2023学年八年级上学期末数学期末试卷（含答案）

北京市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1.以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个

别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（）

赈B腐C眉Dj

2.地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微

振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级.lnm=0.000000001m.将0.000000001用科学记数法

表示应为（）

A.1x10-8B.1x10-9C.10x10-1°D.0.1x10-8

3.下列运算正确的是（）

A.a2-a=a2B.（a3）2=a5C.(泌户=a5b5D.(—3a>=—9a3

4.下列长度的三条线段能组成三角形的是（)

A.5,5,5B.5,5,10C.5,6,12D.3,4,7

5.如图，Z1=z2,AB||CD,AB=AC=AE=CD.有下列结论:

①把△ABC沿直线AC翻折180°,可得到AAEC；

②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°,可得到AAEC；

③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得至！4BC.

其中所有符合题意结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.下列各式从左到右的变形正确的是（)

口6_g2na+3ccCL-3_1a2—9a+3

A.B.----=3cD.

a3bba■a2-9-a-3a?-6a+9a—3

7.图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度.在图2的六角尺示意图

中，x的值为（）

图1图2

A.135°B.120°C.112.5°D.112°

8.如图，在中，乙4cB=90。，的度数为a.点P在边3c上（点P不与点B,点C重合），作

。。143于点口，连接P4取P4上一点E,使得EC=EP,连接E。，CE并延长CE交ZB于点F之后，有

EC=ED=EA=EP.若记乙4PC的度数为x,则下列关于4DE尸的表达式正确的是（）

A.Z.DEF=2%—3aB.乙DEF=2aC.乙DEF=2a—xD.乙DEF=180—3a

二'填空题

9.计算：（1）3_2=；（2）（—6）。=.

10.若分式上有意义，则字母x满足的条件是

%-5-------------

11.分解因式：3ni3_12m=.

12.在平面直角坐标系％0y中，71（4,3）关于x轴对称的点的坐标为.

13.小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线

路的一部分）运行时相应所用的时间以比与约少0.09/1,那么可列出关于v的方程

为.

区间段区间近似里程（km）区间设计最高时速（km"）相应所用时间（①

6

北京城市副中心站-香河站47.8tl

7"

香河站-唐山西站87Vt2

14.三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中.现将拼接后的纸片

用图2所示方式重新分割成三个长方形A,B,C.根据图2与图1的关系写出一个等式：

（用含a,b,c,d,e,f的式子表示）.

图1图2

15.如图，在△ABC中，AC=BC,Z.ACB=50°,AD1BC于点D,MC1BC于点C,MC=BC.点E,

点F分别在线段AC上，CF=AE,连接MF,BF,CE.

c

(1)图中与MF相等的线段是(2)当BF+CE取最小值时乙4FB='

三、解答题

16.如图，在四边形ABDC中，^ABD=60%=90。，BC平分NZB。，AB=3,BC=4.

(1)画出A/BC的高CE；(2)△ABC的面积等于

17.计算：(1)4%■(—2x2y)；(2)(3%—1)(%+2)；(3)(16a2be—12cz3)4-4a2

18.已知a=—热求代数式(。+罟)+*的值.19.解方程：|+T

20.如图，A,D两点在BC所在直线同侧，ABLAC,BDLCD,垂足分别为A,D.AC,的交点为

E,AB=DC.求证：BE=CE.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，△4BC,4(2,6),B(5,1),C(3,1).点B与点C关于直线1对

称，直线1与BC,AC的交点分别为点D,E.

(1)求点A至!JBC的距离;(2)连接BE,补全图形并求△ABE的面积;

(3)若位于x轴上方的点P在直线1上，Z.BPC=90°,直接写出点P的坐标.

22.(1)设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线AB及直线4B外一点P.求作：经过点P的直线CD,

使得CDIIAB.

P'

AB

分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示

意图，分析尺规作图思路.

作图思路分析：

利用平行线的判定可将作平行

线转化为作一个角等于已知角.为简

化作图，我们让截线E尸经过点P,

即过点尸任意作一条线E尸交直线

N8于点G,目标：作NEG8的同位

角NEPD现已有该角的顶点尸，角的

一边PE,再作出角的另一边尸即

可得到NE尸。从而得到平行线.

①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；

②在①中用到的判定COII4B的依据是.

(2)已知：如图，在△ABD中，ZBAD=90。，ABAD.求作：凸四边形4BCD,使得BC=AB,且小

4C0为等腰三角形.

请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法.

23.在AABC中，AB=AC(AB<BC),在上截取BO=48,连接40.在△的外部作N/BE=

^DAC,且BE交的延长线于点E.

(1)作图与探究：

①小明画出图1并猜想AE=AC.同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件:

AABC=°.”

请写出小亮所说的条件；

②小明重新画出图2并猜想AABE三4c.他证明的简要过程如下：

请你判断小明的证明是否正确并说明理由;

小明的证困:

在ZUBE与中，

乙4BE=ND4C,

<AB=AC,

NB/E=4DC,

可得△JBEgAfUC.(ASA)

(2)证明与拓展：

①借助小明画出的图2证明BE=DE-,

②延长至IJF,使0F=4E,连结BF,CF.补全图形，猜想ZBFE与乙4FC的数量关系并加以证明.

24.在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边

形，并记该格点多边形的面积为S,多边形内部的格点数为N,多边形边上的格点数为L.

(1)对于图中的五个凸多边形，补全以下表格:

n

L

多边形面积s内部格点数N边上格点数LN+5

I

II7488

III

IV951010

V15.5111116.5

（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+帝的数量关系可用等式表示为;

（3）已知格点长方形ABCD,设其边长AB=m,BC=n,其中m,n为正整数.请以格点长方形4BCD

为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式.

25.阅读两位同学的探究交流活动过程：

a.小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明.

%+2_%+1______1ZTX

x+3%+2—%+2%+3°

b.小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式:

%+3_%+2__J._____]⑶

%+4%+3—%+3%+4°

%+4_%+3__J._____1

%+5%+4—%+4

%+5_%+4__1_____1玲

%+6%+5—x+5%+6°

c.小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）;

d.小亮对第n个等式进行了证明.

解答下列问题:

（1）第⑤个等式是

（2）第n个等式是

（3）请你证明第n个等式成立.

26.在平面直角坐标系久0y中，对于点P,点M给出如下定义：如果点P与原点。的距离为a,点M与点

P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”.

（1）当Pi（1.5,0）时，

①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为；

②如果点MQ,y）是点Pi的k倍关联点，且满足x=—1.5,3<y<5,那么整数k的最大值

为;

（2）已知在RtAABC中，AABC=90°,Z.ACB=30°,A（b,0），B（b+1,0）.若22（—1,0）,且在△

ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q,求b的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义可得：A、B、C均不能找到一条直线，使得直线两旁的部分

能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意；

D是轴对称图形，符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

2.【答案】B

【解析】【解答】解：0.000000001=1XIO'.

故答案为：B.

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。

3【答案】C

【解析】【解答】解：A、a2-a=a3,故此选项不符合题意；

B、（03）2=。6,故此选项不符合题意；

C、（ab）5=a5b5,故此选项符合题意；

D、（-3a）3=-27a3,故此选项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】利用同底数易的乘法、幕的乘方和积的乘方逐项判断即可。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：A、5,5,5满足三角形三边关系，符合题意；

B、5,5,10因为5+5=10,不满足三角形三边关系，不符合题意；

C、5,6,12因为5+6<12,不满足三角形三边关系，不符合题意；

D、3,4,7因为3+4=7不满足三角形三边关系，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。

5.【答案】A

【解析】【解答】解：'：AB||CD,

：.^ACD=zl,

在△ABC、△NEC和△力。C中.

AB=AE=CD

zl=z2=匕ACD,

.AC=AC=AC

/.AABC=AAEC=AADC(SAS)

把△ABC沿直线4c翻折180。，可得到△4EC,故①符合题意；

把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180。，可得至IUAEC,故②符合题意；

把44DC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，不能得到小ABC.故③不符合题意，

综上所述：正确的结论是①②.

故答案为：A.

【分析】先利用“SAS”证明△4BC三AAEC三△4CC,再利用翻折、平移的性质逐项判断即可。

6.【答案】D

【解析】【解答】解：噂二噌力?，故A不合题意；

a3bbb

增的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B不合题意；

＞故C不合题意;

口2_9Q—3)(a+3)a+3CL-3

a2—9_(a+3)(a3)_a+3

故符合题意;

22a-3,D

a-6a+9(a-3)

故答案为：D.

【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。

7.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意得：135°+x+(尤+9)。+126°+120°+(2%-120)°=(6-2)X180°,

解得：%=112.5°,

故答案为：C.

【分析】利用多边形的内角和公式可得135。+x+(%+9)°+126°+120°+(2%-120)°=(6-2)X

180°,再求出x的值即可。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：TEC=EP

：.^ECP=/-EPC=x

:.乙CEP=180°-2x

"：^APC=NB+乙PAB

：.^PAB=乙APC—CB

/.Z-PAB=x-a

9JED=EA

Z.EAD-Z.EDA=x-a

Z-DEP—Z.EAD+Z-EDA=2x—2a

♦:乙DEF=180°-乙CEP一乙DEP

"DEF=180°-(180°-2%)-(2x-2a)=2a.

故答案为：B.

【分析】先利用角的运算求出"CP=乙EPC=X,乙DEP=^EAD+"DA=2x-2a,再利用平角的性

质可得5T=180°-(180°-2%)一(2%-2a)=2a。

9.【答案】(1)1

(2)1

11

【解析】【解答】解：(1)3-72=j=/

(2)(-6)°=1

故答案为：1.

【分析】(1)利用负指数鬲的性质求解即可；

(2)利用0指数幕的性质求解即可。

10.【答案】％W5

【解析】【解答】解：由题意得，％-5。0,

解得

故答案为：％W5.

【分析】利用分式有意义的条件列出不等式求解即可。

11.【答案】3m(m+2)(m-2)

【解析】【解答】解：3m3-12m

=3m(m2—4)

=3m(m+2)(m—2).

故答案为：37n(TH+2)(m-2).

【分析】先提取公因式3m,再利用平方差公式因式分解即可。

12.【答案】(4,-3)

【解析】【解答】解：•••在平面直角坐标系％0y中，71(4,3),

・•・4(4,3)关于x轴对称的点的坐标为(4,一3),

故答案为：(4,-3).

【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征求解即可。

47.8八八八87

13.［答案］-g—+0.09=v

7V

47.8八八八87

【解析】【解答】解：根据题意得：

-严^-+0.09=—

47.8八八八87

故答案为：-§—+0.09.

7V

47.8,87

【分析】根据“运行时相应所用的时间々比均约少0.09后'直接列出方程方+n°・n°n9=万即可。

14.【答案】a(d—e)+(a+b)(e—/)+(a+b+c)f=ad+be+cf

【解析】【解答】解：根据图1,得图形的面积为ad+be+c/；

图1图2

根据图2,得图形的面积为a(d—e)+(a+b)(e1-f)+(a+b+c)f；

•.•图形的面积相等，

/.a(d—e)+(a+b)(e—/)+(a+b+c)f—ad+be+cf.

故答案为：a(d—e)+(a+b)(e—f)+(a+b+c)f=ad+be+cf.

【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式。

15.【答案】(1)EC

(2)95

【解析】【解答］解：(1)4C=BC,MC=BC,

：.AC=MC,

:力。_LBC于点D,MC工BC于点、C,

：.AD||CM,乙MCB=90°,

^^ACB=50%

：.^MCA=/.CAD=40°,

\*CF=AE,

：.ACMF=ACAE(SAS),

：.MF=CE,

故答案为：CE；

(2)u：MF=CE,

:・BF+CE=BF+MF,

・•・当M/和3尸共线时，和最小，如下图，此时MB与4C交于点尸

VMC=BC,乙BCM=90°

J.Z-CMB=45°,

C.^AF'B=乙CFM=180°-zCMB-Z-MCA=95°

故答案为：95.

【分析】（1）先利用“SAS”证明三4巴4m再利用全等三角形的性质可得MF=CE;

（2）当MF和39共线时，和最小，此时M3与力。交于点再求出NCMB=45。，最后利用角的运算求出

4APB="PM=180°-Z.CMB-^MCA=95。即可。

16•【答案】（1）解：如图所示，高CE即为所求；

(2)3

【解析】【解答]解：(2)YBC平分乙4BD,乙43。=60。,

LCBD=30°,

VBC=4,

：.DC=2,

VZD=90°,CE1BE,

：.EC=2,

,,S4/Bc=2x力BxCE=2x3x2=3,

故答案为：3.

【分析】(1)根据要求作出高即可；

(2)利用三角形的面积公式求解即可。

17.【答案】(1)解:4%•(-2x2y)

=—8x3y

(2)解：(3%-1)(%+2)

=3x2—x+6x—2

—3x2+5%—2

(3)解：(16a2bc—12a3)4a2

=4bc—3a

【解析】【分析】(1)利用单项式乘单项式的计算方法求解即可；

(2)利用多项式乘多项式的计算方法求解即可；

(3)利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。

18.【答案】解：(。+誓9+整

a2+2a4-1a2

=aX^TT

(a+1)[a2

=axa+1

=a(a+1).

当a=—*时，

原式二-1x(-2+D

11

【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。

19.【答案】解：方程两边同时乘以工(％-1),去分母，得2(%-1)+%(%-1)=/,

去括号,得2%-2+——x=/,

移项、合并同类项，解得％=2.

检验：当x=2时，%(%—1)0.

所以，原分式方程的解为％=2.

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

20.【答案】证明：・.・43_L4C,BD1CD,垂足分别为A,D,

・・・乙4=90。，=90°.

/.Z.A=Z.D.

在4DCE*中，

(Z-A—Z-D,

(2LAEB=乙DEC,

IAB=DC,

**•△ABE=△DCE.

：.BE=CE.

【解析】【分析】先利用“AAS”证明"DCE,再利用全等三角形的性质可得BE=CE。

21.【答案】(1)解：作于点F,贝!J乙49。=90。.

由4(一2,6),B(-5,1),C(3,1),

可得4尸二%一y(?=5.

・••点A至的距离为5.

(2)解：补全图形如下：

由力(-2,6),B(-5,1),C(3,1),

可得3c=8,CF=xc-xA=5-

：.AF=CF.

：2C=Z.CAF.

・••在Rt△4CF中，

ZC=180°-Z^=45O.

由题意可知，直线1是线段BC的垂直平分线，DE1BC于点D,BD=CD.

•••£)(-1,1),BE=CE.

."BEC=180°-2zC=90°.

...△BCE为等腰直角三角形，ADEC=毁£=45°.

/.DEC—Z.C.

•'•DE-DC—竿=4

，SA4BE=S^ABC—S^BEC=2xBCxAF一之xBCxDE=4.

(3)(-1,5)

【解析】【解答］解：(3)由(2)可得，Z.BEC=90°,

，点P和点E重合，

'.'DE=4,D(-l,1)

.,.点E的坐标为(一1,5),

.,.点P的坐标为(一1,5).

【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解即可；

（2）先求出ABCE为等腰直角三角形，乙DEC=空/=45。,可得DE=DC=竽=4,再利用割补法求

出SAABE=S^ABLS^BEC=2xBCxAF—BCxDE=4即可；

（3）根据（2）的计算方法求出点P的坐标即可。

22.【答案】（1）解：①作法：a、过点P任意作一条直线EF,交直线4B于点G,b、以点G为圆心，

任意长为半径画弧交直线EF于点M,交直线AB于点N,c、以点P为圆心，GM长为半径画弧交直线EF

于点K,d、以点K为圆心，MN长为半径画弧交上一弧于点Q,e、过点P、Q作直线CD,直线CD即

E,

K

为所求作的直线作图如下：cP/yQ°②同位角相等，两直线平行;

一GX电

F

（2）解：分别以点A、B、D为圆心，长为半径画圆，再作线段的垂直平分线，

由作法可知：AB=BC]=BC2=BC3,

△GA。、4c3、△40C2都是等腰三角形，

作图见图.

则凸四边形4BQ。、ABC2D.4BC3。为所求作的凸四边形.

【解析】【解答]解：（1）②由①作法可知：Z-EGB=乙EPD,

CDII4B（同位角相等，两直线平行），

故答案为：同位角相等，两直线平行；

【分析】（1）①过点P任意作一条直线EF,交直线AB于点G,以点P为顶点，根据作一个角等于已知

角的作法，即可作得；

②根据作法，由平行线的判定定理，即可解答；

（2）分别以点A、B、D为圆心，4B长为半径画圆，再作线段ZD的垂直平分线，根据交点即可求得。

23.【答案】（1）解：①36

②小明的证明错误.他证明时所使用的△£＞相中的三个条件AC,乙4DC”不是“两角和它们的夹

边”的关系，不能使用“AS7T来证明；

（2）解：①证明：如图.

*：AB=AC,

z.3=zC.

VZ-DBE=zl+z3,z4=z_2+乙C,=z2,

"DBE=z4.

：.BE=DE.

②补全图形见图.

乙BFE=^AFC.

证明：作8G1EF于点G,如图.

U：AE=DF,

J.AE+AD=DF+AD,即=

〈BE=DE,

：.BE=AF.

(BE=AF

在△力BE与△CAP中，zl=z.2,

BA=AC

：.AABE=△CAF(SAS).

AZE=Z5.①

♦：BA=BD,BG1EF于点G,

：.DG=AG.

\'DF=AE,

：.DG+DF=AG+AE,即尸G=EG.

又・・・3G_LEF于点G,

：.BE=BF.

Z.Z6=②

由①②得乙6二45,BPzBFE=^AFC.

【解析】【解答］解：(1)①增加乙48c=36°,

*：AB=AC,

：.^ABC=zc=36°,

■:BD=AB,

i

，匕BAD=Z.BDA=1(180°-36°)=72°,

：.^DAC=72°-36°=36°,

C.Z.ABE=Z.DAC=36°,

：.^ABE=Z.ABC=36°,

:•乙BAC=Z.BAE=180°-2x36°=108°,

9CAB=AB,

C.^ABCABE(ASA),

：.AC=AE,

故增力口乙4BC=36。时，AE=AC成立，

故答案为：36；

【分析】(1)利用全等三角形的判定方法求解即可；

(2)①利用角的运算求出4D3E=44,即可得到3E=DE；

②利用全等三角形的判定方法可得△力BEW2\C4R(S力S),可得乙£二45,再求出匕6=4以证出△6=

Z5,即可得至！=乙4尸C。

24.【答案】（1）多边形I的面积为：!x3x4=6,

多边形III的面积分成一个三角形与一个梯形计算为：/X2X4+*x(1+2)X1=5.5,

补全表格如下:

L

多边形面积s内部格点数N边上格点数LN、

乙

I6387

II7488

III5.5296.5

IV951010

V15.5111116.5

(2)S=N+]1

(3)证明：格点长方形2BCD内部的格点数N=(m—l)(n—1),

边上的格点数L=2(m+1)+2(n-1)=2(m+n).

L2(m+n)

—1=(m—l)(n—1)+-1

乙2

=[mn—(m+n)+1]+(m+n)—1=mn.

•.•格点长方形4BCD的面积S=mn,

格点长方形的面积S=N+>1.

【解析】【解答】解：(2)根据(1)中结果可得二者数量关系表示为：S=N+^-l.

故答案为：S=N+^―1;

【分析】(1)根据图形填空表格即可;

(2)根据表格中数据可得S=N+彳-1；

(3)先求出N+寺-1=(m—l)(n—1)+%竽21—1=[nm—(m+也)+1]+(m+H)-1=nm,再结

合5=河，可得S=N+A1。

25.【答案】⑴第-索1______1_

%+6%+7

(2)一+几+1_/+n_]]

%+n+2%+n+l-x+n+1x+n+2

(3)