数学期望在经济决策中的作用

数学期望在经济决策中的应用摘要数学期望是研究随机变量总体取值平均水平的重要数字特征,经济生活中的许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决,是人们做出经济决策的重要依据.第一章主要介绍数学期望的定义,包括离散型随机变量、连续型随机变量和随机变量函数三种期望.第二章对于数学期望在经济决策中的作用方式和方法进行介绍.第三章介绍数学期望在单级决策中的应用,通过几个实例将数学期望的应用方法具体化.第四章对于非简单单级决策,即需要多级决策的运用问题进行举例介绍.关键词数学期望;经济决策;期望值决策;利润最大.TheApplicationofMathematicalexpectationoftheroleineconomicdecision-makingAbstractThemathematicalexpectationofasignificantnumberistheaverageoftheoverallvalueoftherandomvariablefeatures,manyoftheproblemsofeconomiclifecanbedirectorindirectuseofthemathematicalexpectations,isanimportantbasisforpeopletomakeeconomicdecisions.Thefirstchapterintroducesmathematicaldefinitionofexpectations,includingdiscreterandomvariables,continuousrandomvariablesandrandomvariablefunction.ChapterIIdescribedthewaysandmeansofthemathematicalexpectationoftheroleineconomicdecision-making.Thethirdchapterisdevotedtothemathematicalexpectationofthesingle-stagedecision-making,throughseveralexamplesofapplicationofthemathematicalexpectationof.ChapterIVisnon-simplesingle-stagedecision-makingrequiretheuseofmulti-leveldecision-makingissuesandprovideexamples.KeywordsMathematicalexpectation;economicdecision-making;expectationsofdecision-making;themostprofitable.目录引言 11数学期望的定义 21.1离散型随机变量的期望 21.2连续型随机变量的数学期望 21.3随机变量函数的数学期望 22经济决策分析 32.1经济决策的定义 32.2决策问题的三要素 32.3期望值决策法选择方案的根本步骤 32.4经济决策的根本公理 33数学期望在单级决策中的运用 53.1最正确进货量问题 53.2利润最大问题 63.3委托——代理问题 73.4超市抽奖问题 83.5资金投资问题 93.6决定生产批量问题 103.7减少工作量问题 114数学期望在多级决策中的运用 13小结 16参考文献 17致谢 18引言概率论是一门研究事情发生的可能性的学问,但是最初概率论的起源与赌博问题有关.16世纪,意大利的学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题.17世纪中叶,法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏,游戏规那么是玩家连续掷4次骰子,如果其中没有6点出现,玩家赢,如果出现一次6点,那么庄家〔相当于现在的赌场〕赢.按照这一游戏规那么,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩家大局部时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象.随着18、19世纪科学的开展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与时机游戏之间有某种相似性,从而由时机游戏起源的概率论被应用到这些领域中;同时这也大大推动了概率论本身的开展.使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利,他建立了概率论中第一个极限定理,即伯努利大数定律,说明了事件的频率稳定于它的概率.随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个根本极限定理〔中心极限定理〕的原始形式.拉普拉斯在系统总结前人工作的根底上写出了《分析的概率理论》,明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的分析工具,将概率论推向一个新的开展阶段.19世纪末,俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式,科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.20世纪初受物理学的刺激,人们开始研究随机过程.这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的奉献.虽然概率论最早产生于17世纪,然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速开展,在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性,例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学,经济学以及几乎所有的工程学等领域.概率论作为从数量上研究随机现象统计规律性的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性．随着经济社会的不断开展,竞争越来越剧烈,企业所面临的风险是越来越大,为了在这残酷的竞争中能立于不败之地,必须的降低风险,降低本钱,减少损失,获取较高收益.从而决策者们必须采用科学的方法来做出正确的经济决策.然而现实的经济社会是多面性和复杂性的有太多的不确定性因素,比方外界因素,管理者们的主观因素等.而数学期望正好能综合这些因素从中筛选出最优的方案.1数学期望的定义1.1离散型随机变量的期望设离散型随机变量的分布律为,假设级数绝对收敛,那么称的值为的数学期望〔或均值〕,记作,即.1.2连续型随机变量的数学期望设为连续型随机变量,其概率密度为,假设绝对收敛,称为的数学期望〔或均值〕,记作,即1.3随机变量函数的数学期望设是随机变量,是函数,是连续实函数.当离散型随机变量的分布律为,当级数绝对收敛,随机变量的数学期望为当为连续型随机变量,其概率密度为,假设绝对收敛,随机变量的数学期望为2经济决策分析2.1经济决策的定义经济决策是指经济管理部门或企业为了到达某种特定的目标,在经济调查、经济预测和经济开展、管理活动等规律性认识的根底上,运用科学的方法,在几种可供选择的行动方案中,选择一个令人满意的方案并予以实施.2.2决策问题的三要素〔1〕状态集：把决策的对象称为一个系统,系统所处的不同情况称为状态.将其数量化后得到状态变量.所有状态构成的集合称为状态集,记为:,其中是第种状态的状态变量;表示各种状态出现的概率,其中表示第种状态发生的概率.〔2〕决策集：为到达某种目的而选择的行为方案称为方案;将其数量化后称为决策变量,记为决策变量的集合称为决策集,记为.〔3〕效益函数：定义在上的一个二元函数,他表示状态出现时,决策者采取方案得到的收益或损益值,即称为效益.对所有的状态和所有可能的方案所对应效益的全体构成的集合称为效益函数,记为.对于实际问题,如果断策的三要素确定了,那么相应的决策模型也就确定了,在这里记为.2.3期望值决策法选择方案的根本步骤〔1〕在确定决策目标的根底上,设计各种可行的备选方案;〔2〕分析判断各种可行的备选方案实施后可能遇到的决策者无法控制的自然状态,并预测各种自然状态可能出现的概率;〔3〕估计、预测各种方案在各种不同的自然状态下可能取得的收益值〔或损失值〕;〔4〕根据以上数据列出收益或损失矩阵表;〔5〕以收益或损失矩阵表为依据,分别计算各方案的期望收益值或期望损失值,并根据收益期望值或期望损失值选择最优方案.2.4经济决策的根本公理〔1〕方案之间的优劣是可以比拟的,且比拟结果不能相互矛盾;〔2〕各被选方案应有独立存在的价值.假设其中有一方案在各方面均显著劣于另一方案,那么这一方案就可以被第二方案所替代,即其没有存在的价值,应从被选方案中删除;〔3〕分析方案时只有不同的结果才有比拟.假设多个方案某一方面均是相同的,那么在进行比拟时这一方面那么可以不用比拟;〔4〕主观概率与方案结果之间不存在联系.决策者估计某种状态出现的主观概率不受方案结果的影响,两者是相互独立的,对自然状态出现的可能性大小的主观概率估计只与决策者主观上对自然状态开展趋势估计的乐观程度有关;〔5〕效用的等同性及替换性.然而由于心理、环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不能保证完全遵循以上公理.3数学期望在单级决策中的运用经济决策是指企业以及个人在确定行动政策或方案以及选择实施这些政策或方案的有效方法时所进行的一系列活动.经济决策类型按其影响范围分为宏观决策与微观决策.宏观经济决策是指对国民经济和社会的开展目标、战略重点、战略步骤、战略措施等重大经济问题所做的决定或选择.宏观经济决策是国民经济最高层次的决策.微观决策是指对带有局部性的某一具体问题的决策.微观决策包括企业根据市场确定产量,进行人、财、物的合理分配;消费者根据自己的有限收入决定其对各种商品的需求量,我们在这里研究数学期望在微观决策中的作用.事物的进展情况和信息往往受随机因素的影响,使得决策带有风险性.因此,在实际问题中为了最大限度地降低风险,人们常把数学期望作为决策参考的重要依据.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,正是因为它具备这样的特点,使得数学期望能够从最大程度上刻画、反映出各种随机因素的影响,从而成为风险决策的重要数字特征.下面举几个例子来说明.3.1最正确进货量问题商场要进某种商品,作为商场而言,必定要考虑准备多少货源,既能满足市场需求,又不会产生积压,使资金使用最正确、收益最优.例1设某一超市经销的某种商品,每周的需求量是在10至30范围内等可能取值,该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值〔每周只在周前进一次货〕,超市每销售一单位的商品可获利500元,假设供大于求,那么削价处理,每处理一单位商品亏损100元;假设供不应求,可从外单位调拨,此时一单位商品可获利300元,试测算进货量多少时,超市可获得最正确利润?并求出最大利润的期望值.解由于该商品需求量(销售量)是一个随机变量,它在区间上均匀分布,而销售利润值也是随机变量,它是的函数,称为随机变量的函数.因此,本问题的解算过程是,先确认与的函数关系,再求出y的期望,最后利用极值方法求出极大值点及最大值.先假设每周的进货量为,那么利润的数学期望为3.2利润最大问题下面这个例子是重庆两路的百乐自助烤吧老板经过多年的经验得出的相关数据：例2百乐自助烧烤吧每天腌制牛肉的多少问题,由于牛肉不易于保存,今晚腌制的明天必须卖完,如有剩余就会变质不能食用.每斤牛肉进价17元,能卖到60元.由以前的经验可知每天卖5斤的概率是0.2,卖10斤的概率0.4,卖15斤的概率0.3,卖20斤的概率0.1.问百乐烤吧每天腌制多少斤牛肉能获得最大利润.解第一步：由题意我们获得了四个备选方案：1、每天腌制5斤;2、每天腌制10斤;3、每天腌制15斤;4、每天腌制20斤;第二步：由于天气、工作日、周末、人们消费意识等因素使得每天卖出的牛肉是不定的,由以往经验可以获知每天卖5斤、10斤、15斤、20斤的概率分别为：0.2、0.4、0.3、0.1;分别求出四个方案的预期收益值.表1预期方案收益值表自然状态5斤10斤15斤20斤概率0.20.40.30.1腌制5斤215元215元215元215元方案腌制10斤方案130元430元430元430元腌制15斤45元345元645元645元腌制20斤-40元260元560元860元第三步：由以上收益表可以求得个方案的期望收益值：第四步：从期望值计算结果可以看出每天腌制15斤时收益最大,即为最优行动方案.3.3委托——代理问题在经济生活中．委托——代理是非常普遍的．例3例如老板和员工、股东和经理等等,老板希望在给员工支付工资的同时确保员工能恪尽职守地工作,而员工那么希望在拿到薪酬的同时尽量少工作,那么,应采取怎样的策略来确保两方面的平衡呢？我们可以用双方利润的数学期望来分析这一问题.首先,如果不考虑外界因素的影响,老板的利润会随着员工的努力程度而增加;另一方面如果员工的努力程度不变,老板的利润也会受到外界因素的影响.简单综合为运气好和运气差.假设这两方面的影响可概括如下.表2老板的利润表〔单位万元)运气差运气好员工努力工作2040员工不努力工作1020由上表数据知．当利润为最小(10万)和最大(40万)时．老板可确定员工是否努力工作.在其他情况下无法确定.因此,员工可能会偷懒.另一方面,员工工作只是为了工资收入,努力工作会增加他的劳动本钱,简单起见,记其努力工作的劳动本钱为10万元而不努力工作的劳动本钱为0万元.因此,对于老板来说最有利的结果当然是员工努力工作．这是因为老板的期望利润为：当员工努力工作时万,当员工不努力工作时万.那么如何能保证员工能够努力工作呢?我们可以考虑不同的报酬形式:固定工资12万元,对员工的努力作出奖励,假设老板可制定报酬方案如下：假设利润不超过20万,工资为0,假设利润到达40万,工资为24万,分享利润.假设老板可制定另一报酬方案如下：当利润少于18万时,工资为0.当利润高于18万时,超过局部作为工资奖励给员工：在这三种报酬形势下,我们分别考虑老板和员工双方的利益.第一种情况员工无论努力与否,工资均为12万．但假设努力工作会增加劳动本钱10万元,因此员工一定选择不努力工作.对于老板而言这种情况下得到的净利润只能为万,而员工努力工作时老板可获得的利润收入可以高达万.因此．固定工资必然会导致效率低下．同时,期望利润也很低.第二种情况：对员工而言,当努力工作时．期望工资收入为12万减去劳动本钱1万．净收入为2万.而如果不努力工作．工资只能为0.所以员工一定会选择努力工作.在这种情况下,老板的期望利润为万,较之第一种情况大为增加.第三种情况相对于员工来说,当员工努力工作时.此时员工期望获得的工资收入为：万,减去劳动本钱10万,净收入为2万.而如果不努力工作．期望工资收入为万,没有劳动本钱．净收入为1万.所以员工也会选择努力工作.在这种情况下．老板的期望利润总可以确保为18万,较之第一种情况也是非常有利的.由此可知．在这种委托——代理关系中引进一定的鼓励机制,委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中,有利于解决双方的矛盾,且可以使自己的利益最大化.3.4超市抽奖问题例4某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理,超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品.纸箱中装有大小相同的20个球,10个10分,10个5分,从中摸出10个球,摸出的10个球的分数之和即为中奖分数,获奖如下：一等奖100分,冰柜一个,价值2500元;二等奖50分,电视机一个,价值1000元;三等奖95分,洗发精8瓶,价值178元;四等奖55分,洗发精4瓶,价值88元;五等奖60分,洗发精2瓶,价值44元;六等奖65分,牙膏一盒,价值8元;七等奖70分,洗衣粉一袋,价值5元;八等奖85分,香皂一块,价值3元;九等奖90分,牙刷一把,价值2元;十等奖75分与80分为优惠奖,仅收本钱价22元,将获得洗发精一瓶;解外表上看整个活动对顾客都是有利的,一等奖到就等奖都是白得的,只有十等奖收取一点本钱价.但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的时机吗？用以上方法分析一下并求得其期望值真相就可大白了.摸出10个球的分值只有11种情况,用X表示摸奖者获得的奖励金额数,一等奖等分100分,其对应事件,取值为2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22,概率可以类似求出,其概率分布为：表3超市抽奖时间概率分布2500100017688440.0000050.0000050.0005410.0005410.0109685320.0779410.2386930.0779410.010960.582411说明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元钱,而平均每个抽奖者将花10.098元钱来享受这种免费的抽奖.从而可以看出顾客真的就站到大廉价了吗？相反,商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了,而且还为超市大量集聚了人气,不愧为一举多得.此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动,最后一举多得,从中也看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性.3.5资金投资问题例5某投资者有10万元,现有两种投资方案：一是购置股票,二是存人银行获取利息．买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退).假设形势好可获利40000元;假设形势中等可获利10000元;假设形势不好要损失20000元．如果是存人银行,假设年利率为,即可得利息8000元.又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为,和.试问该投资者应选择哪一种投资方案?分析：购置股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关．因此,要确定选择哪一种方案,就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值来进行判断．解由题设可知,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示购置股票表4收益与概率统计表状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益400001000020000概率0.30.50.2表5存入银行收益状态经济形势好经济形势中等经济形势不好收益800080008000概率0．30.50.2从上表可以初步看出,如果购置股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,那么采取存人银行的方案比拟好下面通过计算加以分析．如果购置股票,其收益的期望值=40000×0.3+10000×0.5+(-20000)×0.2=13000(元);如果存人银行,其收益的期望值=8000×0.3+8000×0.5+8000×0.2=8000(元)．因此,购置股票的收益比存入银行的收益大,按期望收益最大原那么,应选择购置股票．该题是按风险决策中的期望收益最大准那么选择方案,这种作法有风险存在.3.6决定生产批量问题决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案,多少产量直接关系到企业本钱的控制,收益的上下,这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题,同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原那么进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比拟,选择收益(或损失)最大(最小)的方案.例6某厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量,以便及早做好生产前的各项准备工作.根据以往销售统计资料及市场调查和预测得知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为0.3、0.5和0.2,假设按大、中、小三种不同生产批量投产,今后5年不同销售状态下的益损值如下表所示：试作出分析,以确定最正确生产批量.表6生产方案决策问题损益表行动方案销路好销路一般销路差0.30.50.2大批量生产益损2014-2中批量生产益损121712小批量生产益损81010解比拟期望益损法是常用的决策方法之一,下面算出每一方案的期望益损：比和均大,所以认为选择中批量生产方案为优.3.7减少工作量问题例7某商场对员工(人)进行体检．其中普查某种疾病需要逐个验血,一般来说,假设血样呈阳性,那么有此种疾病,呈阴性那么无此疾病逐个验血需要次,假设很大验血的工作量也很大,为了能减少验血的工作量,有人提出想法：把个人的血样混合后再检验,假设呈阴性那么个人都无此疾病,这时个人只需作一次检验,假设呈阳性,那么对个人再分别检验,这时为弄清谁有此种疾病共需检验次;假设该商场员工中患此疾病的概率为．且各人得此病相互独立．那么此种方法能否减少验血次数？假设能减少．那么能减少多少工作量？解个人的血呈阴性的概率为,因而个人的混合血呈阴性反响的概率为,个人的混合血呈阳性反响的概率为设以个人为一组时,组内每人化验的次数为,那么是一个随机变量,其分布率为表7商场体检化验分辨率分布1-的数学期望为个人平均化验的次数为由此可知,只要选择使那么个人平均需化验的次数小于.当固定时,我们选取使得小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.例如,,,当时,取到最小值.此时得到最好的分组方法.假设,此时以分组,平均只需化验这样平均可以的工作量.4数学期望在多级决策中的运用有些决策问题,当进行决策后又会产生一些新情况,并需要进行新的决策,接着又有一些新情况,又需要进行新的决策.这样决策、情况、决策、情况……构成一个序列,这就成了序列决策.这种情况我们采用决策点,事件点及结果构成的树形图来描绘,用最大收益期望值来作为决策准那么.下面以一个例子来加以说明：例8设有某石油钻探队,在一片估计能出油的荒田钻探,可以先做地震试验,然后决定钻井与否,或不做地震试验,只凭经验决定钻井与否.做地震试验的费用每次3000元,钻井费用为10000元.假设钻井后出油,这井队可收入40000元,假设不出油就没有任何收入.各种情况下估计出油的概率：〔1〕试验的到好的结果为0.6,不好的结果为0.4.〔2〕试验好的结果钻井出油概率为0.85,不出油的概率为0.15.〔3〕试验结果不好的结果钻井出油的概率为0.1,不出油的概率为0.9.〔4〕不试验直接钻井出油的概率为0.55,不出油的概率为0.45.解以上问题属于决策、情况、决策这种决策序列问题.首先建立结构树形图：收入收入[1](2)[2]试验好钻井(1)出油-10000不出油[3](3)钻井不钻井不好0.15出油-100000.850.40.10.9-30000.6不出油0004000040000[4](4)不出油不钻井钻井出油不试验-100000.550.450040000[]表示决策点；〔〕表示事件点；表示收益点；负值表示支付.多级随机决策问题采用逆决策顺序方法求解;第一步,计算事件点〔2〕〔3〕〔4〕的收入期望值将收入期望值标在相应的决策点处,可得简化后的决策图：期望收益期望收益[1][2]试验好钻井(1)-10000[3]钻井不好-100000.4-30000.600340004000[4]钻井不试验-10000022000[]表示决策点；〔〕表示事件点；表示收益点；负值表示支付.第二步,最大收益期望值决策在决策点[2]有：对应的策略为应选策略,即钻井;在决策点[3]有：对应的策略为应选策略,即不钻井;在决策点[4]有：对应的策略为应选策略,即钻井;第三步,在决策图形中保存各决策点的应选方案,把淘汰策略去掉,得到下列图形：[]表示决策点；〔〕表示事件点；表示收益点；负值表示支付[]表示决策点；〔〕表示事件点；表示收益点；负值表示支付.期望收益[1]试验好(1)0.4-30000.601200024000事件点〔1〕的期望值为从而可以看到决策点[1]有两个方案了;做地震试验和不做地震试验,各自的收益期为和12000.有最大期望值所对应的决策为应选决策,即不做地震试验.这个问题最终决策为：不选择做地震试验,直接判断钻井,其收入期望值为12000元.小结本文旨在通过介绍数学期望在现实经济生活中的决策作用和相关实例,希望能在今后的生活中,在经济决策中能起到一定的指导作用.在文章的开始,即第一章和第二章中,对数学期望的定义和经济决策的定义分别作介绍.为接下来的举例中提供相应的理论依据和问题解决步骤.当然,此依据和解决方案是在非特殊状态下实现,即不考虑个人心理因素或者特殊的环境变化下做出的决策,就像在第二章结尾说道的:由于心理环境等多种因素的影响使人们常常处于不理智的状态,因而很多时候不能保证完全遵循公理.在接下来的两章,通过最正确进货,利润最大,委托代理,超市抽奖,资金投资,批量生产,减少工作量,以及类似于石油钻探等单级和多级决策问题进行相应举例说明.这些事例完全取自于现实生活.在现实社会中由于不确定因素太多,加上商业竞争太严重,因此人们在做经济决策时就会相当谨慎,常常会在多个决策中找出最好的一个方案.数