第五章 Wash函数和CRC编码

第五章Walsh函数和CRC编码3/26/20241CDMA系统工程64阶walWalsh泛应用于IS-95系统：前向信道数据与周期Walsh系列相乘（正交扩谱）理论上，不同信道的不同Walsh序列相互正交消除或抑制多址干扰（MAI）实际上，多径信号、其它小区信号异步性引起非正交；导致干扰采用PN序列扩频，依靠处理增益克服干扰反向信道使用Walsh函数作正交调制编码，不用于区分信道介绍Walsh函数性质、生成方法及其译码（IS95未规定）3/26/20242CDMA系统工程5.1Walsh函数定义N阶waWalsh的定义：N个函数的集合，记为{Wj(t);t∈[0,T],j=0,1,2,3…N-1},

Wj(t)值域：｛－１，０，１｝，０为跳跃点取值；对于所有的ｊ，有Wj(０)＝１；在区间[0,T]内，Wj(t)有ｊ次符号变化（过零点）；

Wj(t)或是奇函数或是偶函数（关于［0,T］中的点）；3/26/20243CDMA系统工程参见下图所示函数。验证为８阶Walsh函数：了解Walsh函数的性质，掌握Walsh函数的构造方法3/26/20244CDMA系统工程5.2

Walsh序列性质（对称性，有序性）变换：+1→”0”;-1→”1”;j→二进制数3/26/20245CDMA系统工程Walsh序列对称性（历史）当时，Walsh序列关于点，或者奇对称或者偶对称如16阶Walsh函数中：3/26/20246CDMA系统工程3/26/20247CDMA系统工程用K位二进制数表示Walsh函数下标j,

则：Wj(0)=1→Wj0=0，13→1101，W13→：写出如下序列：０１０１１０１０１０１００１０１3/26/20248CDMA系统工程Walsh函数的有序性（用于译码）：3/26/20249CDMA系统工程3/26/202410CDMA系统工程综上所述，（有序性）归纳如下：Walsh序列关于集合aK奇对称或偶对称；Walsh序列关于集合aK-1(多对称点)具有同样的对称性；同样处理，Walsh序列关于集合a1具有同样的对称性。3/26/202411CDMA系统工程5.3

Walsh函数产生Walsh函数可以用多种方法生成：用莱德马契函数；用哈达玛矩阵；用Walsh函数对称特性。3/26/202412CDMA系统工程5.3.2

用哈达玛矩阵生成Walsh函数哈达玛矩阵是方阵，元素是+1或-1，行之间正交，列之间正交。哈达玛矩阵HN（N为阶，取值为1,2,4t,t为正整数）3/26/202413CDMA系统工程哈达玛矩阵生成原理：Ha×Hb=Hab,若Ha中元素为+1，则用Hb代入；若为-1，则用-Hb代入。若N为２的幂，规定H1=[+1]，则：3/26/202414CDMA系统工程例：构造N=16阶哈达玛矩阵规范形式:3/26/202415CDMA系统工程3/26/202416CDMA系统工程上述哈达玛矩阵第i行用二进制序列表示，如下表所示：3/26/202417CDMA系统工程如果，则所有的哈达玛矩阵的行序列和列序列都是Walsh序列。两者排列转换关系为：3/26/202418CDMA系统工程例：考虑16阶沃尔什序列，找出与W7相对应哈达玛矩阵的行。解：由于X7=(0111),于是可得：3/26/202419CDMA系统工程两种序号的相互转换关系如下表所示：3/26/202420CDMA系统工程两种序号转换关系还可以用矩阵表示如下：注意：IS-95中“64阶Walsh函数”表，是哈达玛序列表3/26/202421CDMA系统工程思考题：

请利用公式a和b，计算IS-95中“64阶Walsh函数”表中前16个哈达玛序列对应的Walsh序列号。3/26/202422CDMA系统工程5.3.3

有限域用于描述序列或编码的代数结构有限域的定义：定义了四则运算的有限元素集合，记为GF(q)，q（元素数）称为阶，满足：１、域对于“加＋”，“乘·”运算封闭；２、域总是包含唯一相加恒等元０和唯一相乘恒等元１，使得对于任意元素∈GF(q)，有：＋０＝，·１＝３、对于任意元素,存在唯一的加法逆元，使得：

对于任意的元素，存在唯一的乘法逆元，使得：

3/26/202423CDMA系统工程逆运算减法（－）和除法（÷）定义如下：４、对于元素，有以下规则：

3/26/202424CDMA系统工程实数集、有理数集是域（不是有限域）实数集内大于或等于零的元素集合及所有整数集合不是域。（为什么？）在GF(q)中，整数元素上的运算一般为模q的加法和乘法

验证：运算封闭+01234001234112340223401334012440123●012340000001012342024133031424043210,1,2,3,4的加法逆元分别为0,4,3,2,11,2,3,4的乘法逆元为1,3,2,4在整数域GF(5)中加法、乘法运算见下表：相加恒等元相乘恒等元3/26/202425CDMA系统工程当q为素数时，GF(q)称为素数域素数域中，一定包含加法恒等元０和乘法恒等元１，使得：对于任何数（p为素数，m为整数），总存在有限域

域特征：一个域中，相乘恒等元累加得到的相加恒等元的最小个数3/26/202426CDMA系统工程如：GF(5)的特征是５，GF(2)的特征是2,的特征是ｐ01001110

最简单的域是GF(2)(m=1,p=2),加、乘运算见下表：

010001013/26/202427CDMA系统工程在符号和中，约定，当,指素数域。当ｍ＞1时，是素数域GF(p)的扩展域3/26/202428CDMA系统工程5.3.4矢量空间在序列和编码的数学表述中，矢量空间起到十分重要的作用。n维欧氏空间上的矢量：有向直线坐标表示定义：群G是一些对象的集合，记为，对这个集合里的元素，规定一个数学运算，记为＊，（或为＋或为·），并且满足以下特性：

封闭性：G在＊运算下是封闭的；即如果a∈G,b∈G,则a＊b也是G中元素。

结合律：对于集合中的任意三个元素a,b,c，满足结合律；即任意的a∈G,

b∈G，c∈G,有（a＊b）＊c=a＊（b＊c）。

恒等元：在集合中存在一个恒等元，对集合中的任意元素a∈G,均有a*(恒等元)＝a成立。

逆元：对于集合中的每一个元素都存在逆元，亦即对于每一个元素a，均可以找到一个逆元，满足a＊(逆元)＝（恒等元）。3/26/202429CDMA系统工程域F上矢量空间V的概念：在一个域F上定义矢量空间V是元素的集合，元素称为矢量，满足下列性质：矢量在矢量加法上构成矢量群；满足分配律：对任意u,v∈V,α，β∈F；有

α(u+v)=αu+αv;(α+β)u=αu+βu

满足结合律：对于任何u∈V；α，β∈F；有

(αβ)u=

α(βu)对于相乘恒等元１∈F，u∈V

，有1u=u

3/26/202430CDMA系统工程n

位二进制数（有序序列，共有个），可以构成GF(2)上的矢量空间，记为Vn,其矢量加法和标量乘法（数乘）定义如下：

3/26/202431CDMA系统工程子空间的概念：Vn的子集S称为子空间，如果集合S中存在全零矢量（0,0,‥,0）集合S中的任何两矢量的和仍在集合S中（封闭性）考虑Vn中的K个矢量，其线性组合为：

如果存在并不全为零标量，使得：则称线性相关；否则线性无关。

3/26/202432CDMA系统工程如果一个矢量空间中的任意矢量都可以由某个集合中的矢量构成，称矢量空间由该集合张成。在任何一个矢量空间或子空间中，至少存在一组线性无关的矢量可以张成该空间；这组矢量称为矢量空间的基,其中矢量个数称为矢量空间的维数。3/26/202433CDMA系统工程矢量空间的矩阵表示考虑线性无关矢量集合：张成16个元素的矢量空间，其中的任意的矢量表示为：G称为生成矩阵，其行矢量是矢量空间的基本矢量。3/26/202434CDMA系统工程5.3.5用基本矢量产生Walsh函数可以证明：阶Walsh序列构成GF(2)上个K维矢量空间

由K个线性无关的基本矢量张成由Walsh序列下标矢量构成K×K单位阵其每一行下标对应的Walsh序列线性无关可以构成生成矩阵。

3/26/202435CDMA系统工程举例：考虑生成N=16阶Walsh序列1、由构成单位矩阵的下标矢量，得到对应的Walsh序列2、构成生成矩阵：3/26/202436CDMA系统工程3、通过矩阵计算得到全部16阶Walsh序列如通过计算得到3/26/202437CDMA系统工程5.4

用于CDMA的正交Walsh函数5.4.1前向链路Walsh函数接收端解扩信息符号通过预先指定的Walsh序列进行相关而加以恢复前向链路（包括导频信道、同步信道以及业务信道）信息符号分别与不同的64阶周期性Walsh序列进行模2和Walsh函数（序列）用作区别信道和标识序列信息与序列同步后：19.2kb/s1符号覆盖64序列4.8kb/s4周期Walsh序列3/26/202438CDMA系统工程其中是数据符号的能量

是一个数据符号周期（即符号率为19.2ksps对应的周期）

表示第个Walsh函数设第个移动用户的第个数据符号为前向链路基带波形

为：3/26/202439CDMA系统工程接收端（移动台i）恢复数据符号原理见下图：移动台的接收机只接收到发送给移动台

的信号，抑制了发给其他移动台的信号，只要接收波形与本地Walsh序列同步3/26/202440CDMA系统工程5.4.2反向链路的Walsh函数编码原理：1、（64，6）编码器以28.8ksps接收交织符号；2、编码器以28.8×64/6=307.2ksps输出Walsh编码后的二进制符号，或者以307.2/64=4.8ksps输出64进制Walsh

编码符号；3、根据编码符号，确定出哈达玛矩阵下标i,通过查表得到哈达玛序列反向链路信道（包括接入信道和业务信道）采用64进制正交调制，（n=64,k=6）分组信道编码器提供6编码符号内相关译码，解调定时3/26/202441CDMA系统工程5.5Walsh函数译码基站接收译码：确定移动台发射Walsh符号方法：相关度量两函数之间的相似程度并进行比较相关计算：标量积或内积，记为<A,B>序列相关：对应分量相乘、累加3/26/202442CDMA系统工程5.5.1相关译码相关定义：设N阶Walsh函数：

其中任意两函数之间相关记为：

序列相关：三种计算方法：3/26/202443CDMA系统工程如果两个函数或序列正交，则相关值为03/26/202444CDMA系统工程译码算法：举例：16阶Walsh函数如表所示：3/26/202445CDMA系统工程3/26/202446CDMA系统工程“最小汉明距离”等效判决注意：汉明距离仅对序列分量属于GF(2)是有效的度量3/26/202447CDMA系统工程纠错问题：3/26/202448CDMA系统工程若则自学快速Walsh变换译码部分（4个“1”）3/26/202449CDMA系统工程5.6IS-95数据帧CDMA系统中，信息彼特是以帧的形式传送前向业务信道帧结构如下图所示：3/26/202450CDMA系统工程对于9.6kbit/s、4.8kbit/s的数据，F为帧质量指示比特，即奇偶校验比特，使用循环码构成3/26/202451CDMA系统工程5.10

帧和消息结构质量指示器帧质量指示器FQI的作用：1、接收包是否有错2、辅助确定接收帧数据速率3/26/202452CDMA系统工程5.10.1前向链路CRC计算9.6kbit/s信息使用12bitFQI，生成多项式为：编码器电路为：编码器为线性循环码（184，172）3/26/202453CDMA系统工程4.8kbit/s信息使用8bitFQI，生成多项式为编码器电路为：3/2