2024届新高考数学一轮复习配套练习 直线与圆锥曲线

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题9.6直线与圆

锥曲线

练基础

1.（2021・四川成都市高三月考（文））已知点K是抛物线x?=4y的焦点，点爲为

抛物线的对称轴与其准线的交点，过K作抛物线的切线，切点为A,若点A恰在以6、入为

焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

C.四史D.V2-1

2

2.（2022•全国高三专题练习）直线4日一4），一-0与拋物线V『交于A、8两点，若|A8|

=4,则弦AB的中点到直线x+g=0的距离等于（）

1179

A.T-B.-C.-D.—

2344

3.（2020•浙江高三月考）如图，已知抛物线6：〉2=4》和圆。2：0一1）2+丁=1，直线

/经过G的焦点尸，自上而下依次交&和G于4B,C,。四点，则A5-C£>的值为

II

A.—B.—C.1D.2

42

4.（2019•天津高考真题（理））已知抛物线必=4%的焦点为F,准线为1.若1与双曲线a-

《=1（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于点力和点8,且=4|OF|（。为原点），则双

曲线的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

5.【多选题】（2021•河北沧州市•高三月考）已知直线l:x=ty+2与抛物线C:V=心交于A,8

两点，若线段AB的中点是〃（见2）,则（）

A.t=-B.m=3

2

C.|A即=8D.点（—2,2）在以A8为直径的圆内

6.（2021•江苏扬州•高三月考）直线y=x-l过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸，且与C交

于4,B两点,则|AB|=.

7.（2022•全国高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线/过抛物线V=4x的焦点F,且

与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线/的倾斜角为60。，则AOAF

的面积为.

8.（2022•全国高三专题练习）抛物线的焦点尸是圆N+y—號=0的圆心.

（1）求该抛物线的标准方程；

（2）直线/的斜率为2,且过抛物线的焦点，若/与抛物线、圆依次交于A、B、C、D,求

|A剧十|CD|.

9.（2020.广西钦州.高二期末（文））已知抛物线9=2/*（〃>0）的顶点为。，焦点坐标

为加•

（1）求抛物线方程；

（2）过点（1,0）且斜率为1的直线/与抛物线交于P，。两点，求线段|P9的值.

10.（2021.江苏扬州.高三月考）在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C：\+1=1（〃>6>0）

ab

的右焦点为尸（1,。），离心率为3.

（I）求椭圆c的标准方程；

（2）若过点F的直线/交C于A,B两点,线段AB的中点为M,分别过4,B作C的切线

4，4,且4与4交于点P，证明：O,P,M三点共线.

练提升

1.【多选题】（2021•山东济南•高三月考）已知直线/过抛物线C:/=_4y的焦点尸，且直线

/与抛物线C交于A8两点，过AB两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G,设

4（七\，以），B（4,%），G（xO,yc）.则下列选项正确的是（）

A.%・%=4

3

B.以线段A3为直径的圆与直线y相离

9

C.当AF=2尸8时，|厶用=5

D.△GAB面积的取值范围为［4,+8）

2.（2019•全国高三月考（文））已知抛物线V=2px（p>0）的焦点为凡直线

/:2x+y—12=0与抛物线交于加川两点，且以线段脉为直径的圆过点E贝ijp=（）

A.1B.2C.4D.6

3.（2020.山西运城.高三月考（理））已知抛物线。：丁=丄％2的焦点为尸，。为坐标原点，

4

点A在抛物线C上，且|A月=2,点尸是抛物线C的准线上的一动点，则|馴+俨。|的最

小值为（）.

A.V13B.2^/13C.3V13D.2娓

4.（2021・重庆北硝区•西南大学附中高三月考）已知鸟分别为双曲线=1的左、右

3

焦点，过心的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记AAf；鸟的内切圆。1的半径为乙，△8冗8

的内切圆。2的半径为弓，圆Q、。2的面积为$、邑，则5+52的取值范围是.

5.（2020.山东青岛.高三开学考试）已知直线/：y=Z（X-1）与抛物线C：/=2px（p>0）

在第一象限的交点为A，/过C的焦点F，|AF|=3,则抛物线的准线方程为；k=

6.（2020・江苏如皋•高二月考）己知F是抛物线y2=2*（p>l）的焦点，N（p,l）,M为

抛物线上任意一点，+冃的最小值为3,则片；若过尸的直线交抛物线

于A、5两点，有A/=2五8，则|A8|=.

2o

7.（2021.天津南开区.南开中学高三月考）设椭圆E：3+卓=1（a>〃>0）的左焦点为尸，

离心率为亜，过点E且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为生亘.

33

（1）求椭圆E的方程；

（2）设A,8分别为椭圆E的左、右顶点，过点尸且斜率为左的直线与椭圆E交于点C,D

52

两点，&ACDB+ADCB=—,求％的值.

8.（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P（xo,4）

到焦点F的距离为5.斜率为2的直线I与抛物线C交于A,B两点.

（1）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；

（2）若4B的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点（M,N位于直线/两侧），当

四边形AMBN为菱形时，求直线/的方程.

22

9.（2019•天津高考真题（文））设椭圆3+专■=l（a＞6＞0）的左焦点为尸，左顶点为A，

上顶点为6.已知、6|OA|=2|OB|（。为原点）.

（I）求椭圆的离心率；

3

（II）设经过点F且斜率为二的直线/与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和

4

直线/相切，圆心C在直线x=4上，且OC〃AP,求椭圆的方程.

10.（2019•全国高三月考（理））如图，己知抛物线》2=4＞，直线丁=区+1交抛物线于43

两点，P是抛物线外一点，连接PAPB分别交地物线于点C。，且8AB.

（1）若％=1,求点P的轨迹方程.

（2）若PC=2C4，且P4平行x轴，求A/XB面积.

练真题

1.（2021•天津高考真题）已知双曲线万＞0）的右焦点与抛物线

y2=2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于4B两点，交双曲线的渐近线

于C、。两点，若|CD|=75|AB|.则双曲线的离心率为（）

A.y/2B.73C.2D.3

22

2.（2020•全国高考真题（理））已知尸为双曲线C:鼻-斗=1（。＞0/＞0）的右焦点，/为

a~b~

C的右顶点，8为。上的点，且跖垂直于x轴.若的斜率为3,则。的离心率为

22

3.（2019•浙江高考真题）已知椭圆工+匕=1的左焦点为尸，点尸在椭圆上且在x轴的

95

上方，若线段P厂的中点在以原点O为圆心，|。冃为半径的圆上，则直线PE的斜率是

4.（2020•全国高考真题（文））已知椭圆C:二+==1（0＜根＜5）的离心率为巫，A，

25m2344

8分别为C的左、右顶点.

(1)求C的方程；

(2)若点P在。上，点。在直线x=6上，且18Phi8Q|,BPLBQ,求qAPQ的面积.

22

5.(2019•江苏高考真题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆cf+1=l(a>6>0)

的焦点为A(-1、0),凡(1,0).过月作x轴的垂线1,在x轴的上方，?与圆E：

(x-l>+y2=4/交于点/,与椭圆C交于点〃连结/£并延长交圆K于点氏连结和交

椭圆。于点后连结母；.已知。£=一.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点少的坐标.

6.(2021•山东高考真题)已知抛物线的顶点是坐标原点。，焦点尸在工轴的正半轴上，。是

抛物线上的点，点。到焦点F的距离为且到y轴的距离是］

O

(1)求抛物线的标准方程；

(2)假设直线I通过点M('1),与抛物线相交于A,8两点，且丄08,求直线I的方程.专

题9.6直线与圆锥曲线

练基础

1.(2021•四川成都市高三月考(文))已知点£是抛物线V=4y的焦点，点玛为

抛物线的对称轴与其准线的交点，过八作抛物线的切线，切点为A,若点A恰在以《、人为

焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()

D

c号『

【答案】B

【分析】

设切线方程为丫="-1,将该直线的方程与抛物线的方程联立，由A=0可求得女的值，设

点日），利用韦达定理求出X；的值，利用双曲线的定义求出2a的值，进而可求得该双

曲线的离心率.

【详解】

抛物线x2=4y的焦点为£（0,1）,易知点,（0,-1）,

设切线方程为丫=依-1,联立/二*',即丁―4日+4=0,

y=kx-\

则厶=16公-16=0,解得九=±1,设点41%,多,由韦达定理可得片=4,

以蜴、人为焦点的双曲线的实轴长为2”，

则2a=卜周一|A周卜=2(72-1),则a=a_l，

因此，该双曲线的离心率为e=Wj=0+l,

故选：B.

2.（2022•全国高三专题练习）直线4fcL4），T=0与拋物线y2=x交于A、B两点，若|AB|

=4,贝lj弦AB的中点到直线x+g=0的距离等于（）

1179

A.—■B.-C.—D.一

2344

【答案】D

【分析】

分析可得直线恒过抛物线的焦点，根据抛物线焦点弦的性质|厶8|=筋+尤2+；=4,可得弦AB

的中点的横坐标是：7，即得解

4

【详解】

直线4fcv—4），一左=0,即y=k（x-；）,

即直线4日一4y—%=0过拋物线y2=x的焦点，,0）.

设AQi,yi）,8a2,”）,

177

则|A8|=XI+X2+1=4,故xi+i2=;,则弦AB的中点的横坐标是:，

224

所以弦A8的中点到直线x+；i=0的距离是：7+：1=9

2424

故选：D

3.(2020•浙江高三月考)如图，已知抛物线。1：产=4%和圆。2：(%-1)2+：/=1,直线

/经过G的焦点F，自上而下依次交G和于儿B,C,。四点，则ARC。的值为

42一

【答案】C

【解析】

因为抛物线£：V=4x的焦点为F(1,O),

又直线/经过C的焦点F,设直线/：y=仪》一1),

-y2=4Ax

由M得公/一(2/+4)》+公=0,

y=k.{x-V)

设A。，y),B(X2,以)，则中2=1

由题意可得：|AB|=|A目一忸目=玉+1—1=玉，

同理

所以ABCD=|AB|-|C£)|-COSO==xtx2-1.

故选C

2

4.(2019•天津高考真题(理))已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1.若I与双曲线v京-

《=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点4和点8,且|4B|=4|OF|(。为原点)，则双

曲线的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】D

【解析】

抛物线必=4x的准线/的方程为x=-1,

双曲线的渐近线方程为y=±£x,

则有4(—1,-今

：

.\AB\=—a,—a=4,b=2a,

.c4a2+b2r=

..e=-a=----a---=73.

故选D.

5.【多选题】(2021•河北沧州市♦高三月考)已知直线/：x="+2与抛物线C:/=趺交于AB

两点，若线段A8的中点是则()

A.t=-B.m=3

2

C.|A却=8D.点(—2,2)在以48为直径的圆内

【答案】AB

【分析】

直线与抛物线方程联立，利用韦达定理和中点坐标可构造方程求得人知A正确；

将中点坐标代入直线方程即可求得〃?，知B正确：

根据直线过抛物线焦点，根据抛物线焦点弦长公式可知C错误；

根据长度关系可确定AP丄3P,由此可确定D错误.

【详解】

对于A,设A(X],yJ,5(^,y2),

(x=ty+2.

由｛2得：>2-8卄-16=0,.•.%+%=8，

[y=8ox

又线段AB的中点为M(m,2),.•.上产=4f=2,解得：f=g,A正确；

对于B,M(相,2)在直线/:x=gy+2上，，〃?=l+2=3,B正确；

对于C,/:x=；y+2过点(2,0),(2,0)为抛物线丫2=81的焦点，

=玉+々+4=g(y+%)+8=10,C错误；

对于D,设尸(一2,2),则|MP|=J(-2-3)2+(2-2『=5,又|4?|=10,

.•.悭4=；[48|,；.僧丄族，二网—2,2)在以厶8为直径的圆上，D错误.

故选：AB.

6.(2021•江苏扬州•高三月考)直线y=x-l过抛物线(7:丁=20圧(0>0)的焦点尸，且与C交

于4,B两点,则|AB|=.

【答案】8

【分析】

由题意，求出。=2,然后联立直线与抛物线方程，由韦达定理及|厶8|=4+/+。即可求

解.

【详解】

解：因为抛物线C:V=2*5>0)的焦点坐标为尸(多°)，

又直线y=x-l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,

所以P=2,抛物线C的方程为y?=4x,

[y=x-\

由<,,,得f_6x+l=0,所以4+4=6,

[y'=4x

所以|厶8|=*4+爲+?=6+2=8.

故答案为：8.

7.(2022•全国高三专题练习)在直角坐标系x0y中，直线/过抛物线V=4x的焦点尸，且

与该抛物线相交于A、B两点，其中点A在x轴上方.若直线/的倾斜角为60。，则AOAF

的面积为.

【答案】E

【分析】

根据焦点坐标和直线的倾斜角得出直线的点斜式方程，然后利用直线和抛物线相交可得出A

点坐标.继而可求出So”.

【详解】

解：由题意得：抛物线交点尸(L0),直线/的倾斜角为60°

.•.%=tan60'=G，直线/的方程为y=G(x-l),即》=4+1

代入抛物线方程V=4x,得/_竽丫_4=0

解得X=26,必=一乎(舍去)

所以4(3,2折，于是可得川y|=gxlx2G=6

故答案为：G

8.(2022•全国高三专题练习)抛物线的焦点F是圆N+屮一4x=0的圆心.

(1)求该抛物线的标准方程；

(2)直线/的斜率为2,且过抛物线的焦点，若/与抛物线、圆依次交于A、B、C、D,求

HB|十|CQ|.

【答案】(1)[=8x；(2)6.

【分析】

(1)由圆的方程写出圆心坐标，进而可得抛物线方程.

(2)由题意知为阴+|C£>|=|A。一|BC1,写出直线/的方程，设户)、0(X2,”)，联立抛物

线求xi+竝、xiX2,即可求|AO|,进而求|A8|+|C£)|.

【详解】

(1)由圆的方程知：圆心坐标为(2,0).故所求的抛物线焦点为(2,0),

•••抛物线的标准方程为V=8x.

(2)如图，\AB\+\CD\^\AD\-\BQ,又18cl=4,只需求出|A£>|即可.

由题意，AO所在直线方程为)，=2(》—2),与抛物线方程V=8x联立得：x2-6x+4=0,

设A(xi,yi),0(X2,”)，则制+及=6,X\X2—4,

...|A£)|=|AF|+|£>Q=(M+2)+(X2+2)=XI+X2+4=6+4=10,

|AB|+|CD|=\AD\-|BQ=6.

9.(2020•广西钦州•高二期末(文))己知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为。，焦点坐标

为I｝，。;

(1)求抛物线方程；

(2)过点(1,0)且斜率为1的直线/与抛物线交于P,。两点，求线段的值.

【答案】(1)y2=2x.(2)2"

【解析】

（1）：丁=2〃x焦点坐标为

.p1

••一=-，p=11,

22

，抛物线的方程为丁=2工.

（2）设直线/方程为％=>+1,设P（x，yJ,Q（w，%），

x=y+\

联立《

y1=2x

消元得y2_2y_2=0,

，A=12>0,乂+必=2,x%=-2,

•••|PQ|=Vi7FN-%|

=Jl+俨.’（弘+必）2_4>卩2

=Jl+『.J⑵2—4.（-2）=276.

•••线段|P0的值为2n.

22

10.（2021•江苏扬州•高三月考）在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C:=+4=l（“>b>0）

a-b-

的右焦点为尸（1,0）,离心率为g.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若过点F的直线/交C于A,B两点,线段A8的中点为M,分别过A,8作C的切线

/1,12,且4与4交于点P,证明：。，P,M三点共线.

【答案】（1）—+^=1:（2）证明见解析.

43

【分析】

（1）根据离心率及焦点求出。即可得椭圆标准方程；

（2）设直线/的方程为：x=my+\,联立方程后结合根与系数的关系计算七即可证

明三点共线.

【详解】

c=1

c1a=2丫2V2

（1）-=-n,r-,椭圆方程为土+匕=1.

a2[b=yj343

a2=b2+c2

（2）由题意知斜率不为0,设直线/的方程为：x=my+l,厶（玉,苗），8仇,*）,M（x0,y0）,

产（毛,见），

由1:二"l+zl工=3（川y2+2,wy+l）+4yZ=12,

[3x+4/=12''

即（3〉+4）/+6wy-9=0.

,v_X+%_-3m_4

23m~4-43〃广+4

,3

,,MM=-W机，

直线4的方程为：乎+券=1①，

直线4的方程为#+邛=1②，

43

②-①n1（y2f）=鹼-％），

y3x.-x.3

=>—=---!----=—m,

X4必一必4

为3

-'■~"=~~m=kop,

占4

•••k0M=k0P,即。，p,M三点共线.

练提升

1.【多选题】（2021•山东济南•高三月考）已知直线/过抛物线C:/=-4y的焦点/，且直线

/与抛物线C交于AB两点，过48两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G,设

A（xA,yA）,B（xB,yB）,G（%,%）.则下列选项正确的是（）

A.力•%=4

3

B.以线段为直径的圆与直线y=；相离

Q

C.当4F=2FB时，|4同=万

D.△G4B面积的取值范围为H+8）

【答案】BCD

【分析】

求出抛物线的焦点及准线，设直线I的方程为y=履-1,与抛物线方程联立，利用韦达定理,

计算可判断A；

利用定义及直线与圆的位置可判断B；由向量共线求出弦长判断C；求岀点G的坐标及

△GAB面积的函数式即可判断作答.

【详解】

抛物线C：/=-4y的焦点尸准线方程为y=l,设直线/的方程为丫=米-1,

2

由卜'「厶」消去y得：x+4fcr-4=0，于是得/+4=-4乂％得=-4,

[x~=-4y

〃・%=[•]=]，A不正确；

以线段AB为直线的圆的圆心(%,%),则为=&1%=蛆二产二2=一2公一1,点

(%,%)到直线)，=；距离d=2^+：,

由抛物线定义得1厶例=|厶用+|8尸|=2-(%+%)=4%2+4,显然4>548],即以线段A8为

3

直径的圆与直线y=]相离，B正确；

当AF=2FB时，有。-4=2(/-0),即X.=-24，而乙+4=一以，xx=-4,于是得二=弓，

ABO

9

|48|=4二+4=_,C正确；

2

由y=求导得y,=一;X,于是得抛物线C在A处切线方程为：y-yA=-^-(x-xA),

即y=_/x+%3

同理，抛物线C在B处切线方程为：y=-^-x+-x-,联立两切线方程解得

x°=3区+*8)=-2女，yc=~^xAxB=\,

点G(-2k,1)到直线/：kx-y-\=O的距离h='奇詈=2的

11-------------m

2222

于是得△G4BGAK=-\AB\h=-(4k+4)-2y/k+1=4(A:+1)>4,当且仅当k=0时

取“=”，

△G48面积的取值范围为[4,”)，D正确.

故选：BCD

2.(2019•全国高三月考(文))已知抛物线丁=2px(p>0)的焦点为五，直线

/:2x+y-12=0与抛物线交于肌"两点，且以线段加，为直径的圆过点凡则°=()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

设M（X，y）,N（w，y2），

y2-2px、

联立，消去X得y2+py—12〃=0,

2x+y-12=0

由韦达定理可得：yxy2=-12p,必+%=一〃

C^i44r

/.x+x==36

]2=3二小.4P24/72

以线段版v为直径的圆的方程为(x—4)(万-9)+()—x)(y—)2)=o,又其过点E

.亡_2（%,+x）+xx+^y=0,

"422l2l2

2/、

;上--“3+12+36-12〃=0,

42(2丿”

**•p=2,

故选：B

3.(2020•山西运城•高三月考(理))已知抛物线。：，=丄x2的焦点为尸，0为坐标原点，

4

点4在抛物线C上，且|A耳=2,点p是抛物线。的准线上的一动点，则|PA|+|PO|的最

小值为().

A.V13B.2>/13C.3713D.276

【答案】A

【解析】

抛物线的准线方程为y=-l,

IA用=2,A到准线的距离为2,故A点纵坐标为1，

把y=1代入抛物线方程可得X=±2.

不妨设A在第一象限，则A(2,l),

点。关于准线y=-l的对称点为用(0,-2),连接AM，

贝|J|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|弘|+|PM|.」

故IPA|+IP。|的最小值为|AM|=故2+32=V13.

故选：A.

4.（2021・重庆北倍区•西南大学附中高三月考）已知耳，鸟分别为双曲线Y-f=1的左、右

3

焦点，过心的直线与双曲线的右支交于AB两点，记鸟的内切圆01的半径为小厶8耳心

的内切圆。2的半径为弓，圆Q、a的面积为，、邑，则5+S2的取值范围是.

【答案】2肛等）

【分析】

首先根据双曲线以及切线性质证明。。2丄尤轴，然后根据三角形相似关系求出弓与4之间的

关系，再根据已知条件求出的取值范围，进而求岀1的取值范围，最后利用函数思

想求出T+娯的取值范围即可求解.

【详解】

2

由双曲线/-二=1的方程可知，实半轴长“=1,虚半轴长方=石，居（c,0）且c=2,

3

设圆Oi与分别切于M,N,E,连接002,如下图所示:

由圆的切线性质可知，IAN冃AM|,|《N|=|KE|,1KMl=|乙E|,

有双曲线定义可知，有用-|A玛|=2a=|4N|一|巴凡|,即|耳目一|1E]=2,

设E（x（,,O）,故Xo+c-（c-x（））=2a,解得，x0=a,

由切线性质可知，与E点坐标都为。，

同理可知，圆。2也与x轴也切于E点，故。02丄x轴，且。1、。2、E三点共线，

又由三角形内切圆的性质可知，0c、分别为N4F/和N8F/的角平分线,

冗

易得，/。的二，

\0,E\\EF2\

从而可得，AO'EF?^O2EF2,故舟=»爲，

因为|EE,|=c-a=l,所以：=—=e=1,4=丄，

1r24

因为双曲线=1的渐近线：y=±gx,所以其倾斜角分别为言和期,

又因为直线AB与双曲线的右支交于A,8两点，

所以直线AB的倾斜角范围为（[名），易得NOF，Ee（£,刍

J363

所以tan/q£E=当照="€（更,有），

\EPiI3

由7+娯+」?，不妨令f={%（；,3）,y=t+-,

r\3t

易知，^=/+1在（4,1）上单调递减，在。,3）上单调递增，

t3

故丫=1+：的最小值为为7=2,又因为/=（，£=3=>=¥，

从而y=r+；在（g,3）上的值域为［2,学）,

所以Y+娯的取值范围为［2,与），

又因为51+邑=灯"+娯），

所以S1+S2的取值范围为2万，等）.

故答案为：2肛^^）一

5.（2020•山东青岛•高三开学考试）已知直线/：y=Z（x-1）与抛物线C：9=2廃（〃>0）

在第一象限的交点为A，/过C的焦点尸，|厶尸|=3,则抛物线的准线方程为；k=

【答案】x=-l2yli

【解析】

易知直线/与x轴的交点为（1,0）,即抛物线的焦点为/（L0）,...准线方程为》=一1,

设4芭,3）,则|A冃=西+5=玉+1=3,玉=2,作AC丄》轴于点C,如图，

则C（2,0）,|R7|=1,：.\AC\=>j32-l2=242,

二直线I的斜率为k=tanZAFC=半=20.

故答案为：x=-l；2夜.

6.（2020.江苏如皋.高二月考）已知产是抛物线丁=2/（〃>1）的焦点，N（p,l）,M为

抛物线上任意一点，+目的最小值为3,则片；若过户的直线交抛物线

于A、5两点，有AF'nZFB，则|厶財=.

9

【答案】2；

2

【解析】

过点M作垂直于抛物线丁=2a（〃>1）的准线I,垂足为点P,

由抛物线的定义可得\MP\=\MF\,

P>1,则12<2〃2,则点N在抛物线内，如下图所示：

|MN|+|M同=|M/V|+財冃，当点p、M、N共线时,|MN|+阿日取得最小值p+-|=3,

解得。=2,

所以，抛物线的标准方程为V=4x,该抛物线的焦点为尸（1,0）,

设点A（Xi，y）、B（x2,y2）,可知直线AB不与“轴重合，设直线的方程为彳=my+1,

x=fny+l.

联立〈2），可得y2-4粧y-4=0,△=16加？+16>0恒成立，

y=4x

由韦达定理得凹+%=4"，乂%=一4，

LILUUUU1zx/\

QAF=2FB，则（1一七,一乂）=2（%2—1，%），”=-2%，

所以，X+>2=一必=4m,可得%，

y%--2y；=-32m2--4,可得//=丄

8

22（2）

因此，岡=Jl+加.旧—y21=Vl+m-\l（yt+y2）-4yty2=4l+m=|.

9

故答案为：2；—.

2

7.(2021•天津南开区•南开中学高三月考)设椭圆E：7V=1(4＞。＞0)的左焦点为尸

离心率为近，过点尸且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为生旦.

33

(1)求椭圆E的方程;

(2)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点，过点B且斜率为左的直线与椭圆E交于点C,D

两点，S.ACDB+ADCB=—,求％的值.

【答案】(1)工+t=1;(2)±2.

32

【分析】

(1)利用椭圆的离心率，和过点尸且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为地，列出方

3

程求解，可得椭圆的方程；

(2)联立直线CD和椭圆方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标公式代入解出k的值.

【详解】

(1)设尸(一(:,0),由£=且，知“=&.过点F且与x轴垂直的直线为X=-C,代入椭

a3

圆方程有号

解得y=土半，于是半=生巨，解得方=夜，又/一°2=从，从而c=l,

22

所以椭圆的方程为»1.

(2)设点C(xi,yi),D(X2,y2),由F(—1，0)得直线CQ的方程为y=©x+1),

y=Z(x+l),

由方程组v2消去y，整理得(2+3产庶+6标x+3公一6=0.

—+—=1

32

求解可得X|+X2=-一"F，X1X2=3k.因为4(_石，0),B,0),

2+3k22+3公

所以AC-OB+A£)，CB=(XI+G，yi>(6—X2,—”)+(x2+6，J2)-(>/3-x\,—yi)

=6-2xiX2—2yly2=6—2XIX2—2R(xi+1)(x2+1)=6—(2+2k2)xiX2—2k2(xt+t)-2N=

/2公+12

6+----------

2+3-

由己知得6+空当="，解得％=±2.

2+3公7

8.(2021•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(xo,4)

到焦点F的距离为5.斜率为2的直线I与抛物线C交于A,B两点.

(1)求抛物线C的标准方程，及抛物线在尸点处的切线方程；

(2)若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点(M,N位于直线/两侧)，当

四边形AM3N为菱形时，求直线/的方程.

【答案】⑴x2=4y；切线方程为2x+y+4=0或2x-y-4=0；(2)y=2x+10.

【分析】

(1)利用抛物线定义，结合已知即可求参数?，写出抛物线标准方程，即可得尸点坐标，

利用导数的几何意义求P点处切线的斜率，即可写出切线方程.

(2)设直线/为y=2x+机，A(x”y),以士,必)，联立抛物线并整理，应用韦达定理求为+当，

王々，再根据中点公式求AB的中点，并写出AB的垂直平分线方程，利用菱形的对称性求N

点坐标，由点在直线上求参数，"，即可得直线/的方程.

【详解】

(1)依题意，设抛物线C：x2=2py(p>0),由P到焦点F的距离为5,

/.P到准线尸卷的距离为5,又P(xo,4),

.♦.由抛物线准线方程得：^=1,即。=2,则抛物线的标准方程为V=4y.

•…%,则点P(:H,4),

•.•y'li=；x(-4)=-2,y'l^4=lx4=2.

•••尸(-4,4)处抛物线切线方程为y-4=-2(x+4),即2x+y+4=0；

P(4,4)处抛物线切线方程为y-4=2(x-4),即2x-y-4=0.

综上，P点处抛物线切线方程为2x+y+4=0或2x-y-4=0.

(2)设直线/的方程为y=2x+m,A(X“M),B(x2,y2),

联立抛物线得：4'，消y得x2-8x-4w=0,A=64+16m>0.

y-2x+m

：.xt+x2=8,xm=-4机，则丐2=4,当&=8+m，即AB的中点为Q(4,8+〃z).

；•AB的垂直平分线方程为y-(8+，〃)=-；(x-4).

.四边形AMBN为菱形，

/.Af(0,w+10),M,N关于0(4,8+㈤对称,则N(8,〃?+6),又N在抛物线上，

64=4x(m+6),即m=10,

故直线/的方程为y=2x+10.

上顶点为厶已知行|0A|=21051(。为原点).

(I)求椭圆的离心率；

3

(II)设经过点尸且斜率为一的直线/与椭圆在》轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和

直线/相切，圆心C在直线x=4上，且0C〃AP,求椭圆的方程.

122

【答案】(I)(II)二+二=1.

1612

【解析】

(I)解：设椭圆的半焦距为J由己知有岛=2匕，

又由。2=〃+。2,消去/，得/=(30)2+。2,解得£=1,

2a2

所以，椭圆的离心率为!.

2

22

(II)解：由(I)知，a=2c,b=j3c,故椭圆方程为2+当=1,

3

由题意，b(-c,0),则直线/的方程为y=：(x+c),

点尸的坐标满足，,消去V并化简，得至1「7万2+6℃—13。2=0,

w13c

解得X|=C,工2=----

39

代入到/的方程，解得RC，

3

因为点P在x轴的上方，所以P(c,-c),

2

由圆心在直线x=4上，可设C(4,r),因为0C〃AP,

3

且由(I)知A(-2c,0),故;3c,解得f=2,

4c+2c

因为圆C与X轴相切，所以圆的半径为2,

又由圆。与,相切，得”1=2,解得八2,

22

所以椭圆的方程为：—+-^-=1.

1612

10.(2019•全国高三月考(理))如图，己知抛物线f=4y,直线丁=履+1交抛物线于45

两点，P是抛物线外一点，连接PAP8分别交地物线于点C,。，且CDAB.

(1)若左=1,求点P的轨迹方程.

(2)若尸C=2CA，且卩4平行x轴，求AfAB面积.

【答案】(1)x=2(-l<y<l)(2)74而

121

【解析】

⑴解法1：QCDPAB,^,PD=ADB,A(x(,y,)B(x2,y2\