2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评五十一

核心素养测评五十一

利用空间向量求二面角与空间距离

（30分钟60分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.在空间直角坐标系0-xyz中,平面0AB的一个法向量为n=（2,-2,1）,已知点

P（T,3,2）,则点P到平面0AB的距离d等于（）

A.4B.2C.3D.1

【解析】选B.P点到平面0AB的距离为d=①上1=上上步1=2.

In\

2,三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n.n,若<n,n>=-,则

12123

二面角A-BD-C的大小为（）

A.-B.—或包D心或巳

333363

【解析】选C.如图所示，当二面角A-BD-C为锐角时，它就等于当二面

123

角A-BD-C为钝角时，它应等于Ji-<n,n>=Ji

1222

-1-

3.已知正四棱柱ABCD-ABCD中,AB=2,CC=2忑3E为CC的中点，则直线AC与平

11111W11

面BED的距离为()

A.2B.C.D.1

【解析】选D.以D为原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空

1

间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

Q(0,2,2J2),E(O,2,&D,易知AQ〃平面BDE.

设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.

则卜.図=2x+2y=0,

In*DE=2y+\[Zz=0.

取y=1,则n=(-1,1,为平面BDE的一个法向量.

又TH二(2,0,0),

所以点A到平面BDE的距离是

-LX2+0+0

故直线AC到平面BED的距离为1.

1

-2-

4.如图，点C在圆锥P0的底面圆0上,AB是直径,AB=8,ZBAC=30°,圆锥的母线

与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为（）

A.gv5B.2Vz

C..访D.”南

【解析】选C.如图，过点0作AB的垂线Ox,以Ox,OB,0P分别为x,y,z轴建立空

间直角坐标系,

由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),

C(-2\5,2,0),P(0,0,4寸印.

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

则加•空=0,所以俨会+2y=0,

[m*BP=0,l-4y+=0,

所以3z--vr3x>所以取m=(-1,v3,1)，

因为而二(0,4,%，？)，

所以d」厶3yQ百,所以点A到平面PBC的距离为色v<15.

Imlv15-<k

-3-

5,已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,E是线段AB上的点（不含

端点），设SE与BC所成的角为9,SE与平面ABCD所成的角为9，二面角S-AB-C

12

的平面角为。，则（）

3

A.0WeW0B.eW0W。

123321

C.oWowoD.eWoWo

132231

【解析】选D.如图所示，作S的投影点0,取AB的中点F,连接SO,SF,OF,作GE

平行于BC,且GE」BC,连接SG,0G,SE,0E.

2

因为S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等,

所以NS0F=NS0E=NSGE=90°,

因为SE与BC所成的角为0,所以cos0

11SE

因为SE与平面ABCD所成的角为0,

2

所以sin9二次•，因为二面角S-AB-C的平面角为9，所以sin9=—,cos9=—.

2SE33SF39F

因为GE=OF,SFWSE,所以

coseWcose,sineWsin。，即。，ee，所以eee.

二、填空题（每小题5分，共15分）

6.如图所示,P是二面角a-AB-3棱上一点,分别在a,B内引射线PM,PN,

若NBPM=NBPN=45°,NMPN=60°,则二面角a-AB-P大小为.

-4-

【解析】如图，过M在a内作MF丄AB,过F在B内作FN丄AB交PN于点N,连接

MN.

因为NMPB=NNPB=45°，所以△PMF纟△PNF.

设PM=1,则MF=NF笆PM=PN=1,

2

又因为NMPN=60°，所以MN=PM二PN=1,

所以MN2=MF2+NF2,所以NMFN=900.

答案：90°

7.在四面体P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的

距离为.

【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则

P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).

过点P作PH丄平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距

离.

因为PA=PB二PC,所以H为4ABC的外心.

-5-

又因为4ABC为正三角形，所以H>VAABC的重心,

可得H点的坐标为(2,2,2).

333

22

所以PH二J(|-0)+(|-0)+(|-0)所以点P到平面ABC的距离为

\

------a.

答案:亜a

3

8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-ABCD,点M是线段DC

11111

上的动点,则点M到直线A1距离的最小值为.口

【解析】设M(O,m,m)(OWmWa),而55(-a,0,a),直线A1的一个单位方向向量

由而5(0,-m,a-m),故点M到直线AD的距离d=丿

m2+(a-m)2--(a-m)2

2

:Rm?-Q171+根式内的二次函数当m二—一二■二二时取最小值

\]222X^3

—(―)2-aX—+£a2=ia2,故d的最小值为史a.

7337aa

答案:

-6-

三、解答题（每小题10分，共20分）

9.如图所示,在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=AA=1,D是棱CC上的

11111

一点,P是AD的延长线与AC的延长线的交点,且PB〃平面BDA.

1111

⑴求证:CD=CD.

1

（2）求二面角A-AD-B的平面角的余弦值.

1

⑶求点C到平面BDP的距离.

1

【解析】（1）连接AB,交BA于点0,连接0D.

11

因为BP〃平面BDA,BPc平面ABP,平面ABPA平面BAD=0D,所以BP〃0D.

1111111

又因为。为BA的中点，所以D为AP的中点.

1

因为CD〃AA，所以C为AP的中点.

1111

所以DC二丄AA二丄CC，所以CD=CD.

171711

-7-

所以AU。，。°),森=(1,°,i),*=(o,1,，・

设平面BAD的一个法向量为n=(x,y,z).

1111

小打了•n=0,尸/i+Z]=0,

田,得(1

•n=0,1%+=。.

令z=2,则x=-2,y=-1,

111

所以n=(-2,-1,2).

又48；=(，。，0)为平面AAD的一个法向量，

由图形可知二面角A-AD-B为锐角，

1

所以二面角A-AD-B的平面角的余弦值为乙

1R

(3)因为0(0,1,1),D(0,1,A),B(1,0,0),P(0,2,0),

21

所以而二(。,。,」),D8；=(1,7,-丄)，DP=(0,1,-1).

22?

设平面BDP的一个法向量为m=(x,y,z).

-产=0，

为-12=0-

令z=2,贝Ix=2,y=1,所以m=(2,1,2).

|CD•in|

所以点C到平面BDP的*巨离d=.

1

-8-

10.(2018•全国卷HD如亂边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧力所

在平面垂直,M是加上异于C,D的点.

⑴证明：平面AMD丄平面BMC.

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.

【解析】(1)由题设知，平面CMD丄平面ABCD,交线为CD.

因为BC丄CD,BCu平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.

因为M为f力上异于C,D的点，且DC为直径，

所以DM丄CM.