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文档简介

向量线性组合归纳(全)向量的线性组合是指用常数乘以一些向量，再将它们相加得到的向量。通常情况下，我们用向量的线性组合来表示一个向量空间中的任意向量。对于向量y，如果它可以由向量集合S中的向量线性组合得到，那么我们就称y是向量集合S的线性组合，向量集合S生成向量y。向量线性组合的性质：1.向量的线性组合仍然是一个向量。2.用向量线性组合表示的向量一定属于与这些向量生成的向量空间。3.如果向量集合S中有一个向量可以被其他向量线性表示出来，那么我们可以将这个向量从S中去掉而不改变S生成的向量空间。4.如果向量组S1是向量组S2的子集且S1与S2生成相同的向量空间，则S1和S2中任意一个向量集合都可以表示这些向量生成的向量空间。归纳证明：假设向量集合S的前k个向量的线性组合可以表示出任意向量y，我们要证明第k+1个向量的加入不会改变向量集合S生成的向量空间。因为向量集合S中的前k个向量的线性组合能够生成向量空间V，由此可得线性方程ax+by+cz=d，其中x、y、z是向量集合S的前k个向量的线性组合，a、b、c是任意常数，d是向量空间V中的任意向量。现在将第k+1个向量加入向量集合S，设为v，那么我们要证明通过向量集合S和向量v的线性组合，我们仍然可以表示出向量空间V中的任意向量。设任意向量为t，那么有线性方程ux+vy=t，其中x是向量集合S的前k个向量的线性组合，u、v是任意常数。现在我们需要用v来表示出向量v，因为如果不能，那么V就无法用向量集合S和向量v的线性组合表示出来。因为向量v可以由向量集合S和向量v的线性组合表示出来，所以它也属于向量集合S和向量v生成的向量空间，即它属于向量集合S和向量v的线性组合生成的向量空间。由此可得，归纳证明完毕。无论向量集合S中有多少个向量，只要它

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