《线性代数》电子教程之十(向量组的线性相关性)

《线性代数》电子教程之十向量组的线性相关性CATALOGUE目录向量组与线性组合线性相关与线性无关向量空间与子空间向量组线性相关性应用总结与展望01向量组与线性组合123若干个同维数的行向量或列向量组成的集合称为向量组。向量组定义向量组中的向量满足加法和数乘的封闭性，即向量组中的向量经过有限次加法和数乘运算后，结果仍在该向量组中。向量组性质向量组中的向量可以进行线性运算，包括加法和数乘。线性运算向量组概念及性质线性组合定义给定向量组A，如果存在一组实数k1,k2,...,km，使得k1*a1+k2*a2+...+km*am=b成立，则称向量b是向量组A的线性组合。线性组合性质线性组合具有加法和数乘的封闭性，即如果向量b和向量c都是向量组A的线性组合，那么它们的线性组合也是向量组A的线性组合。线性相关与线性无关如果向量组A中存在一个向量可以由其他向量线性表示出来，则称向量组A线性相关；否则称向量组A线性无关。线性组合定义与性质线性表示定义如果存在一组实数k1,k2,...,km，使得k1*a1+k2*a2+...+km*am=b成立，则称向量b可以由向量组A线性表示。等价关系定义如果向量组A中的每一个向量都可以由向量组B线性表示，并且向量组B中的每一个向量都可以由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。等价关系性质等价关系具有自反性、对称性和传递性。即任何向量组都与自身等价；如果向量组A与向量组B等价，则向量组B与向量组A也等价；如果向量组A与向量组B等价，向量组B与向量组C等价，则向量组A与向量组C也等价。线性表示与等价关系例子练习题拓展题目例子与练习题给定向量组A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}和向量b=(1,1,1)，判断向量b是否是向量组A的线性组合，并求出相应的实数k1,k2,k3。设向量组A={a1,a2,...,am}线性无关，且向量b可以由向量组A线性表示，证明：向量组{a1,a2,...,am,b}线性相关。设向量组A和向量组B都是n维向量空间V的基，证明：向量组A和向量组B等价。并说明它们在空间V中的几何意义。02线性相关与线性无关如果存在一组不全为零的数$k_1,k_2,ldots,k_n$，使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_nalpha_n=0$，则称向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$线性相关；否则称线性无关。定义任何一个包含零向量的向量组都线性相关。性质1一个向量组线性相关当且仅当它可以由其中的部分向量线性表示。性质2如果向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$线性无关，而向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n,beta$线性相关，则$beta$可以由$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$线性表示，且表示法唯一。性质3线性相关性定义及性质条件一个向量组线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示。判别方法1按列构成矩阵，求行列式。如果行列式不等于0，则向量组线性无关；否则线性相关。判别方法2将向量组按列构成矩阵，进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。如果非零行的第一个非零元素所在的列对应的向量构成的新向量组与原向量组等价，则原向量组的秩等于新向量组中向量的个数，从而可以判断原向量组的线性相关性。线性无关条件及判别方法设向量组$T$中有部分向量组成的一个部分组$T_0$线性无关，且任取向量组$T$中的一个向量添加到$T_0$中，所得的部分向量组都线性相关，则称$T_0$是向量组$T$的一个极大无关组。极大无关组向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记作$R(T)$。秩极大无关组和秩概念例子1判断向量组$alpha_1=(1,0,0)^T,alpha_2=(0,1,0)^T,alpha_3=(0,0,1)^T$是否线性相关。例子2求向量组$alpha_1=(1,2,3)^T,alpha_2=(2,4,6)^T,alpha_3=(3,6,9)^T$的秩和一个极大无关组。练习题1设向量组$beta_1,beta_2,beta_3$线性无关，且可由向量组$alpha_1,alpha_2,alpha_3$线性表示，则$R(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$与$R(beta_1,beta_2,beta_3)$的关系是什么？练习题2设$A$是$mtimesn$矩阵，$R(A)=r$，则$A$的列向量组中任意$r+1$个向量都线性相关吗？为什么？01020304例子与练习题03向量空间与子空间向量空间定义向量空间是一组向量构成的集合，满足加法和数量乘法的封闭性、结合律、交换律等性质。性质向量空间对于向量的加法和数乘运算是封闭的，即空间内任意两个向量的线性组合仍在空间内。零向量和负向量向量空间中一定包含零向量，每个向量都有对应的负向量。向量空间概念及性质子空间定义子空间是向量空间的一个非空子集，且对于加法和数乘运算也是封闭的。判别方法要判断一个向量集合是否构成子空间，需要验证该集合是否包含零向量，并对加法和数乘运算封闭。常见的子空间如零空间、列空间、行空间等。子空间定义及判别方法向量空间的一个基是一组线性无关的向量，且可以张成整个向量空间。基的概念维数坐标基中向量的个数称为向量空间的维数，表示空间的“大小”。在给定基下，每个向量都可以唯一地表示为一组数的线性组合，这组数称为该向量在基下的坐标。030201基、维数和坐标概念通过具体例子说明向量空间、子空间、基、维数和坐标等概念。提供一系列练习题，包括判断向量集合是否构成子空间、求向量空间的基和维数、求向量在给定基下的坐标等，以巩固所学知识。例子与练习题练习题例子04向量组线性相关性应用求解齐次线性方程组01利用向量组的线性相关性，可以将齐次线性方程组转化为向量方程组进行求解。02通过判断系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等，可以确定方程是否有非零解。利用向量组的极大无关组，可以简化方程组的求解过程。03判断矩阵是否可逆01矩阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。02利用向量组的线性相关性，可以判断矩阵的列向量组是否线性无关，从而判断矩阵是否可逆。03对于方阵，如果其行向量组或列向量组线性无关，则该矩阵可逆。03通过判断特征向量的线性无关性，可以确定矩阵是否可以对角化。01特征值和特征向量是矩阵的重要性质，与矩阵的对角化、矩阵的幂等运算密切相关。02利用向量组的线性相关性，可以求解矩阵的特征值和特征向量。特征值和特征向量问题例子与练习题例子给出具体的向量组，求解其线性相关性，并应用于求解齐次线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题中。练习题提供一系列与向量组线性相关性相关的练习题，加强学生对该知识点的掌握和应用能力。05总结与展望010203向量组线性相关性的定义如果存在不全为零的数$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_malpha_m=0$，则称向量组$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m$线性相关。线性相关性的判别方法通过向量组的秩与向量个数的关系来判断，若$R(alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m)<m$，则向量组线性相关；反之，若$R(alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_m)=m$，则向量组线性无关。线性相关性的性质向量组线性相关，则至少有一个向量可由其余向量线性表示；向量组线性无关，则每一个向量都不能由其余向量线性表示。知识点总结回顾错误理解线性相关性的定义01误认为只要存在某个向量能由其他向量线性表示，则整个向量组就线性相关。实际上，需要存在不全为零的系数使得线性组合为零向量。忽视向量组中包含零向量的情况02若向量组中包含零向量，则该向量组一定线性相关。误用线性相关性的判别方法03在判断向量组是否线性相关时，需要计算向量组的秩并与向量个数进行比较，而不是直接观察向量组中的向量是否线性相关。典型错误提示及避免方法基是向量空间中的一个线性无关向量组，它可以生成整个向量空间；维数则是基的向量个数，它刻画了向量空间的大小。向量空间的基与维数通过向量组的线性相关性，可以进一步探讨线性方程组解的结构，包括解的存在性、唯一性以及解的表示方法。线性方程组解的结构在线性代数中，特征值与特征向量是与矩阵相关联的重要概念，它们在矩阵对角化、矩阵的幂运算以及微分方程等领域