《概率统计与随机过程》考前辅导

《概率统计与随机过程》考前辅导概率论基本概念与性质随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量数字特征与极限定理随机过程基本概念与分类随机过程应用举例contents目录01概率论基本概念与性质样本空间所有可能结果的集合，通常用Ω表示。事件的分类基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件。事件样本空间的子集，即某些特定结果的集合。样本空间与事件事件发生的可能性大小的度量，通常用P表示。概率定义非负性、规范性、可列可加性。概率的性质加法公式、减法公式、乘法公式等。概率的运算规则概率定义及性质条件概率在给定条件下，某事件发生的概率。独立性两事件发生的概率互不影响，即P(AB)=P(A)P(B)。条件概率与独立性的关系独立则条件概率等于无条件概率，不独立则不一定。条件概率与独立性030201全概率公式01若事件B能由互不相容的事件A1,A2,…,An中的任一事件引起，则B发生的概率为P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An)。贝叶斯公式02在全概率公式的基础上，当已知B发生时，求某个Ai发生的概率，即P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/[P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An)]。全概率公式和贝叶斯公式的应用03用于解决复杂事件的概率计算问题，如逆概率问题、信号与噪声问题等。全概率公式和贝叶斯公式02随机变量及其分布随机变量概念及分类随机变量的定义设随机试验的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。随机变量的分类根据随机变量可能取值的性质，可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布律的定义对于一个离散型随机变量X，其所有可能取的值xi(i=1,2,...)与取这些值的概率P(X=xi)所构成的序列{(xi,P(X=xi))}称为X的分布律。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、超几何分布等。离散型随机变量分布律如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有F(x)=∫f(t)dt(积分下限是-∞，上限是x)，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数。概率密度函数的定义正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布连续型随机变量概率密度函数VS设X是一个随机变量，y=g(x)是实数域上的函数，则Y=g(X)称为随机变量X的函数。随机变量函数的分布当X为离散型随机变量时，可以通过列举法求出Y的分布律；当X为连续型随机变量时，可以通过积分变换法求出Y的概率密度函数。随机变量函数的定义随机变量函数分布03多维随机变量及其分布联合分布函数定义对于所有实数x,y，二维随机变量(X,Y)的联合分布函数$F(x,y)$是事件$Xleqx$与$Yleqy$同时发生的概率。联合概率密度函数若存在非负函数$f(x,y)$，使得对任意实数x,y，有$F(x,y)=int_{-infty}^{y}int_{-infty}^{x}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。联合分布律对于离散型二维随机变量(X,Y)，其联合分布律为$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij}$，其中$i,j=1,2,...$，且满足$sum_{i=1}^{infty}sum_{j=1}^{infty}p_{ij}=1$。010203二维随机变量联合分布边缘分布函数二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数$F_X(x)$和$F_Y(y)$分别由联合分布函数$F(x,y)$对y和x取极限得到，即$F_X(x)=F(x,+infty)$，$F_Y(y)=F(+infty,y)$。边缘概率密度函数二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$分别由联合概率密度函数$f(x,y)$对y和x积分得到，即$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$，$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。条件分布函数与条件概率密度函数在给定$Y=y$的条件下，随机变量X的条件分布函数和条件概率密度函数分别定义为$F_{X|Y}(x|y)=P{Xleqx|Y=y}$和$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$（在$f_Y(y)>0$的条件下）。边缘分布与条件分布若二维随机变量(X,Y)的联合分布函数$F(x,y)$可以表示为两个边缘分布函数$F_X(x)$和$F_Y(y)$的乘积，即$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称X和Y是相互独立的。若X和Y相互独立，则对于任意实数a,b,c,d（满足$P{a<Xleqb}>0$，$P{c<Yleqd}>0$），有$P{a<Xleqb,c<Yleqd}=P{a<Xleqb}P{c<Yleqd}$。相互独立的定义相互独立的性质相互独立随机变量组多维随机变量函数的定义设$X_1,X_2,...,X_n$是n个随机变量，$y=g(x_1,x_2,...,x_n)$是一个n元函数，则称$Y=g(X_1,X_2,...,X_n)$为多维随机变量$X_1,X_2,...,X_n$的函数。多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布可以通过求解多维随机变量的联合分布函数或联合概率密度函数，并结合函数的性质得到。具体求解方法包括卷积公式、变量变换法等。特殊的多维随机变量函数常见的多维随机变量函数包括和函数、差函数、积函数、商函数、最大值函数、最小值函数等。这些函数的分布往往具有一些特殊的性质，可以通过特定的方法求解得到。多维随机变量函数分布04随机变量数字特征与极限定理掌握数学期望的概念、性质和计算方法，了解条件期望的概念。数学期望定义及性质掌握方差的概念、性质和计算方法，了解协方差和相关系数的概念。方差定义及性质熟练掌握常见分布（如二项分布、泊松分布、正态分布等）的数学期望和方差的计算。常见分布的数学期望与方差数学期望与方差计算相关系数定义及性质掌握相关系数的概念、性质和计算方法，了解相关系数的取值范围和意义。协方差与相关系数的应用了解协方差和相关系数在实际问题中的应用，如投资组合风险分析、信号处理等。协方差定义及性质理解协方差的概念、性质和计算方法，了解协方差矩阵的概念。协方差与相关系数分析大数定律和中心极限定理理解大数定律的概念和意义，掌握大数定律的几种常见形式（如伯努利大数定律、切比雪夫大数定律等）。中心极限定理理解中心极限定理的概念和意义，掌握中心极限定理的几种常见形式（如独立同分布的中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理等）。大数定律和中心极限定理的应用了解大数定律和中心极限定理在实际问题中的应用，如保险精算、质量控制等。大数定律05随机过程基本概念与分类随机过程定义随机过程是一族随机变量，其中每个随机变量都与一个参数（通常是时间）相关联。示例随机游走、布朗运动、排队系统等。随机过程定义及示例平稳过程统计特性不随时间变化的随机过程，即其均值、方差和相关函数等与时间无关。要点一要点二非平稳过程统计特性随时间变化的随机过程，其均值、方差和相关函数等可能随时间发生变化。平稳过程与非平稳过程马尔可夫过程和泊松过程未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关的随机过程。具有“无记忆性”或“马尔可夫性”。马尔可夫过程一种特殊的计数过程，用于描述在给定时间间隔内发生的事件次数。其特点是事件发生率稳定且独立，即事件发生的时间间隔服从指数分布。泊松过程06随机过程应用举例03主要研究内容系统状态的概率分布、系统的性能指标以及系统的优化问题。01排队论基本概念研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，为运筹学的一个分支。02排队系统组成输入过程、排队规则、服务机构。排队论模型简介存储论基本概念研究物资最优存储策略的理论和方法，是运筹学的一个重要分支。主要研究内容确定物资最优存储量、补货策略以及缺货成本等。存储模型分类确定性存储模型和随机性存储模型。存储论模型分析在通信系统中，噪声是指对有用信号的接收造成干扰的无用信号。通信系统噪声概念内部噪声和外部噪声，包括热噪声、散粒噪声和宇宙噪声等。噪声来源及分类降低信噪比、引起误码率增加、降低通信质量等。噪声对通信系统的影响采用抗干扰编码、提高信号功率、采用滤波技术等。减少噪声的方法通信系统中噪声问