中考数学几何模型专项复习 模型22 勾股定理-矩形翻折模型-（原卷版+解析）

勾股定理模型（二十二）——矩形翻折模型一、折在外◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？结论：，【证明】矩形，沿折叠，，，∴，，，，∴，∴，，设，则，在中，，即，∴，即，∴，，∴．【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？结论：AF＝FC【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝∵四边形ABCD是矩形，∴CDAB，∴∠DCA＝∠CAF，∴∠CAF＝∠FCA，∴AF＝FC，设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，在中，由勾股定理得，，即，解得x＝5，即AF＝5，二、折在里【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE∴AE＝AD，EF＝DF，∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF1．(2023·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上的E处，那么图中阴影部分的面积为(

)A．30 B．32 C．34 D．362．(2023·广西桂林·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（

）A．3 B． C．1 D．23．(2023·云南保山·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A．4 B．5 C． D．3.54．(2023·重庆永川·八年级期末）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=16，AD=20，则EC的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．31．(2023·河南商丘·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），沿直线PE将△PBE折叠后点B落在了点B'处，连接B'D、DE，当∠DB'E＝90°时，PB的长等于（）A． B．2 C．1 D．2．(2023·浙江杭州·八年级期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（

）A． B． C． D．3．(2023·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）如图，一张矩形纸片ABCD，其中，，先沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，交AD于点G，则的长______．1．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．勾股定理模型（二十二）——矩形翻折模型一、折在外◎结论1：如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为多少？结论：，【证明】矩形，沿折叠，，，∴，，，，∴，∴，，设，则，在中，，即，∴，即，∴，，∴．【结论2】如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D’处，交AB于点F，则AF的长为多少？结论：AF＝FC【证明】由折叠可知AD＝＝4，∠DCA＝∵四边形ABCD是矩形，∴CDAB，∴∠DCA＝∠CAF，∴∠CAF＝∠FCA，∴AF＝FC，设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，在中，由勾股定理得，，即，解得x＝5，即AF＝5，二、折在里【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC－AD，CF=CD－EF【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE∴AE＝AD，EF＝DF，∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF1．(2023·贵州·仁怀市周林学校八年级阶段练习）如图，长方形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落在边OB上的E处，那么图中阴影部分的面积为(

)A．30 B．32 C．34 D．36答案:A分析根据A、D的纵坐标即可求得CD的长，根据勾股定理即可求得BE的长，然后在直角△OAE中，利用勾股定理即可得到方程求得AC的长，则根据即可求解．【详解】解：设AC=x，则AC=AE=OB=x，∵点A的坐标为（0，8），∴OA=BC=8，∵点D的纵坐标为3，∴CD=DE=BC-BD=8-3=5，在直角△BDE中，BE==4，则OE=x-4，在直角△AOE中，，即，解得：x=10，则=AC•CD=×10×5=25，=10×8=80，则=80-25-25=30．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，以及折叠的性质，勾股定理，正确求得AC的长是关键．2．(2023·广西桂林·八年级期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若，则线段CH的长是（

）A．3 B． C．1 D．2答案:B分析根据折叠的性质，可得，设，则，根据，可得，在中，根据勾股定理，列出方程，解出即可得出CH的长．【详解】解：设，则，∵，，∴，在中，∵，∴，解得：，即．故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．3．(2023·云南保山·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A．4 B．5 C． D．3.5答案:A分析由矩形的性质可得∠A=90°，首先折叠的性质可得、、=90°,设=，则BF=9-x，在Rt△中，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，由翻折的性质可知，、、=90°设=，则BF=9-x，∵在Rt△中，∴解得，∴CF=4．故选：A．【点睛】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．4．(2023·重庆永川·八年级期末）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=16，AD=20，则EC的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3答案:A分析首先根据折叠的性质求得：AD=AF=20，DE=EF，在Rt△ABF中利用勾股定理计算出BF的长，进一步求得FC的长，再设EC=x,则DE=EF=（16-x），在Rt△EFC中利用勾股定理可得（16-x）2=82+x2，再解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=16，AD=BC=20，由折叠可知：AD=AF=20，DE=EF，在Rt△ABF中：，∴∴FC=20-12=8，设EC=x,则DE=EF=16-x,在Rt△EFC中：EF2=FC2+EC2，（16-x）2=82+x2，解得：x=6．所以EC=6．故选：A．【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换和勾股定理，解题关键是掌握翻折的性质和利用勾股定理解直角三角形．1．(2023·河南商丘·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边的中点，点P是AB边上的动点（不与点A、B重合），沿直线PE将△PBE折叠后点B落在了点B'处，连接B'D、DE，当∠DB'E＝90°时，PB的长等于（）A． B．2 C．1 D．答案:A分析设，利用HL证明，得到的长度，再利用勾股定理表示出的三边关系，列出关于x的方程，求解即可．【详解】设，根据题意，得：，，，∵，∠DB'E＝90°，∴在与中，，∴，∴，∵，∴在中，，即∴，解得：，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题关键是用含x的式子表示出的三边，再利用勾股定理．2．(2023·浙江杭州·八年级期末）如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（

）A． B． C． D．答案:B分析先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=6，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=8，则CF=BC-BF=2，设CE=x，则DE=EF=6-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到，解方程即可得到DE的长．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，BF=，∴CF=BC-BF=10-8=2，设CE=x，则DE=EF=6-x，在Rt△ECF中，，∴，解得x=，∴DE=6-x=，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用．解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．3．(2023·福建·厦门市第五中学九年级阶段练习）如图，一张矩形纸片ABCD，其中，，先沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，交AD于点G，则的长______．答案:分析由矩形及翻折的性质，可证≌，设，则，，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴，，∵矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点的位置，∴，，∴，，在与中，∵，∴≌，∴，．设，∵，，∴．∵，，∴在中，，即，解得，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了运用翻折的性质以及勾股定理求相关线段长度，其中运用几何性质及勾股定理建立相应的方程是解题的关键．1．(2023·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，．（1）求证：是等腰三角形；（2）求线段的长．答案:（1）见解析；（2）3分析（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证；（2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可【详解】（1）四边形是矩形因为折叠，则是等腰三角形（2）四边形是矩形,设，则因为折叠，则，,在中即解得：【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．2．(2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：．答案:（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析分析（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：,，则，为等腰三角形；（2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可