2023年江西省中考一轮复习数学专题练-13图形的相似

2023年江西省中考数学专题练——13图形的相似一、选择题（共8小题）1．如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；④将等边△ABO以直线y＝x或直线y＝﹣x为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．其中正确的是（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点O，则下列结论正确的是（）A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC C．∠AED＝∠ACB D．OD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝32，∠AED＝∠B，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．5.54．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB，AC，∠ACB的平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，即ADAB≈0.618，已知AC＝10A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm5．如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（）A．11 B．12 C．554 D．6．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23 7．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-1A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm8．若xy=10，yz=A．556 B．665 C．5 D二、填空题（共8小题）9．如图，在第一象限内作与x轴的正半轴成60°的射线OC，在射线OC上截取OA＝2，过点A作AB⊥x轴于点B，在坐标轴上取一点P（不与点B重合），使得以P，O，A为顶点的三角形与△AOB相似，则所有符合条件的点P的坐标为．10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.91m，则该车车身总长为m11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为．12．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则S△DEFS△BCF的值为13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为步．14．已知如图，矩形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE与以E、C、F为顶点的三角形相似，则BE的长为．15．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，AB＝4CE，F是AE上一点，射线BF与正方形的边交于点G（不同于点B），若BG＝AE，BFAC=16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A1CC1B1；延长CB交x轴于点A2，作正方形A2C1C2B2；…按照这样的规律，S正方形A2021B三、解答题（共8小题）17．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，DE⊥EO，E是垂足，△DEO可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．●问题发现（1）如图2，当ADDO=1时，则下列结论正确的是①BE＝CF；②点F是OC的中点；③AO是∠BAC的角平分线；④AD=5CF●数学思考（2）将图2中△DEO绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；●拓展应用（3）在图1中，若ADDO=x，将△DEO绕着点①则AD＝CF；②若AB＝4，x＝1，在△DEO旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．18．（1）计算：(-（2）如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．19．如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点坐标是（1，2），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA'的中点，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点C，与（1）求点D坐标；（2）连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．20．如图，在⊙O中，AB为弦，AM为⊙O的切线，A为切点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，以AB为边作一个矩形；（2）在图2中，分别在AM上取一点C，在⊙O取两点E，D，作△ACE∽△DCA．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且APAE=1（1）当DP＝2时，求BE的长．（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．22．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果BCAC=ACAB，那么称点【问题发现】如图1，请直接写出AC与CB的比值是．【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则AEAC的值为【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，将AE折叠到EN上，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点．【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时，∠AMB＝∠ANB，连NM，延长NM交AD于E，请用相似的知识求出DEAE的值为23．定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．（1）【定义感知】如图1，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC＝110°，AB＝BD．求证：AD是△ABC的“华丽分割线”．（2）【问题解决】①如图2，在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是等腰三角形，则∠C的度数为．②如图3，在△ABC中，AB＝2，AC=3，AD是△ABC的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD24．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．

2023年江西省中考数学专题练——13图形的相似参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．如图，△ABO是等边三角形，其中点O与原点重合，点B的坐标为（6，0），点A在反比例函数的图象上，数学兴趣小组对等边△ABO进行变换操作，得到如下结论：①将等边△ABO沿AO方向平移6个单位长度，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；②将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上；③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，得到的位似图形恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上；④将等边△ABO以直线y＝x或直线y＝﹣x为对称轴进行翻折，恰好存在一个顶点在反比例函数的图象上．其中正确的是（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：过点A作AH⊥OB于点H，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝∠AOB＝60°，∴OH＝3，AH=∴A的坐标为（3，33∴反比例函数表达式为：y=①如图所示，△ABO沿AO方向平移6个单位长度，点A恰好与O重合，点O平移到E点，此时OE＝OA＝6，∴A、E关于原点对称，∴点E在反比例函数图象上，①正确．②若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，点A恰好落在y轴上（0，6），此时，点B恰好落在（33，3∵3∴B的对应点落在反比例函数图象上；若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转60°，点B恰好落在（3，33若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转180°，点A恰好落在（﹣3，-3∵(∴A的对应点落在反比例函数图象上；若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转210°，点A恰好落在y轴上（0，﹣6），此时，点B恰好落在（-33，﹣∵(∴B的对应点落在反比例函数图象上；若将△ABO绕着点O分别逆时针旋转240°，点B恰好落在（﹣3，-3∴将△ABO绕着点O分别逆时针旋转30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一个顶点在反比例函数的图象上，②正确．③将等边△ABO以点O为位似中心，位似比为1，相当于将A绕点O旋转180°，点A的对应点恰好落在为（﹣3，-33），在反比例函数图象上，④根据反比例函数图象的对称性，将等边△ABO以直线y＝x或直线y＝﹣x为对称轴进行翻折，点A的对应点都在反比例函数的图象上，④正确．故选：D．2．如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点O，则下列结论正确的是（）A．△ABC是等腰三角形 B．OB＝OC C．∠AED＝∠ACB D．OD【解答】解：如图，∵△ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED＝∠ACB，故C正确；∴∠EDB＝∠ECB，∠EOD＝∠BOC，∴△EOD∽△BOC，∴ODOC故D错误；△ABC中AB不一定等于AC，故A错误；OB不一定等于OC，故B错误；故选：C．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在AC边上，E是BC边上一点，若AB＝6，AE＝32，∠AED＝∠B，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．5.5【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠AED＝∠B，∴∠AED＝∠C，∴180°﹣∠EAC﹣∠AED＝180°﹣∠EAC﹣∠C，∴∠ADE＝∠AEC，∴△ADE∽△AEC，∴ADAE∵AE＝32，AC＝AB＝6，∴AD3∴AD＝3，故选：A．4．某校开展“展青春风采，树强国信念”科普阅读活动．小明看到黄金分割比是一种数学上的比例关系，它具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，应用时一般取0.618．特别奇妙的是在正五边形中，如图所示，连接顶点AB，AC，∠ACB的平分线交边AB于点D，则点D就是线段AB的一个黄金分割点，即ADAB≈0.618，已知AC＝10A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm【解答】解：由题意，点D是线段AB的黄金分割点，∵AD＝0.618AB，AB＝AC＝10cm，∴AD＝6.18（cm），∵∠ABC＝∠ACB＝72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠CAD＝36°，∠CDB＝∠CBD＝72°，∴BC＝CD＝AD＝6.18（cm），∴五边形的周长为6.18×5＝30.9（cm），故选：C．5．如图平行四边形ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，若△DEG的面积是1，则五边形DABFG的面积是（）A．11 B．12 C．554 D．【解答】解：如图，连接BG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠E＝∠CFG，∵F为BC中点，∴FC=12BC=∵DE：AD＝1：3，∴DE：BC＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵∠E＝∠CFG，∠DGE＝∠CGF，∴△DGE∽CGF，∴DG：CG＝DE：CF＝2：3，∴S△DEG：S△CFG＝4：9＝1：S△CFG，∴S△CFG=9取AD的中点Q，连接FQ，∴FQ∥DG，∴△EDG∽△EQF，∴DE：EQ＝1：2.5＝2：5，∴S△DEG：S△QEF＝4：25＝1：S△EQF，∴S△EQF=25∴S四边形DQFG=254-∴S四边形ABFQ＝S四边形DQFG+S△CFG=21∴S五边形DABFG=21故选：D．6．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD上的点，AF＝2FD，直线BF交AC于点E，交CD的延长线于点G，则BEEGA．12 B．13 C．23 【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC＝3k，∴AEEC∴BE故选：C．7．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12（5-A．155cm B．165cm C．175cm D．185cm【解答】解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，由题意得：x108∴x≈0.618×108＝66.744（cm），∴x+108≈175（cm），即小凡的身高约为175cm，故选：C．8．若xy=10，yz=A．556 B．665 C．5 D【解答】解：∵yz=∴y＝5z，∵xy=∴x＝10y＝50z，∴x+故选：A．二．填空题（共8小题）9．如图，在第一象限内作与x轴的正半轴成60°的射线OC，在射线OC上截取OA＝2，过点A作AB⊥x轴于点B，在坐标轴上取一点P（不与点B重合），使得以P，O，A为顶点的三角形与△AOB相似，则所有符合条件的点P的坐标为（4，0）或（0，433）或（0，3【解答】解：∵∠AOB＝60°，∠ABC＝90°，∴当P点在x轴上，∠AOP＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△ABO，此时OP＝2OA＝4，则P（4，0）；当P点在y轴上，若∠APO＝60°，∠OAP＝90°时，△PAO∽△OBA，此时AP=33OA=233，OP＝2AP=43若∠PAO＝60°，∠APO＝90°时，△APO∽△OBA，此时AP=12OA＝1，OP=3AP=3，则P（综上所述，P点坐标为：（4，0）或（0，433）或（0，故答案为：（4，0）或（0，433）或（0，10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.91m，则该车车身总长为5m【解答】解：设汽车的车身总长为x米，则车尾与倒车镜的水平距离为（x﹣1.91）m，∴x-1.91解得：x＝5．故答案为：5；11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为25或5+1或5-1或0【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O为AC的中点，∴AO＝1，BO=A①若∠ACP＝90°时，∵∠OCP＝∠OAB＝90°，CO＝AO，∠COP＝∠AOB，∴△OCP≌△OAB（ASA），∴OP＝BO，∴BP＝OP+BO＝25；②若∠APC＝90°，且点P在BO延长线上时，∵O为AC的中点，∴OP=1∴BP＝OP+BO＝1+5③若∠APC＝90°，且点P在线段BO上时，∵O为AC的中点，∴OP=1∴BP＝BO﹣OP=5-若∠CAP＝90°，则点P与B重合，此时BP＝0，综上所述，线段BP的长为：25或5+1或5-1或故答案为：25或5+1或5-1或12．如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则S△DEFS△BCF的值为【解答】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，∴D是AB的中点，E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴△DEF∽△CBF，∴S△故答案为：1413．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，则正方形城池的边长为300步．【解答】解：设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE=12∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴ABEC=AE∴x＝300，即正方形城池的边长为300步．故答案为300．14．已知如图，矩形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，AB＝4，AD＝8，CF＝3，若△ABE与以E、C、F为顶点的三角形相似，则BE的长为2或6或447【解答】解：设BE＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝∠C＝90°，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣x，若△ABE∽△ECF，则ABEC即4x∴x2﹣8x+12＝0，解得：x＝2或x＝6，若△ABE∽△FCE，则ABFC即43即32﹣4x＝3x，解得：x＝447∴BE的长为2或6或447故答案为：2或6或44715．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，AB＝4CE，F是AE上一点，射线BF与正方形的边交于点G（不同于点B），若BG＝AE，BFAC=5162【解答】解：设CE＝x，则AB＝4x，BE＝3x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC，∴AE=AB2+BE2=5x，有两种情形：①如图1，当G在AD边上时，连接EG，在Rt△ABG和Rt△BAE中，AE=∴Rt△ABG≌△Rt△BAE（HL），∴AG＝BE，∵AG∥BE，∴四边形ABEG是矩形，∴AE＝BG，∴BF=1∴BFAC②当G在CD上时，如图2，同理可得△ABE≌△BCG（HL），∴∠BAE＝∠CBG，∵∠CBG+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AFB＝90°，∴BG⊥AE，∵12•AB•BE=12•AE∴BF=AB⋅∴BFAC综合以上可得BFAC的值为5162故答案为5162或16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A1CC1B1；延长CB交x轴于点A2，作正方形A2C1C2B2；…按照这样的规律，S正方形A2021B2021C2021C【解答】解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD=5，OA∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，∴∠ADO＝∠BAA1，又由题意可得∠DOA＝∠ABA1＝90°，∴△DOA∽△ABA1，∴A1∵AD＝AB=5∴A1B=5∴正方形A1CC1B1的面积为：S1＝A1C2＝5•（32）2同理可得，A2C12＝（325+正方形A2C1C2B2的面积为：S2＝5×（32）4....．正方形AnCn﹣1∁nBn的面积为：Sn＝5×（32）2n∴正方形A2021B2021C2021C2020的面积S正方形A2021B2021C故答案为：5×（32）4042三．解答题（共8小题）17．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，AO是BC边上的中线，点D是AO上一点，DE⊥EO，E是垂足，△DEO可绕着点O旋转，点F是点E关于点O的对称点，连接AD和CF．●问题发现（1）如图2，当ADDO=1时，则下列结论正确的是①②④①BE＝CF；②点F是OC的中点；③AO是∠BAC的角平分线；④AD=5CF●数学思考（2）将图2中△DEO绕点O旋转，如图3，则AD和CF具有怎样的数量关系？请给出证明过程；●拓展应用（3）在图1中，若ADDO=x，将△DEO绕着点①则AD＝5CF；②若AB＝4，x＝1，在△DEO旋转过程中，如图4，当点D落在AB上时，连结BE，EC，求四边形ABEC的面积．【解答】解：（1）如图2，∵AO是BC边上的中线，点F是点E关于点O的对称点，∴OB＝OC，OE＝OF，∴OB﹣OE＝OC﹣OF，∴BE＝CF，故①正确；∵DE⊥EO，∠ABC＝90°，∴∠DEO＝∠ABC＝90°，∴DE∥AB，∴BEEO=∴BE＝EO=12∴CF＝BE=12OB=∴点F是OC的中点，故②正确；延长AO到点G，使OG＝OA，连结BG，∵∠BOG＝∠COA，OB＝OC，∴△BOG≌△COA（SAS），∴GB＝AC，∠G＝∠OAC，∵AB⊥BC，∴AC＞AB，假设∠OAB＝∠OAC，则∠OAB＝∠G，∴GB＝AB，∴AC＝AB，这与AC＞AB相矛盾，∴假设∠OAB＝∠OAC不成立，∴AO不能是∠BAC的角平分线，故③错误；∵AB＝BC，BC＝2OB，∴AB＝2OB，∴OA=AB∴EODO=cos∠AOB∴DO=5EO∵AD＝DO，EO＝BE＝CF，∴AD=5CF故④正确，故答案为：①②④．（2）AD=5CF证明：如图3，由旋转得∠AOD＝∠COF，∵OD=12OA，OF=∴ODOA∴ODOF∴△AOD∽△COF，∴ADCF∴AD=5CF（3）①如图1（1）∵DE∥AB，∴ODOA∵OE＝OF，OB＝OC，∴BE＝CF，ODOA∴ODOF如图1（2），由旋转得∠AOD＝∠COF，ODOF∴△AOD∽△COF，∴ADCF∴AD=5CF故答案为：5．②如图1（1）∵AB＝BC＝4，∴OB＝OC=12BC＝∴OA=5OB＝25∵ADDO=x＝∴AD＝DO=5∵DOEO∴EO=55DO=如图4，过E作EM⊥BC于M，过D作DN⊥AO于N，∵BD=OD∴12×25DN+12×2×1∴DN=3由旋转得∠BOE＝∠DON，∵∠DNO＝∠EMO＝90°，∴△EOM∽△DON，∴EMDN∴EM=55DN∴S△BCE=12BC•ME=1∵S△ABC=12AB•AC=12×4∴S四边形ABEC＝S△BCE+S△ABC=65+∴四边形ABEC的面积为46518．（1）计算：(-（2）如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．【解答】解：（1）原式＝1+3-1﹣1+1故答案为：3．（2）∵l1∥l2∥l3，∴ABBC即5BC解得：BC＝10，∴AC＝AB+BC＝5+10＝15．故答案为：15．19．如图，AB和A'B'与x轴垂直，A点坐标是（1，2），△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，点C是OA'的中点，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点C，与（1）求点D坐标；（2）连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．【解答】解：（1）∵AB和A'B'与x轴垂直，A点坐标是（1，2），∴点B的坐标为（1，0），∵△AOB和△A'OB'是位似三角形，且位似比是1：3，∴点B′的坐标为（3，0），点A′的坐标为（3，6），∵点C是OA'的中点，∴点C的坐标为（32，3∵反比例函数y=kx的图象经过点∴k=32×∴反比例函数解析式为y=9当x＝3时，y=3∴点D的坐标为（3，32（2）连接BD、CD，S四边形ABCD＝S△A′OB′﹣S△AOB﹣S△DBB′﹣S△ACD=12×3×6-12×1=2520．如图，在⊙O中，AB为弦，AM为⊙O的切线，A为切点，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，以AB为边作一个矩形；（2）在图2中，分别在AM上取一点C，在⊙O取两点E，D，作△ACE∽△DCA．【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求；（2）如图，△ACE，△ACD即为所求．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且APAE=1（1）当DP＝2时，求BE的长．（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴∠DAB＝90°，ADAB∴ADAB∵AP⊥AE，∴∠PAE＝90°，∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，∴∠DAP＝∠BAE，∴△ADP∽△ABE，∴DPBE∴BE＝2DP＝4；（2）四边形AEBP可能为矩形，理由如下：由（1）得△ADP∽△ABE，∴∠ABE＝∠ADB，∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE＝∠PBA+∠ADB＝90°，当∠APB＝90°时，∵∠APB＝∠PAB＝∠PBE＝90°，∴四边形AEBP为矩形，由勾股定理得BD=42+∵S△ABD=12×AB×AD=1∴AP=4×8∴AE＝2AP=16∴S四边形AEBP＝AE•AP=12822．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果BCAC=ACAB，那么称点【问题发现】如图1，请直接写出AC与CB的比值是5+12【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则AEAC的值为5-【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，将AE折叠到EN上，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点．【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时，∠AMB＝∠ANB，连NM，延长NM交AD于E，请用相似的知识求出DEAE的值为35【解答】【问题发现】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，∴CBAC∴ACCB故答案为：5+1【问题探究】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB=2∵BD＝BC＝1，∴AE＝AD＝AB﹣BD=5-∴AEAC故答案为：5-【问题解决】解：如图3，设EC与MN交于点P，∵MN∥AB，且M为EA的中点，∴NPAC过点P作PQ⊥EN，∵EC平分∠AEN，∴PM＝PQ，设PM＝PQ=12AC＝∴PN＝MN﹣PM＝6﹣x，∵EN=D∴sin∠ENM=PQ即x6-解得x=3经检验x=3∴AC＝2x＝35-3∴ACAB故点C为AB的黄金分割点；【拓展延伸】解：如图4，延长NE交AB延长线于F，过点A作AP⊥AN于P，过点P作PQ⊥FB于Q，过N作FH⊥F