03 微专题3　解三角形 【正文】教师

微专题3解三角形[备选理由]例1是结构不良问题,考查正弦定理化边为角、诱导公式、倍角公式及商数关系式的变形;例2考查直角三角形的边角关系、三角形面积公式、三角恒等变换及求函数的最小值,难度较大;例3考查利用正、余弦定理解三角形,以及平面向量在解三角形中的应用.1[配例1使用][2023·浙江金丽衢十二校联考]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3cosC,b=1.(1)证明:tanC=2tanB.(2)从①②这两个条件中选择一个作为已知条件,求cos2B的值.①△ABC的面积取到最大值;②c=102解:(1)证明:因为a=3cosC,b=1,所以a=3bcosC,所以由正弦定理得sinA=3sinBcosC,又A+B+C=π,所以3sinBcosC=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以2sinBcosC=cosBsinC,显然cosB≠0,cosC≠0,所以tanC=2tanB.(2)若选择①.由题意得S△ABC=12absinC=32cosCsinC=34sin则当C=π4时,S△ABC取得最大值34,此时tan又由(1)知tanB=12tanC=12故cos2B=cos2B-sin2B=cos2B-sin2若选择②.由正弦定理得bsinB=csinC,则sinC=csinBb=102sinB,由(1)知tanC=2tanB,所以sin2Ccos2C=4sin2Bcos2B,所以sin2C+cos2C=52sin2B+58cos2B,即1=158sin2B+58,解得sin故cos2B=1-2sin2B=1-2×15=32[配例2使用][2023·福州质检]如图,直线l1∥l2,线段DE与l1,l2均垂直,垂足分别是E,D,点A在DE上,且AE=1,AD=2.C,B分别是l1,l2上的动点,且满足∠BAC=π3.设∠ABD=x,△ABC的面积为S(x).(1)写出S(x)与x的函数关系式;(2)求S(x)的最小值.解:(1)结合图形可知,若∠ABD=x,则x∈0,π3,所以∠DAB=π2-x,又∠BAC=π3,所以∠CAE=π-π在Rt△ACE中,AC=AEcos∠CAE=在Rt△ABD中,AB=ADsin∠ABD=所以S(x)=12·1cosπ6+x·2sinx·(2)由(1)知S(x)=32cosπ6+xsinx因为x∈0,π3,所以2x+π6∈π6,5π6故当x=π6时,S(x)取得最小值233[配例3使用][2023·安徽黄山三模]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=3,b(1+cosC)=3csinB.(1)求角C的大小和b的取值范围;(2)若O是△ABC的外心,求OC·AB+CA·CB的最大值.解:(1)在△ABC中,由b(1+cosC)=3csinB结合正弦定理,可得sinB(1+cosC)=3sinCsinB,因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以1+cosC=3sinC,则3sinC-cosC=2sinC-π6=1,即sinC又因为C∈(0,π),所以C-π6∈-π6,5π6,所以C-π6由正弦定理得bsinB=csinC=332=2,因为0<B<2π3,所以0<sinB≤1,所以0<b≤2,故b的取值范围为(0,2](2)方法一:连接OA,OB,由题意得|OA|=|OB|=|OC|=1,且∠AOB=2π3则OC·AB+CA·CB=OC·(OB-OA)+(OA-OC)·(OB-OC)=OC·OB-OC·OA+OA·OB-OA·OC-OC·OB+OC=-2OC·OA+OA·OB+OC2=-2cos∠AOC-12+12=12-当点O不在△ABC外部时(如图①),可得∠AOC=2∠ABC,则此时OC·AB+CA·CB=12-2cos2∠ABC=12-2(1-2sin2∠ABC)=4sin2∠ABC-32=b2当点O在△ABC外部时(如图②),可得∠AOC=2(π-∠ABC)=2π-2∠ABC,则此时OC·AB+CA·CB=12-2cos(2π-∠ABC)=12-2cos2∠ABC=12-2(1-2sin2∠ABC)=4sin2∠ABC-32=b由(1)可知0<b≤2,则当b=2时,OC·AB+CA·CB取得最大值52 方法二:由题可知CA·CB=a·bcosπ3=1如图,分别取线段BC,AC的中点D,E,连接OD,OE.因为O是△ABC的外心,所以OD⊥BC,OE⊥AC,则OC·AB=-CO·(CB-CA)=-CO·CB+CO·CA=-CD·CB+CE·CA=-a22+所以OC·AB+CA·CB=b2由余弦定理